廣西賀州市平桂區(qū)某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三考前綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣西賀州市平桂區(qū)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三考前綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

A"

I6

2.已知雙曲線C：，—卓=1（?！?]〉0）的焦距為2~焦點(diǎn)到雙曲線C的漸近線的距離為則雙曲線的漸

近線方程為（）

A.y=B.y=±^/2xC.y=±%D.y=i2x

3.已知三棱錐尸—A5c中，AABC是等邊三角形，AB=45PA=PC=2?PA工BC,則三棱錐尸—ABC的

外接球的表面積為（）

A.2571B.75?C.80?D.100萬

mx+1

4.已知函數(shù)丫=優(yōu)一2（?！怠Ｇ襛/1的圖象恒過定點(diǎn)「，則函數(shù)y=__圖象以點(diǎn)P為對(duì)稱中心的充要條件是（）

x+n

A.m=l,n=—2B.m=-l,n=2

C.m=l,n=2D.m=—1,n——2

5.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要

求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問各畜賠多少？它的大意

是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升）,

三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問羊、

馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

255010025255010020040050100200

A?,,B?,,C-?,,D?,,

7771477777777

,[x-ay+3>0

6.已知y=ax+人與函數(shù)/（x）=21nx+5和g（x）=f+4都相切，則不等式組/"八所確定的平面區(qū)域在

x+oy-2>0

必+/+2%—2y—22=0內(nèi)的面積為（）

A.2TtB.3〃C.67rD.12萬

7.關(guān)于圓周率孫數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可

以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)萬的值：先請(qǐng)全校/〃名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（尤,y）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)

能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（光廣）的個(gè)數(shù)最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)。估計(jì)萬的值，那么可以估計(jì)萬的值約為（）

4aa+2a+2m4〃+2加

A.B.------C.---------D.

mmmm

2

8.若復(fù)數(shù)其中】為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Z的虛部為-iB.|z|=2C.z的共輾復(fù)數(shù)為_]_/D.z2為純虛數(shù)

9.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l-x)},則()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}D.{-1,0,1}

io.如圖，正方體ABC?！狝4G。中，E,F,G,4分別為棱A/、CG、Bg、AM的中點(diǎn)，則下列各直

線中，不與平面AC2平行的是（）

A.直線EFB.直線GHC.直線EHD.直線

11.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

12.已知函數(shù)/（%）=次1,若對(duì)于任意的小e（0,e],函數(shù)g（x）Wnx—x?+aV—〃x（））+l在（。㈤內(nèi)都有兩個(gè)不

同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

2222

A.（1,e]B.（e—,e]C.（e——]D.（1,c—]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在[2f-的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為.(用數(shù)值作答)

412

14.在6c中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,則。=.

2\x<l,

15.已知函數(shù)=loggx〉i,則/(/(2))=——.

16.已知函數(shù)y=f(x)為R上的奇函數(shù)，滿足/'(X)>—2.則不等式/(x—1)<x2(3-21nx)+3(l-2x)的解集為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

_1

17.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)=—mx9+x-1,m￡R.

2

u(x)

(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;

v(x)-x+l

(2)令f(x)=u(x)-v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,且滿足l<」<e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

X]

求X1?X2的最大值.

18.(12分)如圖，在四面體。ABC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若A￡)=2,AB=2BC,ZC4T>=30°,求四面體ABC。的體積.

夕2

19.(12分)在極坐標(biāo)系0%中，曲線C的極坐標(biāo)方程為=V2+psin6>,直線/的極坐標(biāo)方程為

yl2-psin0

夕(cos8—sin9)=1,設(shè)/與C交于4、B兩點(diǎn),中點(diǎn)為"，A5的垂直平分線交C于E、尸.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy.

