2023-2024學(xué)年天津九年級人教版數(shù)學(xué)上學(xué)期期末綜合檢測卷（一）

2023-2024學(xué)年九年級人教版數(shù)學(xué)上學(xué)期期末綜合檢測卷（一）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：100分）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.若關(guān)于X的一元二次方程0=0有實數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.a<—9B.a>—9C.a>-9D.a>9

2.若二次函數(shù)y=/+2x-上的圖像與x軸有兩個交點，則上的取值范圍是（）

A.k<-1B.k>-1C.k<lD.k>l

3.若關(guān)于x的方程(a-2)f-2x+l=0是一元二次方程，則()

A.B.〃w0C.a=2D.a=0

4.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

D.

5.二次函數(shù)>=辦2+6'+<:圖象如圖所示，下列結(jié)論：?b2-4ac>0；?2a+b-0；（Dabc>0；④

ox?+6x+c-3=0有兩個相等的實數(shù)根，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.某超市一月份的營業(yè)額為100萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共500萬元，如果平均每月增長率為x,則由題

意列方程應(yīng)為（）

A.100+100（1+無）+100（1+無）2=500B.100（1+無）2=500

C.100+100（1+x）2=500D.100（1+x）=500

7.如圖，AB是。。的直徑，點C、。是圓上兩點，且/。8=26。，則/AOC的度數(shù)（）

8.如圖，正方形CMBC的邊長為魚，將正方形。1SC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45。，則點8的對應(yīng)點用的坐標(biāo)為

()

y^k

------------C

A~O

A.(-72,0)B.(-應(yīng),0)C.(0,A/2)D.(0,2)

9.在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，/BAD、/AOC的角平分線交于點E,過E作直線MN平行于3C,與A3、CD交

于M、N,則總有MN=()

A.BM+DNB.AM+CNC.BM+CND.AM+DN

10.如圖，有一些寫有號碼的卡片，它們的背面都相同，現(xiàn)將它們背面朝上，從中任意摸出一張，摸到1號卡片

的概率是()

二、填空題（本大題共有8小題，每題3分，共24分）

11.a、夕是關(guān)于x的方程尤2-彳+左_1=。的兩個實數(shù)根，且。2_2口-6=4,則左的值為

12.二次函數(shù)》=-爐+法+。的部分圖像如圖所示，則y>0的解集是.

13.如圖，在比ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,BC=6,將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角a（0。<a<180。）得到

△AB'C',并使點C'落在AB邊上，則線段班'長為.

14.如圖，一段拋物線y=-f+6x（OWx<6）,記為拋物線C-它與x軸交于點O,A;將拋物線G繞點4旋轉(zhuǎn)

180。得拋物線C2,交x軸于另一點4；將拋物線C2繞點4,旋轉(zhuǎn)180。得拋物線C”交x軸于另一點兒……如此進

行下去，得到一條“波浪線”.若點/（2022,㈤在此，波浪線”上，則根的值為.

15.直線與。。相切于點A,AC、CD是。。的兩條弦，且C0//AB,若。。的半徑為5,CD=8,則弦AC的

長為.

16.ASC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,E是AC的中點，MN分別是邊AS、BC上的動點，。也是3C

邊上的一個動點，以C。為直徑作連接ED交。于尸，連接FM,MN,則R0+MN的最小值為

17.如圖，AABC三邊的中點。，E,歹組成△￡)￡￡△￡)￡/三邊的中點M,N,尸組成AA/NP,將△FPM與△EC。

涂成陰影.假設(shè)可以隨意在AA8C中取點，那么這個點取在陰影部分的概率為.

18.如圖，二次函數(shù)尸加+6x+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),與y軸的交點為C,對稱軸為直線x=-l,下列結(jié)

論：①也二'>o；②若點尸(一2-七%)和Q(〃+3,女)是該拋物線上的兩點，則%>%;③不等式

abc

cf+Zzx+aVO的解集為-g<x<l;④在對稱軸上存在一點8,使得AABC是以AC為斜邊的直角三角形.其中一

三、解答題(本大題共有6小題，共46分；第19-20每小題6分，第21-22小題每小題7分，第23

小題8分，第24小題10分)

19.解下列方程：

⑴(尤_1)丁9

⑵f+4x=4

(3)x(^-l)-x=0

(4)2--3X=1

20.從甲、乙兩個企業(yè)隨機抽取部分職工，對某個月月收入情況進行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果分別制成扇形統(tǒng)計圖和

條形統(tǒng)計圖.

