數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂算法案例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂例1求1734,816,1343的最大公約數(shù)。【分析】三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)分別是每個(gè)數(shù)的約數(shù),因此也是任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù),也就是說三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).【解】用“輾轉(zhuǎn)相除法”.先求1734和816的最大公約數(shù),1734=816×2+102；816=102×8；所以1734與816的最大公約數(shù)為102.再求102與1343的最大公約數(shù),1343=102×13+17；102=17×6。所以1343與102的最大公約數(shù)為17，即1734，816，1343的最大公約數(shù)為17.【點(diǎn)評(píng)】求兩個(gè)正整數(shù)a、b（a＞b）的最大公約數(shù),可以歸結(jié)為求一數(shù)列:a,b,r1,r2,…，rn-1，rn,rn+1,0，此數(shù)列的首項(xiàng)與第二項(xiàng)是a和b,從第三項(xiàng)開始的各項(xiàng)，分別是前兩項(xiàng)相除所得的余數(shù)，如果余數(shù)為0,它的前項(xiàng)rn+1即是a和b的最大公約數(shù),這種方法叫做“歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法"。例2猴子吃桃問題：有一堆桃子不知數(shù)目，猴子第一天吃掉一半，覺得不過癮，又多吃了一只，第二天照此辦法，吃掉剩下桃子的一半另加一個(gè)，天天如此,到第十天早上,猴子發(fā)現(xiàn)只剩一只桃子了，問這堆桃子原來有多少個(gè)？【分析】此題粗看起來有些無從著手的感覺，那么怎樣開始呢？假設(shè)第一天開始時(shí)有a1只桃子,第二天有a2只，…,第9天有a9只，第10天有a10只。在a1，a2,…,a10中,只有a10=1是知道的,現(xiàn)要求a1，而我們可以看出a1，a2，…,a10之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系:a9=2×（a10+1），a8=2×（a9+1）,…a1=2×(a2+1).也就是：ai=2×（ai+1+1），i=9，8，7,6，…,1.這就是此題的數(shù)學(xué)模型。再考查上面從a9,a8直至a1的計(jì)算過程,這其實(shí)是一個(gè)遞推過程,這種遞推的方法在計(jì)算機(jī)解題中經(jīng)常用到.另一方面,這九步運(yùn)算從形式上完全一樣,不同的只是ai的下標(biāo)而已.由此,我們引入循環(huán)的處理方法,并統(tǒng)一用a0表示前一天的桃子數(shù),a1表示后一天的桃子數(shù)?！窘狻勘绢}的算法如下：第一步：a1←1；{第10天的桃子數(shù)，a1的初值｝第二步：i←9；｛計(jì)數(shù)器初值為9｝第三步：a0←2×（a1+1）；｛計(jì)算當(dāng)天的桃子數(shù)}第四步：a1←a0；{將當(dāng)天的桃子數(shù)作為下一次計(jì)算的初值｝第五步:i←i-1;第六步：若i≥1，轉(zhuǎn)第三步；第七步:輸出a0的值.偽代碼如下：a1←1i←9Ifi≥1Thena0←2×（a1+1)a1←a0i←i—1EndIfPrinta0流程圖如下圖所示：【點(diǎn)評(píng)】這類題的解法是一個(gè)從具體到抽象的過程，具體方法是：(1）弄清如果由人來做,應(yīng)該采取哪些步驟；（2）對(duì)這些步驟進(jìn)行歸納整理,抽象出數(shù)學(xué)模型;（3）對(duì)其中的重復(fù)步驟，通過使用相同變量等方式求得形式的統(tǒng)一，然后簡(jiǎn)練地用循環(huán)解決。