(1)求C的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)〃的直角坐標(biāo);

(2)求證：|舷叫=

22=l（a〉6〉0）,點(diǎn)4（1,0）,5（。］），點(diǎn)尸滿足礪+年礪=而（其中。為坐標(biāo)原

20.（12分）已知橢圓斗

CTb2

點(diǎn)），點(diǎn)且P在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，若不經(jīng)過點(diǎn)尸的直線/：丁=丘+加（左＜0,加＞0）與橢圓。交于兩點(diǎn).且與圓

必+/=1相切.4加入丁的周長(zhǎng)是否為定值?若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

21.（12分）在銳角AABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊，AABC的面積S=2,且滿足

6zcosB=Z?（l+cosA）,貝?。╟+Q—人）（0+人一〃）的取值范圍是（）

A.（8^/2-8,8）B.（0,8）C.遞心,88D.遞心,8

I3）I3,

2213

22.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：=+==13＞》＞0）的離心率為一.且經(jīng)過點(diǎn)（1,-）,

a2b222

A,5分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)尸的直線/交橢圓C于。，E兩點(diǎn)（其中。在x軸上方）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若AAE尸與A8。尸的面積之比為1：7,求直線/的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為7122+62=6G，短軸長(zhǎng)為6,

所以橢圓離心率e==2且，

V1675J5

r2.]

所以ee0,——.

故選：C

本題考查了楠圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

利用雙曲線C：W—?4=1（?！?]〉0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3°,求出。，b的關(guān)系式，然后求解雙曲線的

a~b~2

漸近線方程.

【詳解】

雙曲線C：1―4=1（?！?力〉0）的焦點(diǎn)（。,0）到漸近線法+分=0的距離為近0,

ab2

可得：/A二旦,可得2=走，-=73,則C的漸近線方程為、=±后.

J/+'2c2a

故選A.

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形，取中點(diǎn)”，可證明3cL平面R4M，從而即可證明三棱錐P—A5C為正

三棱錐.取底面等邊AABC的重心為。'，可求得尸到平面ABC的距離，畫出幾何關(guān)系，設(shè)球心為。，即可由球的性質(zhì)

和勾股定理求得球的半徑，進(jìn)而得球的表面積.

【詳解】

設(shè)〃為中點(diǎn)，AA5C是等邊三角形，

所以AML5C,

又因?yàn)锽4L5C,且上4。4欣=4,

所以3CL平面？AM，則

由三線合一性質(zhì)可知PB=PA=PC,

所以三棱錐P—ABC為正三棱錐，AB=4區(qū)PA=PB=PC=275,

設(shè)底面等邊AABC的重心為0',

可得AO'=gAM=gx6=4，po,=個(gè)PA2—AO?=J20—16=2,

所以三棱錐P-A5C的外接球球心在面ABC下方，設(shè)為。，如下圖所示：

由球的性質(zhì)可知，尸0,平面ABC,且P,。,。在同一直線上，設(shè)球的半徑為H,

在RAM?。中，AO?=49〃+。0,2，

即R2=16+(H-20,

解得R=5,

所以三棱錐P—ABC的外接球表面積為S=4?R2=4〃X25=100%，

故選：D.

本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對(duì)空間想象能力要求較高,

屬于中檔題.

4.A

【解析】

由題可得出P的坐標(biāo)為(2,1),再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出相和〃.

【詳解】

鼠一2=0

根據(jù)題意，〈，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),

b=1

“mx+im(x+n)+1-mn1—mn

又y=-----=---------------=m+----,

x+nx+nx+n

所以機(jī)=1,〃=一2.

故選：A.

本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

設(shè)羊戶賠糧田升，馬戶賠糧與升，牛戶賠糧。3升，易知如。2，。3成等比數(shù)列，4=2嗎+g+。3=50,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧升，牛戶賠糧應(yīng)升，則%，。2，。3成等比數(shù)列，且公比4=2,%+出+%=50,則

“2、“必5050c100-200

4(1+4+4)=50,故%=]+,+22=F，"2=2%=——,a3—2ax——^―.

故選:D.

本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)直線y=與/(%)和g(x)都相切，求得。涉的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓

x2+_y2+2x-2y-22=0,由止匕求得正確選項(xiàng).

