《線性代數(shù)》課件 第9章 位似變換和伸縮變換

第九章位似變換與伸縮變換第九章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣位似變換及其矩陣表示

伸縮變換及其矩陣表示

伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)圖形的伸縮在生活中被廣泛的應(yīng)用.比如，在查看不同比例尺的地圖時，就是在進(jìn)行位似變換。地圖的縮放可以讓使用者在不同比例下觀察到相同區(qū)域的形狀和相對位置，而不改變它們的相似性.在數(shù)碼攝影中，拍攝者可以使用變焦鏡頭進(jìn)行縮放。這是一種位似變換，因?yàn)樗瑫r改變了場景的大小和形狀，但保持了物體之間的相對位置和幾何形狀，見圖9-1.【導(dǎo)入】圖9-1保持圖形相似的位似變換在幾何學(xué)中，如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，它們被認(rèn)為是相似的.通過位似變換，可以將一個相似三角形轉(zhuǎn)換為另一個，保持它們的形狀和角度關(guān)系.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的圖像處理涉及到位似變換.通過縮放和旋轉(zhuǎn)，可以調(diào)整圖像的大小和方向，而仍然保持物體之間的幾何相似性.在三維建模和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）中，位似變換用于調(diào)整和編輯三維模型的大小和形狀，同時保持模型內(nèi)部的比例關(guān)系.本章主要介紹一種特殊的線性變換：位似變換，主要闡述其標(biāo)準(zhǔn)矩陣通過矩陣乘法作用在向量上實(shí)現(xiàn)變換.緊接著介紹位似變換的一種更一般的形式：伸縮變換，它可以改變圖形的形狀和比例，常用于圖像編輯、地理信息系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域.主要通過數(shù)學(xué)表達(dá)和幾何解釋介紹了位似變換和伸縮變換的概念和實(shí)現(xiàn)方式，包括它們的標(biāo)準(zhǔn)矩陣表示和幾何意義并得到一般性的結(jié)論。最后提到了一個有用的推論，即如果變換前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一次式，那么這個變換一定是線性變換.另外在第三小節(jié)展現(xiàn)了伸縮變換在數(shù)據(jù)處理中的作用.

先考慮將某張圖片“擴(kuò)大”3倍，將圖像的每個維度（寬度和高度）都增加到原始尺寸的3倍，見圖9-2，這是通過縮放操作來實(shí)現(xiàn)的.第一節(jié)位似變換及其矩陣表示圖9-2將原圖形“擴(kuò)大”3倍觀察圖9-1可以發(fā)現(xiàn)除了落在坐標(biāo)原點(diǎn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)未發(fā)生改變外，其余所有的坐標(biāo)均變原坐標(biāo)的3倍.在工程應(yīng)用上，建立線性變換的時候通常是觀察其表現(xiàn)即點(diǎn)與點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系得到其幾何表現(xiàn)或是語言描述.就像8.1節(jié)中，通過文字的描述可以得到一個給定的點(diǎn)經(jīng)過變換之后像的位置.思考：線性變換有沒有可以進(jìn)行直接計(jì)算的顯式公式？第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

圖9-3矩陣乘法作用在向量上的效果第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示注意到位似變換的效果是將圖形在各個方向上進(jìn)行相同程度的伸縮，但是現(xiàn)實(shí)生活中可能遇到并不需要這種保持圖形一直相似的變化，像是在圖像編輯軟件中，將圖像縮小以適應(yīng)網(wǎng)頁布局或?qū)D像放大以用于打印。這類變換主要用于改變圖像中特定區(qū)域的大小，進(jìn)行圖像修復(fù)或圖像合成等操作。將這種更一般的變換稱為伸縮變換，與位似變換不同的是在伸縮變換過程中可能會使圖形失去原來的比例，見圖9-4.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示圖9-4伸縮變換可能會改變原圖形的形狀實(shí)際生活中，常常使用這樣的變換。在地理信息系統(tǒng)（GIS）中，伸縮變換用于調(diào)整地圖的比例尺。通過伸縮變換，可以將地圖的大小調(diào)整到適合特定的顯示尺寸，讓使用者能夠更清晰地觀察地圖上的細(xì)節(jié)或?qū)⑵渑c其他地圖進(jìn)行比較.在生產(chǎn)過程中可能需要將零件的尺寸放大或縮小以滿足特定的要求。此外，伸縮變換也可以用于調(diào)整產(chǎn)品的比例，進(jìn)行模型測試或設(shè)計(jì)優(yōu)化.伸縮變換還可用于調(diào)整醫(yī)學(xué)圖像的比例尺，使醫(yī)生能夠更準(zhǔn)確地測量和分析病變區(qū)域的大小。此外，伸縮變換還可以用于醫(yī)學(xué)圖像的增強(qiáng)和重建，以提供更清晰的圖像.在地震學(xué)和地質(zhì)學(xué)中，伸縮變換可用于處理地震數(shù)據(jù)和地質(zhì)數(shù)據(jù)，以研究地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和特征。通過對地震波形數(shù)據(jù)進(jìn)行伸縮變換，可以更準(zhǔn)確地分析地球內(nèi)部的地質(zhì)結(jié)構(gòu)和地震活動.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示思考：在已有位似變換的基礎(chǔ)上，怎么通過調(diào)整位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣得到拉伸或者收縮變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣？位似變換與伸縮變換的作用均是將圖形進(jìn)行拉伸和伸縮.通過簡單的分析可以知道伸縮變換與位似變換的區(qū)別在于位似變換是在所有方向上均做同等程度的伸縮，一直保持物體的相似性.而伸縮變換僅在某些方向是進(jìn)行伸縮并且伸縮的程度不一致.兩種變換均表現(xiàn)為“伸”或“縮”的變化，于是可以將位似變換看作特殊的伸縮變換.所以僅需在位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣中找到如何表現(xiàn)這種差異的部分就可以解決伸縮變換表達(dá)式的問題第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示思考：在已有位似變換的基礎(chǔ)上，怎么通過調(diào)整位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣得到拉伸或者收縮變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣？位似變換與伸縮變換的作用均是將圖形進(jìn)行拉伸和伸縮.