甲企業(yè)部分職工月收入扇形統(tǒng)計圖乙企業(yè)部分職工月收入條形統(tǒng)計圖

人數(shù)

(1)在扇形統(tǒng)計圖中，“6千元”所在的扇形的圓心角是；

(2)在乙企業(yè)抽取的部分職工中，隨機選擇一名職工，求該職工月收入超過5千元的概率；

(3)若要比較甲、乙兩家企業(yè)抽取的職工的平均工資，小明提出自己的看法：雖然不知道甲企業(yè)抽取職工的人數(shù)，

但是可以根據(jù)加權(quán)平均數(shù)計算甲企業(yè)抽取的職工的平均工資，因此可以比較；小明的說法正確嗎？若正確，請比

較甲企業(yè)抽取的職工的平均工資與乙企業(yè)抽取的職工的平均工資的多少；若不正確，請說明理由.

21.如圖，在長度均為1的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A(1,0),B(4,2),C(2,

4).

(1)將AA8C沿著x軸向左平移5個單位后得到△AB'C',請在圖中畫出平移后AAB'C',則C的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為

(2)線段可以看成是線段氏4繞著某個定點旋轉(zhuǎn)180。后得到的圖形，這個定點的坐標(biāo)是

22.問題提出

FD

A

(1)如圖1,A、B為。。外的兩點，請在。。上畫出所有使得AC+2C的值最小的C點.

問題探究

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AO=3,/BCD=NBAD=90。,AC=4,求BC+CD的值；

問題解決

(3)如圖3,某城市要修建一塊草坪，草坪由三條線段A3、BC、C。和圓弧周成，計劃在圓弧AD段用花來布置

成標(biāo)志性造型，AB和C。段栽種觀賞性樹木，BC臨湖.已知點E為BC上一點，BE=CE=6,長為4萬，且

AO上任意一點E滿足NBEE=30。，為了降低成本，現(xiàn)計劃使得AB+C。最小，求AB+CD的最小值.

23.隨著武漢解封，湖北各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)正有序進行，經(jīng)濟復(fù)蘇也按下了“重啟鍵”.為助力湖北復(fù)蘇，4月8日抖

音發(fā)起了“湖北重啟，抖來助力-抖音援鄂復(fù)蘇計劃”，通過直播或短視頻助力推廣湖北特色產(chǎn)品?己知當(dāng)天的直播

活動中熱干面和周黑鴨共銷售18萬份，其中周黑鴨的銷量是熱干面的3.5倍.

(1)求當(dāng)天的直播活動中銷售了多少萬份周黑鴨？

(2)為刺激消費，直播中推出了優(yōu)惠活動?疫情前，疫情期間售價均為100元一份的周黑鴨(一份里面有一盒鎖骨，

兩盒鴨脖，一盒鴨掌)，以6折力度售賣.疫情前，疫情期間售價均為60元一份的熱干面(一份里面有6包熱干

面)，以5折力度售賣.己知疫情前周黑鴨的日銷售量比直播當(dāng)天的銷量少勿％,疫情期間的日銷售額比疫情前的

日銷售額減少了680萬元；疫情前熱干面的日銷量比直播當(dāng)天熱干面的銷量少y?%,疫情期間的日銷售量比疫情

前的日銷售量減少了84%；疫情期間周黑鴨和熱干面的總?cè)珍N售額比直播當(dāng)天的總銷售額少5a%,求。的值.

4

24.如圖，拋物線y=-/+云+。與x軸相交于4B兩點(點A在點3的左側(cè))，頂點。(1,4)在直線/：y=-

x+￡上，動點尸(m,n)在x軸上方的拋物線上.

(一用聞)

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

⑵過點P作PMLx軸于點M,于點N,當(dāng)1<m<3時，求PM+PN的最大值；

(3)設(shè)直線AP,8P與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請?zhí)剿饕訟,F,B,G(G是點E關(guān)于x軸的對稱點)

為頂點的四邊形面積是否隨著尸點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由.

