數(shù)學(xué)幾個著名的不等式單元測試

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元測試一、選擇題(每題5分，共60分）1.設(shè)α、β是兩個向量,則｜α·β|≤｜α|·｜β｜中“=”成立的充要條件是()A。β=0或α=0B.β=0或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβC。α≠0且存在實(shí)數(shù)k，使β=kαD.存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ解析：根據(jù)柯西不等式，可知等號成立的條件為β=0或存在實(shí)數(shù)k使α=kβ.答案：B2。函數(shù)y=2的最大值為(）A.B。C.D.解析：y2=()2=()2≤［22+()2］［()2+(）2］=×17,∴y≤。答案：B3.若m=ka，n=λb，k≠λ，則A=與B=的大小關(guān)系是(）A。A≥BB.A≤BC.A＞BD。A＜B解析：A2=a2+b2+m2+n2+,B2=a2+b2+m2+n2—2（am+bn),∵（a2+b2)（m2+n2)≥(am+bn)2，∴≥|am+bn｜.∴A2＞B2.（∵k≠λ）答案：C4.若|a+c|＜b,則（）A。|a｜＜|b|-｜c(diǎn)|B.｜a｜＞｜c(diǎn)｜—｜b｜C。|a｜＞｜b｜-｜c(diǎn)｜D.｜a|＜|c｜-｜b|解析：∵b＞|a+c|≥｜c(diǎn)｜—｜a｜，∴｜a|＞｜c(diǎn)｜—|b｜。故B正確.答案:B5。若0＜b＜a,d＜c＜0,則下列各不等式必成立的是…()A。a+c＞b+dB。a-c＞b—dC。ac＞bdD解析:由不等式性質(zhì)，可知a+c＞b+d.答案：A6。若實(shí)數(shù)x、y滿足xy>0，且x2y=2,則xy+x2的最小值為（）A.1B。2C.3解析:∵xy〉0,由xy+x2=≥=3，知最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)=x2時等號成立.∵xy〉0,∴x==1時，取“=”.答案：C7。若x2+y2=1，則xcosα+ysinα的取值范圍為（）A。[-1，1］B。［0，1]C。［-，］D.［0,］解析：(xcosα+ysinα）2≤（x2+y2）（cos2α+sin2α)=1，∴-1≤xcosα+ysinα≤1。答案：A8.設(shè)a>b〉c，n∈N*，且+≥恒成立，則n的最大值為（）A.2B.3C。4解析：∵a>b>c，∴a—b>0,a-c>0,b-c〉0。∴+≥,即n≤=2+恒成立。由=2,∴n≤2+2=4.答案：C9.y=(x＞0)的最小值是（）A。2B.-2+2C.—1-2D.—1+2解析：y=-1≥—1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=即x=—1+時等號成立。答案:D10。已知4x2+5y2=y,那么x2+y2的最大值是…(）A.B。C。D.解析：由4x2+5y2=y，得=1?！鄕2+y2的最大值在橢圓短軸端點(diǎn)(0,）處取得,為.答案:D11。在△ABC中,設(shè)其各邊長為a、b、c,外接圓半徑為R，則(a2+b2+c2)（)的最小值為（)A。6RB。2RC。36R2D。4R2解析：根據(jù)柯西不等式，得(a2+b2+c2)（）≥（)2，又由正弦定理,得=2R，∴（a2+b2+c2)()≥（6R）2=36R2。答案：C12.設(shè)λ是實(shí)數(shù),對任意實(shí)數(shù)x、y、z,恒有(x2+y2+z2）2≤λ(x4+y4+z4)成立,則λ的取值范圍是(）A。[3，+∞)B.［,1］C。［9,+∞）D。［3，9]解析：由柯西不等式,得(12+12+12)（x4+y4+z4）≥(x2+y2+z2）2,∴(x2+y2+z2)2≤3（x4+y4+z4)≤λ（x4+y4+z4)，∴λ≥3.答案：A二、填空題（每題4分,共16分）13.已知x、y、z∈R+，且=1,則x++的最小值是____________.解析：由柯西不等式，得=9，又∵+=1,∴x+≥9.答案：914.已知x∈R+，有不等式x+≥2,x+=++≥3…，由此啟發(fā)我們可以推廣為x+≥n+1（n∈N＊)，則a=_______________。解析:由x+≥2，x+≥3，x+=4….∴a=nn,x+=n+1。答案:nn15。使得(y-1)2+（x+y—3)2+(2x+y-6)2達(dá)到最小值的x、y值分別為____________.解析：由(12+22+12）［（y-1）2+(3-x—y)2+（2x+y—6）2]≥[y-1+2(3-x—y）+2x+y-6］2=1,∴(y-1）2+（x+y-3)2+(2x+y-6）2≥.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即x=，y=。答案：16。若a、b、c都為正數(shù),則a3+b3+c3____________a2b+b2c+c2解析：設(shè)0≤a≤b≤c,則a2≤b2≤c2。由順序和≥亂序和，得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“等號".答案:≥三、解答題(共74分)17.(12分)已知正數(shù)x、y、z滿足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范圍。解：由二元均值不等式及柯西不等式,得≤=(）≤。故λ的取值范圍是［，+∞）.18。（12分)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1，求證：++≥.分析:由已知條件a+b+c=1,而不等式中含有a+b，b+c，c+a等量。∴可將等式a+b+c=1,化為(a+b)+(b+c）+（c+a)=2進(jìn)行代換。證明：∵a、b、c∈R+，且a+b+c=1，∴(a+b）+(b+c）+（c+a)=2?！啵郏╝+b）+(b+c）+（c+a)］［++]≥=9.∴++≥成立.19.（12分)設(shè)a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證:（a+）2+（b+）2+(c+）2≥.證明：左邊=(12+12+12)[（a+）2+(b+）2+（c+)2］≥［1·(a+）+1·(b+)+1·(c+)]2=［1+（++)］2=［1+（a+b+c）(++）］2≥［1+（）2］2=.20。(12分）已知函數(shù)f（x）=,求當(dāng)x為何值時，函數(shù)有最大值？解:f（x）=,令t=（x)2≥0，則函數(shù)變?yōu)镕（t）=,①定義域?yàn)閠∈[，］,F（t)=≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即t=時取“=”。此時x=.21.（12分)求y=4sin2xcosx的最值。分析:∵sin2x+cos2x=1,∴可構(gòu)造“和”為定值,求出值域.需先求出y2的值域,再求y的范圍.解:y2=16sin4xcos2x=16sin2xsin2xcos2x=64×≤64×=64×()3=.∴.∴最大值為,最小值為。22.(14分）設(shè)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),P點(diǎn)到三邊BC、CA、AB的距離分別為PD、PE、PF,試求BD2+CE2+AF2的最小值.解：設(shè)BC=a，CA=b,AB=c,BD=x，CE=y，AF=z，如圖，連結(jié)PA、PB、PC.由勾股定理，得(x2+PD2)+(y2+PE2）+（z2+PF2)=PB2+PC2+PA2=(c—z）2+PF2+(a-x）2+PD2+（b-y）2+PE2.∴x2+y2+z2=(a—x)2+(b-y)2+（c—z)2,即ax+by+cz=(a2+b2+c2),