《線性代數(shù)》課件 第8章 線性變換

第八章線性變換第八章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容變換線性變換變是絕對的，不變是相對的，數(shù)學(xué)就是在研究變與不變的客觀規(guī)律.變換是一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種關(guān)系可以用點(diǎn)的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫；剛好矩陣可以用來反映坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，是研究變換的有力工具.本章主要介紹線性代數(shù)中變換和線性性的基本概念，以及線性變換的重要性和應(yīng)用.【導(dǎo)入】在日常生活中，如縮放、旋轉(zhuǎn)、投影等現(xiàn)象，都是線性代數(shù)中的變換用相機(jī)拍出的照片，可根據(jù)人們的需求進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s小或放大，見圖8-1.

圖8-1生活中常見的圖片放縮.第一節(jié)變換如果只考慮拍照，拍照前，現(xiàn)實(shí)世界中的事物是原像，拍照后，相機(jī)拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考慮縮放變換，相機(jī)拍出的照片的每個點(diǎn)稱為原像，原像的集合就是定義域，而將其進(jìn)行縮放后的圖片對應(yīng)的點(diǎn)稱為原像在這個縮放變換下的像，像的集合就是變換的值域.第一節(jié)變換地球每天都在圍繞其自轉(zhuǎn)軸和公轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，某個圖形繞一個具體的點(diǎn)按照一個具體方向轉(zhuǎn)動一個角度等，見圖8-2.圖8-2地球自轉(zhuǎn)可看成繞軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換

圖8-3地球表面的點(diǎn)可以看成隨自轉(zhuǎn)進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換夏天大樹在陽光下的陰影可以看成大樹這個立體對地面的投影，同樣地將大樹上任意一點(diǎn)叫作原像，對應(yīng)到地面上的影子為該點(diǎn)在投影變換下的像，見圖8-4.當(dāng)然處理力學(xué)問題時討論力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的兩個投影變換.圖8-4三維空間在平面上的投影“變”這一現(xiàn)象在宇宙中無時無刻都在進(jìn)行著，不光上面介紹的例子.更一般的，斗轉(zhuǎn)星移、萬物生長、量子糾纏、測量物體等都物體前后對應(yīng)的關(guān)系都可以看成數(shù)學(xué)上的變換.數(shù)學(xué)上將這種對應(yīng)關(guān)系稱為映射，而在以往的學(xué)習(xí)中最常見的映射就是函數(shù).上面提到的變換就是一種映射，它將變化前后的對象以一種特殊但是確定的方式聯(lián)系在一起，這里的對象可以是數(shù)字、向量、函數(shù)、或是任何物體.第一節(jié)變換在8.1節(jié)中介紹到的所有變換在生活或是專業(yè)上經(jīng)常遇到的，如果想要了解到這些變換的更多的性質(zhì)，需要借助數(shù)學(xué)思維將這些含有實(shí)際背景的變換抽離出來.如果不考慮其他的因素，將現(xiàn)實(shí)世界中的景物拍成照片的過程就可以看作景物對底片做了一次投影變換。第二節(jié)線性變換僅考慮投影這一動作會發(fā)現(xiàn)還有許多這樣的例子，計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）同樣是將病人體內(nèi)的器官投影到影片上，繪制地圖的時候也可以看成將地球（曲面）投影到平面上.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換在觀察某些星系的時候需要在特定的季節(jié)，特定的位置進(jìn)行觀測，如何通過地球自、公轉(zhuǎn)的規(guī)律確定下一個觀測時間和地點(diǎn)？在進(jìn)行CT掃描時，如何確定投影平面才能得到所需內(nèi)部器官的信息？這些問題都可以總結(jié)為變換是如何實(shí)現(xiàn)的？這樣的變換在工程應(yīng)用上又有怎樣的用途？為了弄清這些問題，線性代數(shù)發(fā)展出一系列的工具來研究說明這一主題.第二節(jié)線性變換

前面所提到的例子中，無論是投影變換、伸縮變換還是旋轉(zhuǎn)變換都有一個現(xiàn)象：在同一條直線上的原像經(jīng)過變換后得到的像仍舊在一條直線上.

