線性代數(shù) 課件 趙建紅 第6、7章 矩陣運(yùn)算法、向量空間法

第六章第六章

第一節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣的運(yùn)算矩陣運(yùn)算法求解線性方程組6.1矩陣運(yùn)算

這一章主要介紹矩陣運(yùn)算及矩陣運(yùn)算法求解線性方程組.6.1矩陣運(yùn)算一、引例某高校期中、期末考試有選擇題、填空題、解答題三種類型的題，小王期中、期末考試答對(duì)選擇題分別為10題、6題，答對(duì)填空題分別為3題、5題，答對(duì)解答題分別為6題、7題；小李期中、期末考試答對(duì)選擇題分別為8題、4題，答對(duì)填空題分別為3題、2題，答對(duì)解答題分別為5題、6題.選擇題每題2分，填空題每題3分，解答題每題8分.問(wèn)：（1）他們兩次考試各題型的分別答對(duì)了多少題？（2）他們期中、期末成績(jī)分別為多少？（3）如果期中占40%，期末占60%，他們的總評(píng)成績(jī)分別為多少？小王、小李在兩次數(shù)學(xué)考試中答對(duì)題數(shù)如表6-1考試情況所示：

題型

答題數(shù)姓名期中期末選擇題填空題解答題選擇題填空題解答題小王1036657小李8354266.1矩陣運(yùn)算思考：（1）如何用矩陣表示他們兩次考試各題型的答對(duì)題數(shù)？（2）如何用矩陣表示他們期中、期末成績(jī)？（3）如果期中占40%，期末占60%，如何用矩陣表示他們的總評(píng)成績(jī)？6.1矩陣運(yùn)算

二、矩陣的運(yùn)算6.1矩陣運(yùn)算

現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的矩陣問(wèn)題來(lái)處理，矩陣加減法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、矩陣的逆等運(yùn)算不僅符合數(shù)學(xué)邏輯，而且在現(xiàn)實(shí)生活中都有其實(shí)際意義.6.1矩陣運(yùn)算

圖6-1矩陣加法

6.1矩陣運(yùn)算

圖6-1矩陣加法

所以矩陣加法的幾何意義就是：它可以將兩個(gè)向量組合并成一個(gè)新的向量組，這個(gè)新的向量組包含了原來(lái)兩個(gè)向量組中的所有向量.6.1矩陣運(yùn)算

當(dāng)然，如果有更多的向量組合起來(lái)，可以形成這樣的矩陣乘法.6.1矩陣運(yùn)算

圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運(yùn)算

圖6-3篩子及篩眼四、矩陣的秩圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運(yùn)算那么矩陣A的秩rank(A)可以看作篩眼的大小，R(A)越小對(duì)應(yīng)的篩眼越小（忽略掉篩子的形狀，下面用帶網(wǎng)格的圓來(lái)表示篩子），如圖6-4秩與篩子大小所示：圖6-4秩與篩子大小

圖6-5網(wǎng)格圓表示篩子6.1矩陣運(yùn)算可以用帶網(wǎng)格兩個(gè)圓來(lái)表示這兩個(gè)篩子，可以看到各自的篩眼大小不同，也就是各自的矩陣的秩不相同，如圖6-6不同篩眼疊加所示：

當(dāng)這兩個(gè)篩子疊在一起的時(shí)候，疊加部分的篩眼變小了，比單獨(dú)某一個(gè)篩子的篩眼要小,此時(shí)有rank(AB)<min(rank(A)，rank(B)).當(dāng)然還有可能矩陣A，B的秩相同，篩眼大小相同，這時(shí)疊在一起時(shí)，疊加部分的篩眼等于其中某一個(gè)篩子的篩眼，如圖6-7相同篩眼疊加所示，此時(shí)有rank(AB)=min(rank(A)，rank(B)).

