2024-2025學(xué)年邵陽(yáng)市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年邵陽(yáng)市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分注★為暑假作業(yè)原題）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.復(fù)數(shù)z=—的實(shí)部和虛部分別是（）

2+i

1515.

A.1,1B.1,iC.,—D.—,—i

3333

2.已知向量5=(2,2),b=(A,-4),2eR,若值“5+役)，則；1=()

A.-1B.0C.1D.2

3.如圖所示，梯形是平面圖形48co用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，A'D'=2B'C=2,

H8'=l,則平面圖形48CD的面積為（）

B'/C

A.2B.272C.3D.372

4.已知向量5=（1,1）,b=（-2,l）,則斤在B方向上的投影數(shù)量為（）

11

A.—B?---C.

5555

71

5.將函數(shù)y=sin2x+1的圖象向右平移A個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（)

10

3兀5兀3兀

A.在區(qū)間—上單調(diào)遞增B.在區(qū)間—,7T上單調(diào)遞減

444

5兀33兀

C.在區(qū)間—上單調(diào)遞增D.在區(qū)間—,271上單調(diào)遞減

422

6.已知/（x）=2sin0x+￡（0〉0）,若方程=l在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個(gè)實(shí)根，則0的取

值范圍是（）

155,44

A.—<a）<—B.—<a）<\C.\<a）<—D.1<^<—

26633

7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是“算經(jīng)十書(shū)”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書(shū)）中非常重要的

1

一部.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.已知“塹堵”ABC-A^C,

的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且45=/C=l.若球。的表面積為4兀，則這個(gè)三棱柱的表面積是

()

A.2+2^/2B.2^2C.3+2,\/2D.3+2-\/3

8.已知/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(X—2)是偶函數(shù)，當(dāng)0Kx<2時(shí)，/(X)=X2-4X,則當(dāng)

6Kx<8時(shí)，/(x)的解析式為()

A./(x)=-x2-4xB./(x)=x2-16x+60

C./(x)=x?-12x+32D./(x)=-"X?+12x-?32

二選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件/：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件8：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù),

事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同.下列說(shuō)法正確的有()

A.事件Z與事件5對(duì)立B.事件Z與事件8相互獨(dú)立

C.事件/與事件。相互獨(dú)立D.P(C)=P(48)

7T

10.在△48。中，角4伉。的對(duì)邊分別為見(jiàn)必。，。=3,A=—,。為△48C的外心，則()

3

A.若A/BC有兩個(gè)解，則3<c<2百

B.次?元的取值范圍為136,36]

C.互配能的最大值為9

D.若民C為平面上的定點(diǎn)，則/點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為3百兀

3

★11.。,人為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形48c的直角邊ZC所在直線與都垂直,

斜邊48以直線/C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)直線48與。成60°角時(shí)，45與6成30°角；

B.當(dāng)直線48與。成60°角時(shí)，48與6成60°角；

C.直線48與。所成角的最小值為45°；

D.直線48與a所成角的最大值為60。.

2

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

*12.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量方，礪，灰的模分別為1,1,V2,況與云的夾角為且

tana=7,礪與云的夾角為45°.若=加厲+〃礪(加,〃eR),貝!J加+〃=.

*13.已知直四棱柱Z8CD—44cl2的棱長(zhǎng)均為2,ABAD=60°.以為球心，、后為半徑的球面

與側(cè)面BCC聲的交線長(zhǎng)為_(kāi)_____.

14.已知函數(shù)/(》)={2工，若函數(shù)g(x)=/(/(x)-加)一2,當(dāng)g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)

2x2+4x+2（x<0）

時(shí)，求加的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚.

15.(本小題滿(mǎn)分13分)某地區(qū)對(duì)初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，將得分分成8組(滿(mǎn)分150

分)：[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145),

整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

W

0.030-------------------

0.020------------------------------

0.016--------------------

0.012---------------

0.006_______________________,

0.004-----1----------------------------T-1----1

0^65758595105115125135145^

(1)求第七組的頻率；

(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地的500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表)；

(3)現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從[95,105),[105,115)的兩組中抽取5個(gè)人進(jìn)一步做調(diào)查

問(wèn)卷，再?gòu)倪@5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率.

★16.(本題滿(mǎn)分15分)如圖，已知多面體28以[4。]，4483,。1。均垂直于平面

ZABC=120°,Z/=4,qC=1,AB=BC=B,B=2.

3

4

（1）證明：48］，平面440；

（2）求直線幺。與平面所成角的正弦值.