2023-2024學(xué)年九年級人教版數(shù)學(xué)上學(xué)期期末綜合檢測卷（二）

答案解析

一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.若關(guān)于x的一元二次方程爐+6工一。=0有實數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.a<—9B.a>—9C.a>-9D.a>9

【答案】c

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到A=62-4xlx（-a）之0,然后求出不等式的公共部分即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得A=6?-4x1x（—a）20,

解得a>-9.

故選：C.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程方2+樂+°=0（°#0）的根與一4℃有如下關(guān)系：當(dāng)A>0

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=。時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)/<0時，方程無實數(shù)根.

2.若二次函數(shù)y=/+2x-左的圖像與x軸有兩個交點，則4的取值范圍是（）

A.k<-1B.k>-1C.k<lD.k>l

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與無軸交點個數(shù)由^-4ac所決定，然后問題可求解.

【詳解】解：由題意得：4+4%>0,

解得：k>—l；

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)是由廿-4改決定的是解題的

關(guān)鍵.

3.若關(guān)于x的方程（0-2）/-2尤+1=0是一元二次方程，則（）

A.aw2B.。w0C.。=2D.a=0

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可.

【詳解】解：,??關(guān)于尤的方程（4-2卜2-2%+1=0是一元二次方程，

?\a-2r0,

解得：

故選：A.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足兩個條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2；②二次

項系數(shù)不為0.

4.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可.

【詳解】解：A.不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

5.二次函數(shù)；^=分2+法+。圖象如圖所示，下列結(jié)論：@b2-4ac>0；②2。+6=0；?abc>0；④

辦2+云+°一3=0有兩個相等的實數(shù)根，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)拋物線的開口朝下可知：a<Q,

b

根據(jù)對稱軸是1：x=------=1，得至II：2a+b-0,b>0,

2a

與y軸交于正半軸：c>0,

與x軸有兩個交點：b2-4ac>0,

頂點坐標(biāo)：(1,3),依2+6x+c—3=0有兩個相等的實數(shù)根.

綜上：b2-4ac>0,2a+b-0,06c<0,ax?+6x+c-3=0有兩個相等的實數(shù)根.

正確的是：①②，共2個.

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像和系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的思

想可以快速的解決此類問題.

6.某超市一月份的營業(yè)額為100萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共500萬元，如果平均每月增長率為x,則由題

意列方程應(yīng)為()

A.100+100(1+龍)+100(1+無)2=500B.100(1+x)2=500

C.100+100(1+x)2=500D.100(1+x)=500

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意求得二月份的營業(yè)額、三月份的營業(yè)額，再根據(jù)等量關(guān)系“一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+

三月份的營業(yè)額=500萬元”即可列出方程.

【詳解】解：???一月份的營業(yè)額為100萬元，平均每月增長率為彳，

二月份的營業(yè)額為100x(1+x),

三月份的營業(yè)額為100x(1+x)x(1+x)=100x(1+x)2,

可列方程為100+100X(1+x)+100x(1+x)2=1000.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用.若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過

兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(l±x)2=b.得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，43是。。的直徑，點C、。是圓上兩點，且/CZ)8=26。，則NAOC的度數(shù)()

A.108°B.154°C.118°D.128°

【答案】D

【分析】先根據(jù)圓周角定理得到/2。。=2/。2=52。，然后利用鄰補角的定義計算NAOC的度數(shù).

【詳解】解：和NCDB都對BC，

NBOC=2NCDB=2x26°=52°,

ZAOC=180°-ZBOC=128°.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角

的一半.

8.如圖，正方形（MBC的邊長為0,將正方形OASC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45。，則點8的對應(yīng)點與的坐標(biāo)為

()

V八

BC

AO

A.(-也0)B.(-72,0)C.(0,0)D.(0,2)

【答案】D

【分析】連接。3,由正方形ABCD繞原點0順時針旋轉(zhuǎn)45°,推出與。耳=45。,得到△為等腰直角三角

形，點均在y軸上，利用勾股定理求出OB1即可.