例3古今中外,許多人致力于圓周率的研究與計(jì)算.為了計(jì)算出圓周率的越來越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個(gè)神秘的數(shù)貢獻(xiàn)了無數(shù)的時(shí)間與心血。我國(guó)東漢的數(shù)學(xué)家劉徽利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓的面積及圓周率π.“割圓術(shù)”被稱為千古絕技,它的原理是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積,具體計(jì)算如下：在單位圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，邊長(zhǎng)記為a1，在此基礎(chǔ)上作圓內(nèi)接正12邊形,面積記為A2,邊長(zhǎng)為a2…一直作下去,記該圓的內(nèi)接正6×2n—1邊形面積為An，邊長(zhǎng)為an。由于所考慮的是單位圓,計(jì)算出的An即為圓周率π的近似值,n越大，An與π越接近.你能設(shè)計(jì)這樣計(jì)算圓周率的一個(gè)算法嗎？【分析】應(yīng)首先推導(dǎo)出an，an—1,An，An—1的關(guān)系.如右圖所示,設(shè)PQ為圓內(nèi)接正6×2n-1邊形的一邊，即PQ=an-1,OR為與PQ垂直的半徑,R為PQ弧的平分點(diǎn),顯然PR=an.a1=1,an=PR==（n=2,3,4），A1=6××1×=，An=6×2n—1××|OR|｜PT｜=3×2n—2an-1（n=2,3，4）.通過上面兩式,從a1=1開始進(jìn)行迭代,可逐步計(jì)算出an與An。由于所考慮的是單位圓,計(jì)算出的An即為圓周率π的近似值，n越大，An與π越接近.算法和流程圖如下：Readn1←aForIFrom2TonA←3×2n—2×aa←Sqrt［2-2×Sqrt［1—a2/4］］EndForPrintI，A，a流程圖（如下圖所示)：例4據(jù)我國(guó)古書《唐闕史》記載，公元855年前后，有一次,青州府要從兩個(gè)辦事員中選拔一人當(dāng)官，但是這兩個(gè)辦事員的職務(wù)、資歷、能力和成績(jī)，表現(xiàn)并無顯著的差異，而名額只有一個(gè),提升誰?負(fù)責(zé)提升的官員感到十分為難，就去請(qǐng)教青州的地方官楊塤.楊塤考慮了很久，想出了一個(gè)主意，他說:“官員應(yīng)該能寫會(huì)算,你把他們叫來,我出一道題當(dāng)場(chǎng)考考他們，誰先算出就提升誰."同時(shí)，楊塤讓人把他出的題抄成兩份，負(fù)責(zé)提升的官員找來兩位辦事員,給每人一袋算籌,一聲令下兩個(gè)人開始解題,不一會(huì)兒,其中一個(gè)先算出了正確答案，楊塤當(dāng)場(chǎng)宣布提升他。大家都認(rèn)為楊塤這種辦法比較公允.在古代,像這樣用“數(shù)學(xué)競(jìng)賽"來決定官員晉升是為數(shù)不少的。題目的大意如下：一天夜里，有一個(gè)人在林中散步,無意中聽到幾個(gè)強(qiáng)盜在商量怎樣分配搶來的布匹，只聽見他們說:“如果每人分6匹，就剩5匹；如果每人分7匹，就差8匹.”問有強(qiáng)盜幾個(gè)？布匹多少？能用一個(gè)簡(jiǎn)單算法求出強(qiáng)盜個(gè)數(shù)和布匹數(shù)嗎？【分析】中國(guó)古代的《九章算術(shù)》一書中搜集了許多這類問題,各題都有完整的解法，后人稱這種算法為——“盈不足術(shù)"。這種算法可以概括為兩句口訣：有余加不足,大減小來除。公式:（盈＋不足）÷兩次所得之差=人數(shù),每人所得數(shù)×人數(shù)＋盈=物品總數(shù)，求得強(qiáng)盜有(8＋5）÷（7—6）=13（人），布匹有6×13＋5=83（匹）.偽代碼：Reada,b,c,dx←（a+b）/（d-c）y←cx+aPrintx,y流程圖(如下圖所示)：除此之外，這個(gè)問題