綜上所述：rank(AB)≤min(rank(A)，rank(B)).圖6-6不同篩眼疊加圖6-7相同篩眼疊加6.1矩陣運(yùn)算五、矩陣的轉(zhuǎn)置

產(chǎn)品原料（噸）

甲

乙9445310例6.1.1一個(gè)工廠生產(chǎn)甲、已兩種產(chǎn)品，需用A，B，C三種原材料.如表6-2原材料需求表所示：表6-2原材料需求表6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算六、方陣的行列式

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算七、矩陣的逆基于矩陣乘法和逆矩陣定義使用待定系數(shù)法求逆矩陣

6.1矩陣運(yùn)算矩陣分塊法求逆矩陣

6.1矩陣運(yùn)算逆矩陣的幾何意義：線性變換的“逆變換”

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算逆矩陣的應(yīng)用：矩陣編制Hill密碼密碼學(xué)在經(jīng)濟(jì)和軍事方面都起著極其重要的作用.1929年，希爾（Hill）通過(guò)矩陣?yán)碚搶?duì)傳輸信息進(jìn)行加密處理，提出了在密碼學(xué)史上有重要地位的希爾加密算法.下面我們介紹一下這種算法的基本思想.

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算

在實(shí)際應(yīng)用中，可以選擇不同的可逆矩陣，不同的映射關(guān)系，也可以把字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字進(jìn)行不同的排列得到不同的矩陣，這樣就有多種加密和解密的方式，從而保證了傳遞信息的秘密性.上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面.6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組二、矩陣乘法、逆矩陣法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組三、逆矩陣法求解線性方程組：圖6-8逆矩陣法求解線性方程組設(shè)AX=B，A可逆，則X=A-1B，A-1(A，B)=(E，X)，即(A，B)行(E，X)，求解步驟如圖6-8逆矩陣法求解線性方程組所示：6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

四、應(yīng)用拓展表6-3營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)表要求既滿足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料方案.

飼料蛋白質(zhì)（克）礦物質(zhì)（克）維生素（毫克）價(jià)格（元/斤）1310.50.2220.510.736220.3410.50.80.4求最優(yōu)問(wèn)題例6.2.7

某動(dòng)物園飼養(yǎng)動(dòng)物，設(shè)每頭動(dòng)物每天需要300克蛋白質(zhì)，90克礦物質(zhì)，100毫克維生素.現(xiàn)有4種飼料可供使用，各種飼料每公斤營(yíng)養(yǎng)成分含量及單價(jià)如表6-3營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)表所示：6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無(wú)解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組逆矩陣法求解線性方程組回顧與小結(jié)第七章向量空間法第七章

第一節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容向量導(dǎo)入向量是線性代數(shù)中最基本的概念，在數(shù)學(xué)和應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，它不僅是解決幾何問(wèn)題的橋梁，而且在物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、數(shù)學(xué)建模等領(lǐng)域中扮演著重要的角色.向量空間是滿足某些性質(zhì)的集合，在向量空間中通過(guò)描述向量與矩陣的關(guān)系，向量與向量的線性組合來(lái)解決線性方程組解的問(wèn)題.本章主要介紹了二維向量，三維向量，n維向量以及向量空間的基礎(chǔ)概念和性質(zhì)，在向量空間中通過(guò)向量組的性質(zhì)來(lái)求解齊次（非齊次）線性方程的解.一、向量《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）是艾薩克·牛頓（IsaacNewton，1643-1727）的偉大著作，在這本書(shū)中他確立了牛頓物理學(xué)的原理，用經(jīng)典的二維和三維幾何學(xué)為“運(yùn)動(dòng)”和“力”這兩個(gè)新演員搭建舞臺(tái)，牛頓發(fā)現(xiàn)，對(duì)力的分析需要人們同時(shí)獲取“力有多大？”以及“在什么方向上施力？”在這方面，他預(yù)見(jiàn)了向量的概念，向量是具有大小和方向的數(shù)學(xué)量.第一節(jié)向量向量是指既有大小又有方向的量，僅有大小沒(méi)有方向的量叫做標(biāo)量或數(shù)量.二、二維向量存在于在同一個(gè)平面的“向量”稱為二維向量，又稱為平面向量.例如物理中的力和速度，這些量是既有大小又有方向的二維向量的三種表示：幾何表示：帶有方向的線段叫做有向線段，如圖7-1二維向量所示，A是起點(diǎn)，B是終點(diǎn)，箭頭表示方向.向量可以用有向線段表示.其中有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小.圖7-1二維向量

一切向量的共性是它們都有大小和方向，因此與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量稱為自由向量.即自由向量可在同一平面自由平移，平移后不影響向量的大小及方向.本文所研究的向量均為自由向量.