【詳解】解：連接。2,

,/正方形ABCD繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°,

ZAOAt=45°,ZAOB=45°,

NAQB]=45°,

.?.△4。耳為等腰直角三角形，點耳在y軸上,

NB&O=90°,A耳==3，

0Bx=JA牙+。野=J2+2=2,

...0(0,2),

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角證明點后在y軸上.

9.在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，ZBAD.NAOC的角平分線交于點E,過E作直線平行于BC,與AB、CD交

于M、N,則總有MN=()

A.BM+DNB.AM+CNC.BM+CND.AM+DN

【答案】D

【分析】在NM上截取NP=N。，連接。尸，AF,由A,B,C,。四點共圓，得出/AOC+NB=180。，由MN」

BC,得出/AMN+/AON=180。，可得到A,D,N,M四點共圓，可得/MvZ)+NMAO=180。再由AE,OE1分別

平分NAM),ZCDA,A,F,E,。四點共圓，由1800--NMN￡)=180°-NDEN-NAfND=N

EDN=/ADE=/AFM,可得出AM=MF,即得出MN=MF+NF=MA+NO.

【詳解】解：如圖，在NM上截取N/=ND,連接DRAF

：.ZNFD=Z.NDF,

VA,B,C,。四點共圓,

ZADC+ZB=180°,

?：MN6'BC,

???/AMN=NB,

：.ZAMN+ZADN=1SO°,

???A,D,N,M四點共圓，

ZWD+ZM4D=180°,

VAE,DE1分別平分NBA。，/CDA,

NEND+2NDFN=NEND+2NDAE=180°,

:?/DFN=/DAE,

：.A,F,E,。四點共圓，

AZDEN=ZDAF9ZAFM=ZADE,

'：ZMND+ZMAD^\S00,

：./MAF+NDAF+/MND=180°

???ZMAF=1800-ZDAF-ZMND

二180。-Z.DEN-ZMND

=/EDN=ZADE

=ZAFMf

：.MA=MFf

：.MN=MF+NF=MA+ND.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了四點共圓，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用四點共圓求解.

10.如圖，有一些寫有號碼的卡片，它們的背面都相同，現(xiàn)將它們背面朝上，從中任意摸出一張，摸到1號卡片

的概率是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可.

【詳解】解：從中任意摸出一張共有6種等可能結(jié)果，其中摸到1號卡片的有2種結(jié)果,

21

所以從中任意摸出一張，摸到1號卡片的概率為：=

63

故選：B.

【點睛】本題主要考查了概率的求法，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、填空題(本大題共有8小題，每題3分，共24分)

11.a、夕是關(guān)于x的方程月-彳+左_1=。的兩個實數(shù)根，且〃_2夕-6=4,則左的值為.

【答案】T

22

【分析】a-2a-/3=a-a-(a+^=4,然后根據(jù)方程的解的定義以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)

于左的一元一次方程，即可解得答案.

【詳解】解：是方程￡一彳+左一1=0的根

a1—a+k—\=Q'>a+0=\

a.-2a—[3—<x~-a—(a+/?)=—k+1—1=—k=4

：.k=-4

故答案是-4.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解題中需注意

的問題是本題的解題關(guān)鍵.

12.二次函數(shù)y=-f+bx+c的部分圖像如圖所示，則y>0的解集是.

【答案】-l<x<9

【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與無軸的另一個交點坐標(biāo)為(-1,0),然后寫出拋物線在尤軸上方所對應(yīng)

的自變量的范圍即可.

【詳解】解：???拋物線的對稱軸為直線x=4,拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(9,0),

拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(-1,0),

.?.當(dāng)-l<x<9時，y>0.

故答案為：

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為方程+⑶b,。是常數(shù)，

。加)的兩個實數(shù)解.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

13.如圖，在吊ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,BC=0將一ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角tz(O°<a<180。)得到

△AB'C,并使點C落在AB邊上，則線段郎,長為

【答案】2

【分析】根據(jù)直角三角形30。角的性質(zhì)得到A2=2AC,由勾股定理求出A8,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得A〃是等邊三

角形，即可得至I]82=42=2.