★17.（本題滿(mǎn)分15分）記A/BC是內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為仇c.已知/=。。，點(diǎn)。在邊/C上,

BDsinZABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若4D=2DC,求cosZASC.

*18.（本題滿(mǎn)分17分）如圖，四棱錐尸—45CD中，48CD為矩形，平面PZD，平面45CD.

（2）若NAPC=90°,PB=C,PC=2,問(wèn)為何值時(shí)，四棱錐P—/BCD的體積最大？并求

此時(shí)平面PBC與平面DPC夾角的余弦值.

19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量成=（石,乂），?=（x2,y2）.

作：OM=m,西=萬(wàn)當(dāng)成，萬(wàn)不共線時(shí)，記以（W,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為

S^m,n^=\xty2-x2y11；當(dāng)成，為共線時(shí)，規(guī)定S（西萬(wàn)）=0.

（1）分別根據(jù)下列已知條件求S（龍,五）；

①應(yīng)=（2,1）,萬(wàn)=（—1,2）；②應(yīng)=（1,2）,萬(wàn)=（2,4）；

（2）若向量/=癡+〃萬(wàn)（九〃e氏力+，w0）,求證：S（萬(wàn)，砌+S（萬(wàn),k）=Q川+|“）S（萬(wàn)，元）

（3）記。/=彳，OB=b,OC=c,且滿(mǎn)足e=+5，同=忖=同=1,求

S伍㈤+S（3周的最大值.

4

高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)參考答案

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

12345678

ABCDABCD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

91011

BCABDBC

II.【解析】：由題意，48是以/C為軸，5c為底面半徑的圓錐的母線，由ACLb,又

/CL圓錐底面，在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)8,作BDHa,交底面圓。于點(diǎn)。，如圖所示，連結(jié)QE,則

DELBD,:.DEHb連結(jié)AD,等腰AZAD中，AB=AD=也,當(dāng)直線48與。成60°角時(shí)，

ZABD=60°,故BD=C~,又在RMBDE中,BE=2,:.DE=O,過(guò)點(diǎn)、B作BF//DE,交圓C

于點(diǎn)F,連結(jié)//，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知5尸=￡>￡=J5,.?.△/BE為等邊三角形，.,.NZB/=60°,即

48與6成60°角，B正確，A錯(cuò)誤.由最小角定理可知C正確；

很明顯，可以滿(mǎn)足平面直線。，直線48與。所成的最大角為90°,D錯(cuò)誤.正確的說(shuō)法為BC.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.313.名14.（1,3]U{4}（1〈加<3或加=4也對(duì)）

2

V2

13.【答案】-----兀.

2

解析：如圖：取BC1的中點(diǎn)為E,A8i的中點(diǎn)為R,CG的中點(diǎn)為G，因?yàn)?氏4。=60°,直四棱柱

5

/BCD—481GA的棱長(zhǎng)均為2,所以△QBiG為等邊三角形，所以〃￡=G，D[E_LB°I，

又四棱柱48。）—44。。為直四棱柱，所以AS1，平面44?！?，所以

因?yàn)?4。B?=此,所以，側(cè)面B&CB,

設(shè)尸為側(cè)面4cle3與球面的交線上的點(diǎn)，則￡?/，

因?yàn)榍虻陌霃綖槠?，D[E=6,所以忸耳=J%邛=與與=亞,

所以側(cè)面4GC8與球面的交線上的點(diǎn)到E的距離為血，

因?yàn)閨EE|=|EG|=C，所以側(cè)面用GC8與球面的交線是扇形EEG的弧出，

因?yàn)镹B,EF=NgEG=三,所以NEEG=巴，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得出=J5=變兀.

114222

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿(mǎn)分13分）

【解】（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：

1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）xl0=0.080；

（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+

120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102.

（3）由頻率分步直方圖可知[95,105）的頻數(shù)為500x0.030x10=150,[105,115）的頻數(shù)為

500x0.020x10=100,所以?xún)山M人數(shù)比值為3:2,

按照分層抽樣抽取5人,則在[95,105）,[105,115）分別抽取3人和2人,

記[95,105）這組三人的編號(hào)為4民C[105,115）這組兩人的編號(hào)為a,b,

故從5人隨機(jī)抽取2名，共10種情況，為：（45），（4C）,（C,S）,（4。），

6

（C,a）,（C,b）,（a,b）

設(shè)事件"從5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”

則屈=｛（4。）,（2例,（民。）,（5/）,（。,4）,（。力）｝,共6種情況.故尸（/）=歷=丁

3

即從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為一.