【詳解】

,2,2

/'(%)=-,g'(x)=2x.設(shè)直線y=奴+匕與/(x)相切于點(diǎn)A(x0,21nx0+5),斜率為一，所以切線方程為

xxo

22,21(1)1

y_(21nXo+5)=-(x_x()),化簡(jiǎn)得y=-x+21nx()+3①.令g'(x)=2x=—，解得％=—，g一=—+4,

%%毛/片

、、(1、x—工］,化簡(jiǎn)得>=二》一=+

2214②.由①②對(duì)比系數(shù)得21nX+3=-4+4,

所以切線方程為y-=+40

%不

7X。%

11792(戈+1?"1),所以〃(x)在

化簡(jiǎn)得21n%o+=一1=。③.構(gòu)造函數(shù)力(%)=21nx+-y—l(x>0),h(x)=--------

xoxxxX

(o/)上遞減，在(1,+8)上遞增，所以MX)在x=i處取得極小值也即是最小值，而網(wǎng)1)=0,所以〃(％)=o有唯一

x-ay+3>0x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解不=1.所以切線方程為丁=2尤+3.即4=2力=3.不等式組<即《

x+by-2>0x+3y-2>0'

畫出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓%2+/+2x—2y—22=0可化為(％+1)2+(y—1)2=24，圓心為A(—1,1).而方程組

九一2y+3=0x=-lx-2y+3>0

的解也是《1.畫出圖像如下圖所示，不等式組ccc所確定的平面區(qū)域在

%+3y—2=0b=l［x+3j-2>0

爐+V+2%—2y—22=0內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線x—2y+3=0的斜率為:，直線x+3y—2=0的斜率

II

1—1—

為一］所以1皿/84。=1311(4￡￡>+/4￡)￡)=上3=1,所以NBAC=￡,而圓4的半徑為后=2n，所

1---X一

23

以陰影部分的面積是3義?義(2指『=3》.

故選：B

本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考

查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.

7.D

【解析】

0<%<1

由試驗(yàn)結(jié)果知相對(duì)。?i之間的均勻隨機(jī)數(shù)羽y，滿足《八小面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(乂丁)，

滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)"的

值.

【詳解】

0<%<1

解：根據(jù)題意知，機(jī)名同學(xué)取相對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),即<

0<y<l'

對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y>1

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)陽丁能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有〈

0<%<1

0<y<1

7114a+2m

其面積s=——?jiǎng)t有解得"

42m

故選：D.

本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直

接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變

量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

8.D

【解析】

將復(fù)數(shù)z整理為l-z?的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】

_2_2(1-0.

z的虛部為—1,A錯(cuò)誤；目=，幣=夜，3錯(cuò)誤；z=l+i,C錯(cuò)誤；

22

z=(l-0=-2i,為純虛數(shù)，。正確

本題正確選項(xiàng)：D

本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

求出集合3,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.

【詳解】

由l-x>0,得X<1,則集合BHxIxVl},

所以，AnB={-1,0}.

故選：B.

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合3是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)跖〃AC判斷A的正誤.根據(jù)陽///AC,

判斷B的正誤.根據(jù)即//G僅與2c相交，判斷C的正誤.根據(jù)AB//2C，判斷D的正誤.

【詳解】

在正方體中，因?yàn)轷拧ˋC,所以EF//平面ACD],故A正確.

因?yàn)殛?/4q，4q/A4C,所以GH//AC,所以GH//平面ACR故B正確.

因?yàn)?3//。。，所以45//平面AC2,故D正確.

因?yàn)镋H//C[D,C[D與QC相交，所以與平面ACR相交，故C錯(cuò)誤.

故選：C

本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.

11.B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

一種分組方法；

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：禺=24種分配方法；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10x24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.