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

伸縮變換可以用來調(diào)整圖像的寬高比例，改變物體的形狀，或者進(jìn)行透視效果的調(diào)整.例如，修復(fù)圖像中的畸變或調(diào)整圖像中的元素的形狀.位似變換作為伸縮變換的特例：每個方向都做伸縮因子相同的伸縮變換.觀察上述的例題還可以得到一個有用的事實(shí).一般地，若變換前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一次式，那這個變換一定是線性變換.這個結(jié)果在判斷一個變換是否為線性變換時簡單有效，但是在解釋變換的作用的時候卻不是很直接.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示線性代數(shù)中的伸縮變換和位似變換是兩種重要的線性變換方法，它們在幾何學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、物理學(xué)以及工程領(lǐng)域等方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用.這一小節(jié)主要介紹位似變換在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中的作用.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化通常建立數(shù)學(xué)模型的過程包括：首先，確定建模的目標(biāo)和問題類型，明確需要解決的業(yè)務(wù)問題或科學(xué)問題.然后，再收集與問題相關(guān)的數(shù)據(jù)，并對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)為后續(xù)建模提供參考。根據(jù)問題的性質(zhì)和數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)模型或機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行建模，例如線性回歸、邏輯回歸、決策樹、支持向量機(jī)等.之后，就是模型訓(xùn)練、模型評估、模型調(diào)優(yōu)、模型解釋和應(yīng)用、部署和監(jiān)控、反饋和迭代等步驟。但無論是用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型還是機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行建模，往往不能直接使用收集到的原始數(shù)據(jù)，因?yàn)樵紨?shù)據(jù)可能有表示不同特征的量綱（單位），這會導(dǎo)致模型在訓(xùn)練過程中對于不同特征的權(quán)重分配不均勻，進(jìn)而影響模型的性能。因此在得到數(shù)據(jù)一般會進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可以將不同單位的值變換到相同的范圍，消除量綱差異，使得模型更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化通過線性變換實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化使得標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)算變得更加簡潔和直觀.通過縮放原始數(shù)據(jù)，可以將數(shù)據(jù)調(diào)整為具有零均值和單位方差的形式，消除特征間的量綱差異，從而更容易理解和解釋標(biāo)準(zhǔn)化的過程.同時使用線性變換進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化可以利用線性代數(shù)的性質(zhì)，通過矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)算，從而提高計(jì)算的效率和速度。尤其是在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時，線性變換可以更快地完成標(biāo)準(zhǔn)化過程，節(jié)省計(jì)算資源和時間成本并且線性變換具有很好的可擴(kuò)展性，可以輕松應(yīng)用于多維數(shù)據(jù)集和高維特征空間.通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)木€性變換矩陣，可以同時對數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，而不需要分別處理每種特征，從而簡化了標(biāo)準(zhǔn)化的過程并提高了效率.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

稱這種在每個數(shù)據(jù)進(jìn)行加減運(yùn)算的作用叫做平移變換，值得注意的平移變換作為生活中常見的簡單變換但是不屬于線性變換，一般將完整的標(biāo)準(zhǔn)化過程稱為一個仿射變換，見習(xí)題.最后進(jìn)行本章介紹的兩種重要線性變換的總結(jié).伸縮變換（DilationTransformation）和位似變換（ScalingTransformation）都涉及到改變對象的大小，但它們之間存在一些關(guān)鍵的不同之處：第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化（1）性質(zhì)不同：伸縮變換是一種線性變換，它沿著每個坐標(biāo)軸的方向分別縮放或拉伸對象，使得對象在每個方向上的尺寸都發(fā)生變化，但不一定保持角度或比例關(guān)系.位似變換是一種保持對象形狀和比例關(guān)系的線性變換，它包括縮放、旋轉(zhuǎn)和平移，保持對象的幾何相似性.（2）影響范圍不同：伸縮變換可以分別沿著每個坐標(biāo)軸的方向進(jìn)行縮放，可以產(chǎn)生不同的縮放因子，使得對象在每個方向上的大小都可以單獨(dú)控制。位似變換通過統(tǒng)一的變換矩陣來同時影響對象的所有坐標(biāo)軸方向，以保持對象的形狀和比例關(guān)系.（3）保持性質(zhì)不同：伸縮變換在進(jìn)行縮放時，不一定能保持對象的角度或比例關(guān)系，因?yàn)椴煌较?/p>