數(shù)學(xué)-互動(dòng)課堂反證法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。間接證明不是從正面確定命題的真實(shí)性，而是證明它的反命題為假,或改證它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的.反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾.具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q,即從原題的反命題“既p又q”入手，由p與q合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果;根據(jù)矛盾律，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同真，必有一假，斷定反命題“既p又q”為假;從而根據(jù)排中律，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同假，必有一真.由此肯定命題“若p則q”為真.可以看出,反證法與證逆否命題是不同的。由于受“反證法就是證逆否命題”的錯(cuò)誤影響，在否定結(jié)論后的推理過(guò)程中，往往一味尋求與原題設(shè)的矛盾，而不注意尋求其他形式的矛盾,這樣就大大限制和影響了解題思路.反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā),引出矛盾,從而肯定命題的結(jié)論.2。用反證法證明命題“若p則q”，它的全部過(guò)程和邏輯根據(jù)可以表示如下.否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾“既p又q"為假“若p則q”為真。應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般有下面幾個(gè)步驟：第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步:作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定q;第三步：由p和q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定q不真,于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真。第三步所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.3。使用反證法證明問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確地做出反設(shè)（即否定結(jié)論),是正確運(yùn)用反證法的前提,現(xiàn)將常見(jiàn)的“結(jié)論詞與反設(shè)詞”列表如下：原結(jié)論詞等于（=）大于（＞）小于(＜）對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立至少一個(gè)至多一個(gè)至少n個(gè)至多n個(gè)p或qp且q反設(shè)詞不等于(≠）不大于（≤)不小于（≥）存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立一個(gè)都沒(méi)有至少兩個(gè)至多n—1個(gè)至少n+1個(gè)┐p且┐q┐p或┐q案例用反證法證明：已知a、b均為有理數(shù)，且和都是無(wú)理數(shù)，求證:是無(wú)理數(shù)?！咎骄俊靠稍O(shè)為有理數(shù),利用實(shí)數(shù)運(yùn)算法則得出矛盾.證明:假設(shè)為有理數(shù)，則（）（）=a—b.由a＞0,b＞0得＞0.∴=。∴a、b為有理數(shù)，且為有理數(shù)，∴為有理數(shù)，即為有理數(shù)，∴（）+()為有理數(shù),即為有理數(shù)，從而也應(yīng)為有理數(shù)，這與已知為無(wú)理數(shù)矛盾.∴一定為無(wú)理數(shù).【規(guī)律總結(jié)】1。本例推出的是與已知矛盾，反證法導(dǎo)出結(jié)果的幾種情況:(1）導(dǎo)出p為真,即與原命題的條件矛盾。（2)導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“q為真"矛盾。(3）導(dǎo)出一個(gè)恒假命題,即與定義、公理、定理矛盾。(4）導(dǎo)出自相矛盾的命題.2。當(dāng)結(jié)論的反面僅有一個(gè)時(shí)，假設(shè)這個(gè)結(jié)論的反面為真，經(jīng)過(guò)合理的論證，否定這個(gè)假設(shè)，從而證得結(jié)論成立,這種反證法稱(chēng)為歸謬法.活學(xué)巧用1.a、b是平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，求證：它們最多有一個(gè)交點(diǎn).證明：假設(shè)直線(xiàn)a、b至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,則通過(guò)不同的兩點(diǎn)有兩條直線(xiàn)，這就與公理“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)"相矛盾,所以平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)最多有一個(gè)交點(diǎn)。2。設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有f(x）≠0，且f（x+y)=f（x）·f(y）成立。求證:對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(x)＞0。證明:設(shè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的任意x,f（x)＞0不成立，即存在某個(gè)x0，有f（x0)≤0，∵f(x）≠0,∴f（x0)＜0。.又知f(x0）=f(）=f（）·f(）=f2（）＞0。這與假設(shè)f(x0）＜0矛盾,假設(shè)不成立。故對(duì)任意的x都有f（x)＞0.3.如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這平面內(nèi)一點(diǎn)而與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)必在這個(gè)平面內(nèi)。證明:如圖所示，如果直線(xiàn)b不在平面α內(nèi),則直線(xiàn)b不在平面α有一個(gè)公共點(diǎn)A.過(guò)平行直線(xiàn)a和b作平面β，則平面α、β有過(guò)A點(diǎn)的一條直線(xiàn),設(shè)為b′，在平面β內(nèi)直線(xiàn)b與交線(xiàn)b′相交于A點(diǎn)。因?yàn)橹本€(xiàn)a∥b，所以交線(xiàn)b′也與直線(xiàn)a相交于A，即直線(xiàn)a與平面α相交，這是不可能的.故過(guò)A點(diǎn)而平行于直線(xiàn)a的直線(xiàn)b必在平面α上。4。已知a≠0，證明關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根.證明：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x=.如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2是它的兩個(gè)不同的根，即ax1=b①ax2=b②①-②得a(x1-x2)=0因?yàn)閤1≠x2，所以x1—x2≠0,所以應(yīng)有a=0,這與已知矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤。所以，為a≠0時(shí)，方程ax-b有且只有一個(gè)根.5.已知a、b、c∈(0,1)，求證：（1—a）b、（1—b)c、（1-c)a不能同時(shí)大于.證明一:假設(shè)三式同時(shí)大于，即（1-a)b＞,（1—b）c＞,（1-c）a＞，三式相乘，得：（1-a)a·（1—b)b·(1-c）c＞.又（1—a)a≤（）2=.同理,(1—b）b≤,（1—c)c≤.以上三式相乘得（1-a)a（1—b）b(1—c)c≤，這與(1—a）a(1-b)b（1—c）c＞矛盾，故結(jié)論得證.證明二：假設(shè)三式同時(shí)大于?！?＜a＜1,∴1—a＞0.同理，.三式相加得,矛盾,∴原命題成立.6.如果平面外的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.已知：aα,bα,a∥b,如圖。證明:假設(shè)直線(xiàn)a與平面α不平行.∴aα，∴a∩α=A.下面只要證明a∩α=A不可能即可。