12.D

【解析】

將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程Inx—/+3；+1=/(%)在(0,團(tuán)內(nèi)都有兩個(gè)不同的根，先求導(dǎo)尸(X),可判斷xe(0,1)時(shí)，

/'(x)>0,“可是增函數(shù)；

當(dāng)xe(l,e)時(shí)，/'(X)<0,7(%)是減函數(shù).因此O</(X)W1,再令/(x)=lnx—Y+ax+l,求導(dǎo)得

F\x)=-2x~~aX~Y,結(jié)合韋達(dá)定理可知，要滿足題意，只能是存在零點(diǎn)看，使得/'(x)=0在(0,e)有解，通過導(dǎo)

數(shù)可判斷當(dāng)％?0,不)時(shí)尸(x)>0,蜜⑺在(0,石)上是增函數(shù);當(dāng)x?x，e)時(shí)尸(力<0,蜜⑴在(和e)上是

減函數(shù)；則應(yīng)滿足-x)1mx=/(石)>1,再結(jié)合2x；-g-1=0,構(gòu)造函數(shù)帆(x)=lnx+%2—1,求導(dǎo)即可求解；

【詳解】

函數(shù)g(x)=lnx-f+依一在(o,e]內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

等價(jià)于方程Inx—V+㈤；+1=/(%)在(0,句內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.

/'(x)=ei—xei=(l—x)/一，所以當(dāng)xw(0,l)時(shí)，/(%)>0,/(尤)是增函數(shù);

當(dāng)xe(l,e)時(shí)，f'(x)<0,/(%)是減函數(shù).因此0</(x)Wl.

設(shè)/(x)=Inx-x2+tzx+1,F\x)=--2x+a=——――,

XX

若尸(x)=0在(0,e)無解,則/(力在(0㈤上是單調(diào)函數(shù)，不合題意;所以<'(x)=0在(0,e)有解,且易知只能有

一個(gè)解.

設(shè)其解為X],當(dāng)%?0,玉)時(shí)尸⑴>0,/(%)在(0,%)上是增函數(shù)；

當(dāng)」武石,6)時(shí)尸(x)<0,b(%)在(%,e)上是減函數(shù).

因?yàn)閂/e(0,e],方程111%-％2+<^+1=/(%0)在(0,6]內(nèi)有兩個(gè)不同的根，

所以尸(力1mx且尸(e)<0.由/(e)?。，即lne—/+ae+i?o，解得iVe—j

由/(')max=/(石)>1，即In%—％；+g+1>1,所以In玉一工；>0.

因?yàn)?%；—a%1—1=0,所以。=2%],代入In%—>0,得111玉+工；—1>0.

X]

設(shè)加(x)=lnx+x2-1,=—+2x>0,所以加(x)在(0,e)上是增函數(shù)，

而加⑴=lnl+1—1=0,由ln%+%；—l>0可得加(%)>加⑴，得

cl/、1

由a=2X]——在上是增函數(shù)，得l<a<2e——.

€

綜上所述1<a<e-—,

e

故選：D.

本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力,

屬于難題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-40

【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(+]=G25f(-1)'寸0-3,,再令得F3即可得出X項(xiàng)的系數(shù)

【詳解】

=C；（2x2pT-^

的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為

Tr+l

r=0,1,2,3,4,5,

令10-3r=1/=3,

所以12x2—!]

的二項(xiàng)展開式中X項(xiàng)的系數(shù)為Cf22-(-l)3=-40.

故答案為：-40.

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.

56

14.

39

【解析】

先求得sin8,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得。的值.

【詳解】

由于cos3=*,cosC="，所以sin5=-cos?3=，,sinC=Jl-cos?C=』,所以

513513

4A;:二

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=—x--1——x—=——.由正弦定理得

51351365

56

a_b_b?sinA_65_56

sinAsinBsin3339

5

56

故答案為:

39

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和

定理，屬于中檔題.

1

15.-

2

【解析】

先由解析式求得了(2),再求/(2)).

【詳解】

f(2)=%2一,/(-1)=2-1=1,

所以/(/(2))=/(-!)=：,

故答案為：~

2

本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”，屬于容易題.