【詳解】解：在及ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,BC=B

：.ZCAB=60°,AB=2AC,

,：AC2+BC2=AB2,

：.AC2+3=4AC2,

解得AC=1,

：.AB=2,

由旋轉(zhuǎn)得ZBAB'=ZCAB=60°,

：.^BAB'是等邊三角形，

BB'=AB=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查了直角三角形30。角的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握各知

識點并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，一段拋物線丁=-爐+6彳（0三》46）,記為拋物線它與無軸交于點O,A;將拋物線G繞點4旋轉(zhuǎn)

180。得拋物線C2,交X軸于另一點&；將拋物線c2繞點4,旋轉(zhuǎn)180。得拋物線C3,交x軸于另一點&……如此進

行下去，得到一條“波浪線”.若點M（2022,%）在此“波浪線”上，則機的值為.

【答案】0

【分析】根據(jù)整個函數(shù)圖像的特點可知，每隔6x2=12個單位長度，函數(shù)值就相等，再根據(jù)2022=6+12x168可得

x=2022時的函數(shù)值與x=6時的函數(shù)值相等，由此即可得答案.

【詳解】解：由題意得：每隔6x2=12個單位長度，函數(shù)值就相等，

,/2022=6+12x168,

/.x=2022時的函數(shù)值與x=6時的函數(shù)值相等，

即機的值等于尤=6時的縱坐標(biāo)，

對于函數(shù)y=-x2+6x(0VxV6),

當(dāng)x=6時，y=-62+6x6=0,

則m=Q,

故答案為：0.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確發(fā)現(xiàn)整個函數(shù)的圖像規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.直線與。。相切于點A,AC、CO是。。的兩條弦，且C0//A8,若。。的半徑為5,CD=8,則弦AC的

長為.

【答案】4石

【分析】連接。4,作OEJ_C。于E,利用垂徑定理得出CE,通過CD〃AB,ABLOB,證明E、O、A三點共

線，再利用勾股定理解R3OEC求出OE,最后利用勾股定理解R3AEC求出AC.

【詳解】解：連接04,作。EL8于E,貝IJCE=DE=』CD=4,

2

:直線A3與。。相切于點A,

C.OALAB.

'：CD,AB,OE±CD,

:.E、O、A三點共線.

連接oc,

在RtAOEC中，OC=5,CE=4,

由勾股定理得OE=7OC2-CE2=62-42=3，

.AE=OE+OA=3+5=8,

AC=y]CE2+AE2=A/42+82=4石.

【點睛】本題考查圓的切線的定義、垂徑定理和勾股定理，本題中通過垂徑定理得出CE,證明E、0、A三點共

線是解題的關(guān)鍵.

16.ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,E是AC的中點，MN分別是邊48、BC上的動點，。也是BC

邊上的一個動點，以CD為直徑作：O,連接ED交。于凡連接FM,MN,貝URW+肱V的最小值為.

【分析】連接CF由CD是。。的直徑可知N"D=90。，從而得出ACEP是直角三角形，再取CE的中點G,可知

FG=-CE=-AC=\,故F點在以G為圓心的單位圓上，作出這個單位圓.將AABC沿向下翻折得到

24

△ABC1,并取N點對稱點N1連接顯然MN=MN',要求FM+MN的最小值就是求FM+W的最小值.過

點G作GNLLBC于交。G于凡交于根據(jù)垂線段最短可知此時PM+MN取最小值，延長線段VG,

A4交于點P，利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)可以求出EW+MN取最小值.

【詳解】如圖，連接CF,取CE的中點G,連接FG,將將“BC沿向下翻折得到二A3C',并取N點對稱點

N',連接則MN=MN',NCBC'=2/ABC=60。.

：CO是。。的直徑，

ZCFD=90°,

：.ZCFE=90°,

.?.△CEP是直角三角形，

FG=-CE.

2

又：AC=4,E是AC的中點，

CE=-AC=2,

2

FG^-CE^l,

2

；.廠點在以G為圓心的單位圓上.

如下圖，以G為圓心畫出這個單位圓.

為定值，要求尸的最小值可先求GF+FM+MN的最小值，即GF+FM+MN的最小值.

根據(jù)垂線段最短可知，GF+FM+MM的最小值是G到BC的距離.