例如，拍一張含有道路的照片，如果實(shí)際的道路是筆直的那么照片中呈現(xiàn)的像也將會是筆直的.可能照片上路的兩邊會相交在一點(diǎn)，但仍舊是直線，也就是說投影變換能夠保持直線的像仍是直線，或許角度會發(fā)生偏轉(zhuǎn)但不影響直線本身的形狀。即是在圖片上繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)大，線性代數(shù)上說所說的伸縮變換是將圖片的一邊或是兩邊同時進(jìn)行拉伸，圖片上的景物可能會傾斜但筆直的公路仍然是筆直的.同樣在旋轉(zhuǎn)變換中也能清楚的看到這一性質(zhì)：地球表面筆直的公路不會因?yàn)樾D(zhuǎn)變換而變得彎曲，無論自轉(zhuǎn)還是公轉(zhuǎn)也就是不管春夏秋冬、白天夜晚筆直的路都不會因?yàn)椋▎渭兊模┬D(zhuǎn)變換而變得彎曲。這些變換有一些共同的特質(zhì)性質(zhì)：在處理兩個東西的時候會遵循向量的加法，而在處理一個東西被放大的時候會遵循數(shù)乘性.第二節(jié)線性變換這種規(guī)律不僅在數(shù)學(xué)中有用，在生活中也能幫助我們更好地理解變換的工作原理.數(shù)學(xué)上將這種性質(zhì)稱為變換的線性性，即可以將線段變?yōu)榫€段.有線性性的變換稱為線性變換，是線性代數(shù)中最重要的變換，也是現(xiàn)實(shí)世界中最常見的變換.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換比如：旋轉(zhuǎn)變換不會改變向量之間的角度，因此它保持向量之間的線性關(guān)系.縮放變換會改變向量的大小，但不會改變它們之間的方向，因此它也保持向量之間的線性關(guān)系.可以簡單地說變換是將一個對象映射到另一個對象的函數(shù).

線性變換是一種特殊的變換，它保持向量加法和標(biāo)量乘法.在后面的介紹中，還將知道線性變換可以用矩陣表示，并具有許多重要的性質(zhì).第二節(jié)線性變換但是并不是所有的變換都具有線性性，就像8.1節(jié)中最后提到的動植物的生長就不具有線性性，因?yàn)樯镌谏L的過程中的變化并不一致，會在某一特殊時間段內(nèi)生長得快一些。同樣類似量子糾纏的雙星系統(tǒng)或者多體系統(tǒng)的軌道也不能由具有線性性的變換得到.生活中的變換大多都不具有嚴(yán)格的線性性，如果把煮面條看作一個變換，那這個變換也不具有線性性，因?yàn)樵瓉砜醋骶€段的面條經(jīng)過“煮”變換后不都會呈現(xiàn)線段狀，這說明這個變換在作用的過程中不是“均勻的”.第二節(jié)線性變換事實(shí)上，這是數(shù)學(xué)物理中一個復(fù)雜的過程，但是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中總是先簡單后復(fù)雜，先陌生后熟悉，就像微積分中的微分可以用來以直代曲，在實(shí)際應(yīng)用中也可以通過一些手段用比較簡單的線性變換去近似復(fù)雜的變換，這也是在大學(xué)的階段除了專業(yè)課程之外還需學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因.第二節(jié)線性變換后面將介紹在線性代數(shù)理論基礎(chǔ)上的線性變換，主要有位似變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換和切變變換等幾類最常見的線性變換.

因此，線性變換是一類特殊的變換，最特殊的是線性變換可以保持變換前的直線依舊是直線，而變換僅僅是一種對應(yīng)關(guān)系