16.(0,1)

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x—1)—三(3—21nx)—3(1—2x),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)y=g(九)的單調(diào)性，再將所求不等式變

形為g(%)<g⑴，利用函數(shù)V=g(x)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】

-^g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),則g'(x)=/,(x-l)+4xlnx-4x+6,

設(shè)=4xlnx-4x+6,則/(x)=41nx.

當(dāng)0<x<l時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=〃(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，〃(尤)>0,此時(shí)函數(shù)y=〃(％)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)y=〃(九)在x=l處取得極小值，也是最小值，即/2(%需=/1⑴=2,

,.1/f(x-l)>-2,7?(%)>2,/f(x-l)+/z(x)>0,即g'(x)>0,

所以，函數(shù)y=g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

:函數(shù)y=/(%)為R上的奇函數(shù)，則/⑼=0，

???g(l)=/(。)-3+3=。,則不等式〃x—1)〈為(3—21nx)+3(l—2%)等價(jià)于g(x)<g⑴,

又0,解得Ovxvl.

因此，不等式1)<%2(3—21nx)+3(l—2x)的解集為(0,1).

故答案為：(0,1).

本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合

性較強(qiáng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

e+1

17.(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+oo)(2).鬲

【解析】

(1)化簡(jiǎn)函數(shù)。(X)=——,求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出

X

(2)函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)X2,則/(x)-MX=0有兩個(gè)正根，由此得到加(X2-xi)=lnx2-lnx\,m

巡+1

rt+1

(X2+X1)=lnx2+lnxi,消參數(shù)機(jī)化簡(jiǎn)整理可得/〃CxiX2)=ln—?-----,設(shè)/=一,構(gòu)造函數(shù)g⑺=(------)Int,

再2__]玉1

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可求出X1-X2的最大值.

【詳解】

u(x)xlnxInx1-lnx

(1)令m=2,函數(shù)h(x)=/、-----=—^-----：-----;=---,「.h'(x)=-------,

v(xj-x+lX+X-1-X+1Xx

令h，(x)=0,解得x=e,

.,.當(dāng)*￡(0,e)時(shí)，hr(x)>0,當(dāng)*￡(e,+00)時(shí)，hr(x)<0,

.??函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+00)

12

(2)f(x)=u(x)-v(x)=xlnx--mx—x+1,

2

/.f(x)=l+lnx-mx-1=lnx-mx,

??,函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,

.*.f(x)=lnx-mx=0有兩個(gè)不等正根，

Inxi-mxi=0,Inx?-mx2=0，

兩式相減可得lnx2-lnxi=m(X2-xi),

兩式相加可得m(X2+X1)=lnx2+lnxi,

X.

--2--F1

.In(XjX2)_x,+X]_X]

InaX2-X1強(qiáng)_]

xiX1

x2，

xX]

In(X1X2)=ln—2?—!——

xi

xi

x2，X2,

設(shè)1=-，/.l<t<e,

xixi

t?-1-2tint

設(shè)g(t)=Int,???g'(t)

t(t-l)2

令(p(t)=t2-1-2tlnt,.,.(pr(t)=2t-2(1+lnt)=2(t-1-Int),

.*.pr(t)=1—；>0恒成立,

再令p(t)=t-1-Int,

.*.p(t)在(1,e]單調(diào)遞增，.'.(pz(t)=p(t)>p(1)=1-1-lnl=O,

A(p(t)在(1,e]單調(diào)遞增，.*.gz(t)=(p(t)>(p(1)=1-1-21nl=0,

e+1

Ag(t)在(1,e］單調(diào)遞增,Ag(t)max=g(e)

e-1

.e+1e+l

??In(X1X2)—,??X1X2^e-l

e-1-e

故X1?X2的最大值為0二I.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值，考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題

,4

18.(1)證明見解析；(2)—.