如下圖，過點G作GNLLBC于交。G于尸，交于延長線段MG,交于點尸.（將原圖剩余線段與

圓補齊）

VZCBCf=60o,

???ZP=30°.

XVCG=FG^-CE^1,

2

：.PG=2,PC=6,

在AABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,

BC=473,

:.PB=BC+PC=5y/3.

在△尸BV中，NPN'B=90°,/PBN'=NCBC'=60°,PB=5。

2

：.G尸+FM+MN'的最小值也就是G到BC的距離GN'=PN'-PG=—,

2

9

；.FM+MV的最小值=GN'-GF=-,

9

即FM+MN的最小值是萬.

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，直角三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最

短.能推出/在以G為圓心的單位圓上和靈活運用垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，AABC三邊的中點。，E,尸組成△￡)￡1〃，△￡)￡產(chǎn)三邊的中點N,尸組成AA/NP,將△FPM與△EC。

涂成陰影.假設(shè)可以隨意在AABC中取點，那么這個點取在陰影部分的概率為.

B

【答案】X2

lo

【分析】由三角形中位線定理易求得設(shè)陰影部分的面積與△CA4的面積的比值，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答

案.

【詳解】解：E分別是BC、AC的中點，

是AABC的中位線，

：.ED//AB,且。E=：AB,

：./\CDE^/\CBA,

,S&CDE_(DE)1

^ACBA〔ABJ4

：.SACDE^-SCBA.

4A

同理，SFPM^-SFDE=—SCBA.

A4A16A

SAFPM+SACDE=—SACBA.

16

則冬￡=9

SACBA16-

故答案是：工

lo

【點睛】本題考查了三角形中位線定理與幾何概率的求法，關(guān)鍵是利用中位線定理求出陰影部分面積與整個三角

形面積的比值.

18.如圖，二次函數(shù)y=o?+6x+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),與y軸的交點為C,對稱軸為直線x=-l,下列結(jié)

論：①絲旦＞0；②若點尸(-2-己%)和°(〃+3,%)是該拋物線上的兩點，則%＞%;③不等式

abc

62+法+°＜0的解集為-；＜》＜1;④在對稱軸上存在一點8,使得AABC是以AC為斜邊的直角三角形.其中一

定正確的是(填序號即可).

【分析】本題只需逐個判斷；

①需要先判斷A,a,b,c的符號，然后確定4℃一?是否大于0；

abc

②可以先找到點尸關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點，再利用二次函數(shù)增減性比較函數(shù)值；

③可以利用對稱軸和點A坐標(biāo)找到a,b,c之間的關(guān)系，從而簡化不等式cf+^x+qCO,再利用函數(shù)圖像求出它

的解集；

④假設(shè)存在這樣的點2,取AC的中點。，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知8￡>=；AC,設(shè)出

點8利用這個關(guān)系式建立方程看是否有解，有解則存在這樣的點2,無解則不存在.

【詳解】解：①由圖可知二次函數(shù)）=〃/+法+C的圖象與無軸有兩個交點，

A=/?2—4ac>0,

**?4ac—b2<0-

又??,拋物線的開口向下，對稱軸在y軸左邊，

a<0,b<0.

又??,拋物線與y軸交點在原點上方，

：.c>0,

abc

.??①錯誤，不符合題意；

②因為對稱軸是直線尤=-1,

P（-2-產(chǎn),%）關(guān)于直線％=-1對稱的對稱點是尸'仔，乂）.

又<a<0,b<0f

?,?當(dāng)￡>-1時，y隨著x的增大而減小.

又?二-l<t2"+3,

M>為，

...②正確，符合題意;

③，??二次函數(shù)y=a%2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),對稱軸為直線x=T,

—b

a+Z?+c=0,——=-1,

2a

:.b=2a,c=—3a,

又,**ex2+bx+a<Q,

??一3cix^+2ax+Q<0?

又a<0,

??—3%2+2x+1>0,

(3x+l)(x-l)<0,

3x+l>0A,1

，角星得一彳<工<1,

x-l<03

3x+l<0

或x-l>0，無解'

ex2+bx+a<G的解集為一;<x<1,

???③正確，符合題意;

.二二次函數(shù)解析式可化為y=以2+2QX一3〃,

???點C坐標(biāo)為(。，-3〃).

