2025屆湖南省婁底市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2025屆湖南省婁底市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)3．三等分角是“古希臘三大幾何問(wèn)題”之一，數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個(gè)三等分點(diǎn)，以A為左焦點(diǎn)，B，C為頂點(diǎn)作雙曲線T．設(shè)雙曲線T與弧的交點(diǎn)為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.4．在長(zhǎng)方體，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．橢圓的離心率為（）A B.C. D.6．已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是一個(gè)定點(diǎn),則的最小值為A. B.C. D.7．函數(shù)的圖像大致是（）A B.C. D.8．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間.該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時(shí)間是3.5小時(shí).這里的總體是（）A.楊高的全校學(xué)生；B.楊高的全校學(xué)生的平均每天自習(xí)時(shí)間；C.所調(diào)查的60名學(xué)生；D.所調(diào)查的60名學(xué)生的平均每天自習(xí)時(shí)間.10．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交11．在各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則=（）A. B.C. D.12．幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)、是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大的．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)、兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決一下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A.B.C.或D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.14．橢圓的左焦點(diǎn)為，M為橢圓上的一點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若，則______15．已知拋物線的焦點(diǎn)F在直線上，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________16．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)的選法數(shù)可以用表示為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線和，設(shè)a為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）18．（12分）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.20．（12分）2017年5月27日當(dāng)今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機(jī)大戰(zhàn)中中盤棄子認(rèn)輸，至此柯潔與的三場(chǎng)比賽全部結(jié)束，柯潔三戰(zhàn)全負(fù)，這次人機(jī)大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.（1）請(qǐng)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)？非圍棋迷圍棋迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）為了進(jìn)一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生組隊(duì)參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學(xué)生出賽，若從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.22．（10分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）設(shè)，若不等式，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.2、D【解析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D3、C【解析】由題設(shè)寫出雙曲線的方程,對(duì)比系數(shù),求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點(diǎn)為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C4、A【解析】在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖，由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，從而，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：A.5、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D6、A【解析】恰好為拋物線的焦點(diǎn)，等于到準(zhǔn)線的距離，要想最小，過(guò)圓心作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)，交圓于，最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑4-1=.考點(diǎn):1.拋物線的定義；2.圓中的最值問(wèn)題；7、B【解析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)排除選項(xiàng)A，C；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值情況即可判斷作答.【詳解】由得，或，選項(xiàng)A，C不滿足；由求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取極大值，在處取極小值，D不滿足，B滿足.故選：B8、C【解析】先把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C9、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間，該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時(shí)間是3.5小時(shí)，這里的總體是全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間.故選：B.10、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.11、A【解析】利用等差中項(xiàng)的定義以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵成等差數(shù)列，∴，即，解得或（舍去），∴，故選：.12、A【解析】根據(jù)米勒問(wèn)題的結(jié)論，點(diǎn)應(yīng)該為過(guò)點(diǎn)、的圓與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，寫出圓的方程，并將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝414、4【解析】根據(jù)三角形的中位線定理，結(jié)合橢圓的定義即可求得答案.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)為,如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為,則，由N是的中點(diǎn)，O為得中點(diǎn)，,故,又，所以，故答案為：415、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點(diǎn)在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點(diǎn)縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點(diǎn)在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.16、【解析】由題意知：從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué)，2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長(zhǎng)，∴選法數(shù)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）a=4或a=-2（2）a=【解析】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當(dāng)時(shí)，a=4或a=-2；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?a=-2(a-2），解得a=檢驗(yàn)：此時(shí)，，成立所以當(dāng)時(shí)，a=.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件求出即可；（2），然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問(wèn)2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個(gè)法向量為=(-1，1，-1)，∴設(shè)直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.20、(1)沒(méi)有95%把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān).(2).【解析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，所以在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而列聯(lián)表如下非圍棋迷圍棋迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100因?yàn)椋詻](méi)有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān).（2）由（1）中列聯(lián)表可知25名“圍棋迷”中有男生15名，女生10名，所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學(xué)生中，有男生3名，記為，有女生2名，記為.則從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽，基本事件有：，，，，，，，，，，共10種；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6種；故2人恰好一男一女的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)和列舉法求概率的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題21、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明出；（2）利用等體積轉(zhuǎn)換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】在矩形中，.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?所以平面，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為4且，所以.因?yàn)榫匦蜝DFE的面積為8，所以BE=2.,,