5

J39

16.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

13

【解析】方法一：（常規(guī)做法）

（1）由A8=2,Z4=4,BB、=2,AAX±AB,BB］±AB,得/4=44=2血，

所以4B；+4B：=44；,故2片，4片.

由5C=2,BB、=2,Cq=1,BBy±BC,CC,±BC,得4G=近，

由Z8=5C=2,N/8C=120°4G=萬(wàn)，得ZC=2百，

由cq^zc,得/G=VH,所以/8；+4C；=zc；,故

又因?yàn)?41501=4,44，Kou平面444,所以平面44cl.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C］作交直線44于點(diǎn)￡）,連結(jié)ND.

由ABX1平面44。，C｛Dcz平面44G,可得ABXLC.D,又CtDt±44，網(wǎng)A4自=4，

所以CQ，平面ABB/所以NC/。就是AC,與平面ABBl所成的角.

由44=2血，4G=萬(wàn)得:

cosNC/ig=4紇+VG=8+半，.sinZCAB=1

24%4G2x272x721用V7

所以G。=4GsinNC/iB]=6故sinACXAD=冬=普

V39

因此，直線ZC］與平面48片所成的角的正弦值是王-

7

4

方法二：（建系向量法）

（1）如圖，以/C的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線08,0。為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系

0-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：2（0,—省,0）,5（1,0,0）,4（0,一也,4）,^（1,0,2）,￡（°，百，1）

因此葩=（1,行,2）,4^=（1,A-2），4G=（0,273,-3）,由彳瓦?麗=0,得亞―

由福?西二。，得Ng，4G.又因?yàn)?81n4G=4，所以2及，平面481G.

（2）設(shè)直線ZG與平面/AS］所成的角為夕

由（1）可知數(shù)=（0,2百,1）,方=（1,百,0）,西=（0,0,2）,設(shè)平面/8g的法向量方=（匹＞/）,

?元,4B=0x+y/3y=0_/r1rmn_/VF'-\|_,拓_V39

由<,，即<，可取〃=(—\/3,1,0),所以sin。=cos(AC.,n)=卜,?,—=

n-BB^O[2z=0V''八\ACi[\n\13

J39

因此，直線zq與平面48名所成的角的正弦值是七一.

17.解析：(1)由題設(shè)，BD=aSmC,由正弦定理知：=——-——，即smC=￡

sinZABCsinCsinZABCsinZABCb

BD=—,又/=ac,，臺(tái)少二人得證.

b

B

ADb

8

r\i1

(2)由題意知：BD=b,AD=—,DC=-

-33

,4〃213b22，2b22lOZr-02

b2+------c----cbH-------Q

cosAADB=------9---------同理cosZCDB=-----3一9

4b22b-

2cb,—2b2b2

333亍

13b22210"

—QC&,.Wb1

?:ZADB=n—NCDB,—=------整理得2/+。？=——,又白=a9c,

4b22b23

亍亍

.?.2?2+^-=—,整理得6--11//+3/=o解得=)■或—y3

a23b23b-2

〃22-h24a2

由余弦定理知：cosZABC=----+--r-------

2ac3一方

2i72a7

當(dāng)々=—時(shí)，cosNZBC='〉l不合題意；當(dāng)々=士時(shí)，cosZABC=—；

b236b2212

7

綜上，cosNABC=一.

12

18.解析：(1)證明：48CD為矩形，故48,40,

又平面PAD±平面ABCD

平面PADA平面ABCD=AD

所以45,平面尸40,因?yàn)镻￡>u平面尸40,故48，尸￡).

(2)解：過(guò)尸作的垂線，垂足為。，過(guò)。作的垂線，垂足為G,連接尸G.

故平面48C。，5C_L平面尸OG,BCVPG

在直角三角形APC中，PG二空,GC=2V3,BG=—,

333

設(shè)AB=m,則DP7PG?-OG?,,故四棱錐尸-45C。的體積為

因?yàn)榧樱?—6冽之

9

故當(dāng)加=—時(shí)，即48=—時(shí)，四棱錐的體積P—48cD最大.

33

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，。（0,0,0）,B—,0,C，逅偵］,小班］,

、33J<337\3/

尸10,0,半1故無(wú)=［手,孚,—，15C=（0,V6,0）,CD=T,。,。］

13)

___________________⑥5,276V6

設(shè)平面ARC的法向量，=（x,y,l）,則由正，瑟得133/3解得x=l，

>J=0

y=0,=（1,0,1）,同理可求出平面OPC的法向量a=10,g,l）