又??,A(1,O),點是AC的中點,

?.?。c/(]展-^-)'AC=4I9-〃-—+1?

假設(shè)在對稱軸上存在一點B(-l,m),使得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形,

則有BD=/1_y+(相_年)2,且3Q=；AC,

-二；d9a2+1

整理得：m2+3am+2=Q其中。<0,

*,?當(dāng)A=9a2—8>0?即aW-2母或a之2拒時，方程療+3〃機+2=0有解，

33

.??當(dāng)—迪<〃<0時，不存在這樣的點5,

3

當(dāng)aW-逑時，存在這樣的點艮

3

，④不一定存在這樣的點8,不符合題意.

綜上所述：一定正確的是：②③.

故答案為：②③.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)a,b,c,A的符號判定，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一元二次不等式的解集，直角三

角形存在性問題，掌握轉(zhuǎn)化思想是本題解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共有6小題，共46分；第19-20每小題6分，第21-22小題每小題7分，第23

小題8分，第24小題10分）

19.解下列方程：

⑴（尤-1）2=9

⑵尤2+4x=4

(3)x(%-l)-x=0

(4)2f-3x=l

【答案】(1)尤i=4,%=-2

⑵%=2后-2,X2=-2A/2-2

（3）玉=。，馬=2

小3+而'

（有再=1—

【分析】（1）利用直接開方法求解;

（2）利用配方法求解；

（3）利用因式分解法求解；

（4）利用公式法求解.

【詳解】（1）解：（1）一=9,

x—1=±3,

解得：石=4,x2=-2;

(2)解：f+4x=4,

%?+4-x+4=8,

(X+2)2=8,

x+2=±2^2，

解得：x1-2,\/2—2,x2=—2y/2—2；

(3)解：Ml)一x=°,

x2-x-x=O，

爐—2%=0,

x(x-2)=0,

%=0或%-2=0,

解得：石=。，%=2;

(4)解：2X2-3X=1,

2x?—3尤—1=0,

〃=2,Z?=—3,c=—lf

A=Z?2—4ac=17>0

_-b±ylb2-4ac_3±歷_3±V17

x-----------------------------，

2a2x24

?z3+V173-V17

觸&得s：x.=----------，x,=----------.

424

【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握直接開方法、配方法、因式分解法、公式法等解一元二次方程的方

法是解題的關(guān)鍵.

20.從甲、乙兩個企業(yè)隨機抽取部分職工，對某個月月收入情況進行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果分別制成扇形統(tǒng)計圖和

條形統(tǒng)計圖.

甲企業(yè)部分職工月收入扇形統(tǒng)計圖乙企業(yè)部分職工月收入條形統(tǒng)計圖

(1)在扇形統(tǒng)計圖中，“6千元”所在的扇形的圓心角是

(2)在乙企業(yè)抽取的部分職工中，隨機選擇一名職工，求該職工月收入超過5千元的概率;

(3)若要比較甲、乙兩家企業(yè)抽取的職工的平均工資，小明提出自己的看法：雖然不知道甲企業(yè)抽取職工的人數(shù),

但是可以根據(jù)加權(quán)平均數(shù)計算甲企業(yè)抽取的職工的平均工資，因此可以比較；小明的說法正確嗎？若正確，請比

較甲企業(yè)抽取的職工的平均工資與乙企業(yè)抽取的職工的平均工資的多少；若不正確，請說明理由.

【答案】(1)144°；

3

⑵歷；

(3)正確，甲企業(yè)的平均工資與乙企業(yè)的平均工資相等.

【分析】(1)用360。乘以“6千元”所占的的百分比即可;

(2)利用概率公式計算即可；

(3)分別根據(jù)加權(quán)平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的計算方法求出甲企業(yè)和乙企業(yè)的平均工資，然后可作出判斷.