圖7-3向量a的坐標(biāo)表示

圖7-2向量的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量的夾角及位置關(guān)系圖7-4向量的夾角

圖7-5木塊滑動(dòng)

圖7-6向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則兩向量首位順次相接，首指向尾為和

圖7-7向量加法的平行四邊形法則兩向量共起點(diǎn)為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和.向量加法的平行四邊形法則

圖7-11平行向量的和

圖7-12向量加法的交換律

圖7-13向量加法的結(jié)合律

向量減法運(yùn)算

即兩向量相減，共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖7-14向量減法的平行四邊形法則

圖7-15向量減法的三角形法則

向量的數(shù)乘運(yùn)算向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)：

圖7-16向量加法的結(jié)合律向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)：

圖7-17向量加法的分配律（1）圖7-18向量加法的分配律（2）

定理7.1.1

向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

三、三維向量圖7-21空間直角坐標(biāo)系

圖7-22右手法則空間直角坐標(biāo)系中任意兩條坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面，這樣的平面稱為坐標(biāo)面.空間直角坐標(biāo)系有三個(gè)坐標(biāo)面，分別是由x軸、y軸所確定的xoy面，由y軸、z軸所確定的yoz面，由x軸、z軸所確定的zox面.三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一個(gè)部分稱為一個(gè)卦限，如圖7-23空間直角坐標(biāo)系卦限圖所示.圖7-23空間直角坐標(biāo)系卦限圖

表7-1空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限+--++--+++--++--++++----卦限IIIIIIIVVVIVIIVIII幾何表示：與二維向量類似，空間中的有向線段可以表示三維向量，如圖7-24三維向量，A是起點(diǎn)，B是終點(diǎn)，箭頭表示方向.有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小.圖7-24三維向量三維向量的三種表示

圖7-25三維向量的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量的夾角及位置關(guān)系圖7-26空間兩向量的夾角

向量的共線與共面

三維向量的線性運(yùn)算

向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

向量的方向角與方向余弦圖7-27向量的方向角

向量在軸上的投影圖7-28向量投影

數(shù)量積的坐標(biāo)表示

圖7-30數(shù)量積的分配律

圖7-30數(shù)量積的分配律

圖7-31數(shù)量積的數(shù)乘

向量積

向量的運(yùn)算

向量的運(yùn)算

向量與矩陣的關(guān)系

向量組

類似地

線性方程組的向量表示

五、向量空間

定義7.1.1線性關(guān)系

定義7.1.2

定義7.1.3

若向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則向量組整體線性相關(guān)．定理7.1.2

推論7.1.2-1

定理7.1.3

定理7.1.4

定理7.1.5

向量組的秩

定義7.1.4

定義7.1.5

定理7.1.6

推論7.1.6-1

等價(jià)的向量組具有相等的秩．

推論7.1.6-2

推論7.1.6-3

1、二維向量，2、三維向量，3、n維向量以及向量空間的基礎(chǔ)概念和性質(zhì)回顧與小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的2、3、6；第二題的4、5。

作業(yè)題：課后習(xí)題A第三題的2、4、5。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第七章向量空間法第七章

第二節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容向量空間法求解線性方程組線性方程組在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛，不僅在工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信、航空等學(xué)科和領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，同時(shí)在理工類的后續(xù)課程中廣泛應(yīng)用，如電路、理論力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理等課程.為了更好地解決問(wèn)題，必須在解題過(guò)程中理論聯(lián)系實(shí)