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)產(chǎn)，連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC,利用全等三角形證得DPLEB,由此

證得DF±平面ABC,進(jìn)而證得平面ABC±平面ACD.

(2)由(1)知D尸，平面ABC,即止是四面體ABCD的面ABC上的高，結(jié)合錐體體積公式，求得四面體ABCD

的體積.

【詳解】

(1)證明:如圖，取AC中點(diǎn)產(chǎn)，連接ED,EB,

D

由。A=DC,則。Ed.AC,

■：ABLBC,則E4=EB=FC,

故ADFA空ADFB-DFC

兀

故/Db3=/DE4=—,

2

?.?DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC.

又DFu平面ACD,

故平面ABC，平面AC。

（2）由（1）知￡）尸_1_平面ABC,

即。歹是四面體ABC。的面ABC上的高，

且￡）尸=ADsin3Q0=1,AF=ADcos30°=y/3.

在H^ABC中，AC=2AF=2AAB=2BC，

由勾股定理易知3C=冬叵,A3=勺叵

55

故四面體ABCD的體積

V^-S△A”

3Az>C32555

本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

19.(1)C：y+/=1,(2)見解析.

【解析】

"2_22

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程變形為夕2+(夕sind)2=2,再由＜°—"+'可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)

[psmO=y

方程，將直線/的方程與曲線。的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A、5的坐標(biāo)，即可得出線段A5的中點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)求得==手，寫出直線EF的參數(shù)方程，將直線EF的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，利用韋

達(dá)定理求得|阿卜|"耳的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)曲線。的極坐標(biāo)方程可化為夕2=2—Ssin6>y,即22+(psind)2=2,

"2_22

將?！猉+'代入曲線。的方程得必+2丁=2,

psin0=y

所以，曲線C的直角坐標(biāo)方程為C:曰+y2=i.

將直線I的極坐標(biāo)方程化為普通方程得x-y=l,

4

x-y=1

x=0

聯(lián)立《,則點(diǎn)4(0,—1)、B

—+/=1

12」

因此，線段AB的中點(diǎn)為M

(2)由⑴^MA\=\MB\=^^，:.\MA\-\MB\=^,

X=

32

易知AB的垂直平分線EF的參數(shù)方程為<a為參數(shù)),

1V2

y二一+——t

32

-4

代入C的普通方程得』產(chǎn)—迪r—3=08

2339

因此，4HM8]=|“￡卜|人用.

本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用,

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

20.(1)y+y2=1(2)是，2&

【解析】

(1)設(shè)尸(x,y),根據(jù)條件可求出p的坐標(biāo)，再利用5,P在橢圓上，代入橢圓方程求出a,6即可;

⑵設(shè)&%,%）（%>°，彳2>°）運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)滿足橢圓方程，求出|M2|，|NQ|,再利用焦半徑公式

表示出進(jìn)而求出周長(zhǎng)為定值.

即0,。）+冬?！?小等即小

。+，=1d

因?yàn)?『均在。上，代入得《￡，解得片=2/2=1,所以橢圓。的方程為土+y2=l；

\2一1

官+7一1

⑵由（1）得F（l,0）,e=等,。=JL作出示意圖,

設(shè)切點(diǎn)為QM（%，X）,>°，W>°），

則IWP=IOA/p-lOQF=才+才一1=gx；,

同理|NQ『=x；+y；-1=3年

即|〃。|=￥%,|2\^|=等々，所以1削|=曰&+々），

[TA/2

X|AfF|=a-ex}=A/2———\y\NF\=a—ex?=72—x?,

則AMNF的周長(zhǎng)|MN|+|"F|+|NF|=，（X]+々）+痣—日藥+加—=20,

所以周長(zhǎng)為定值2血.

標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，橢圓中的定值問題，考查焦半徑公式的運(yùn)用,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，難度較難.

21.A

【解析】

由正弦定理化簡(jiǎn)得sin(A—B)=sinB,解得A=23(工，進(jìn)而得到C=?―33e(三,工)，利用正切的倍角公式求得