【詳解】(1)解：360°x(1-10%-10%-20%-20%)=144°,

故答案為：144。；

(2)由條形圖可得：乙企業(yè)共抽取10人，其中月收入超過5千元的有3人，

3

該職工月收入超過5千元的概率為：—；

(3)小明的說法正確，

設(shè)甲企業(yè)的調(diào)查人數(shù)為如

；“6千元”所占的百分比為：1-10%-10%-20%-20%=40%,

.?.甲企業(yè)的平均工資為：—x(20%?ix5+10%//JX4+10%mx8+20%mx7+40%wx6)=6(千元)，

m

一人“.丁.人、r5x4+2x5+2x9+1x12,,十一、

乙企業(yè)的平均工資為：------一一---------=6(千兀)，

5+2+2+1

二.甲企業(yè)的平均工資與乙企業(yè)的平均工資相等.

【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，概率公式，求加權(quán)平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，讀懂統(tǒng)計

圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)

計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

21.如圖，在長度均為1的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A(1,0),B(4,2),C(2,

4).

⑴將AABC沿著x軸向左平移5個單位后得到△AB'C,請在圖中畫出平移后△AB'C',則C的對應(yīng)點C'的坐標(biāo)為

(2)線段AE可以看成是線段瓦1繞著某個定點旋轉(zhuǎn)180。后得到的圖形，這個定點的坐標(biāo)是.

【答案】(1)圖見解析，C(-3,4)

⑵(0,1)

【分析】(1)將點A,B,C都向左平移5個單位得出點A,B',C'順次連接得出△AB'C',再由網(wǎng)格線得出點C

的坐標(biāo)；

(2)連接43,3N相交于點。，即可判斷出點。是旋轉(zhuǎn)中心，由網(wǎng)格線即可得出點。的坐標(biāo)；

【詳解】(1)解：???將AABC沿著x軸向左平移5個單位后得到△A'3'C',且C(2,4),

C'的對應(yīng)點。的坐標(biāo)為(-3,4),

故答案為(-3,4).

(2)解：?..線段A3,可以看成是線段1M繞著某個定點旋轉(zhuǎn)180。后得到的圖形,

.?.點4與點2是對應(yīng)點，點8'與點A是對應(yīng)點,

連接A'3,3'A相交于點。(定點),

由圖形知，D(0,1),

即旋轉(zhuǎn)中心為點。(0,1),

故答案為(0,1).

【點睛】此題主要考查了平移,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

22.問題提出

B

圖2圖3

(D如圖1,A、8為。。外的兩點，請在。。上畫出所有使得AC+BC的值最小的C點.

問題探究

(2)如圖2,在四邊形A8CQ中，AB=AD=3,ZBCD=ZBAD=90°,AC=4,求BC+C。的值；

問題解決

(3)如圖3,某城市要修建一塊草坪，草坪由三條線段AB、BC、C。和圓弧周成，計劃在圓弧段用花來布置

成標(biāo)志性造型，和C。段栽種觀賞性樹木，2C臨湖.已知點E為上一點，BE=CE=6,長為4%,且

AO上任意一點R滿足48/￡=30。，為了降低成本，現(xiàn)計劃使得AB+C。最小，求4B+CD的最小值.

【答案】（1）見解析

⑵4點

（3）677

【分析】（1）利用兩點之間線段最短求解；

（2）利用AAS證明=推出=AN=AM,進而得出BC+CD=CAf+CV,再證四邊形

ANCM是正方形，結(jié)合AC=4,利用勾股定理求出正方形ANCM的邊長，即可求解；

（3）如圖（見解析）作輔助線，找出點尸所在圓的圓心，證明AAOB三AGOD,推出。G=AB,進而得出

AB+CD=GD+CD,從而將A2與CZ）轉(zhuǎn)化為一個三角形的兩個邊，依靠三角形的三邊關(guān)系進行求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接AB,AB與。。的交點G和為所求c點;

(2)

解：如圖，作AMLCD于點作ANJ_3C交BC的延長線于點N,

則ZAMC=ZANC=90°,

又：ZBCD=90°,

二四邊形A7VCM是矩形，

ZNAM=90°=ABAD,AN=CM,

：.ZNAM-ZBAM=ABAD-ZBAM,

即N2vAB=

在NNAB和AM4D中，

/NAB=/MAD

</ANB=/AMD,

AB=AD

ANAB三AAf4D(AAS),

:.NB=MD,AN=AM,

：.BC+CD=BC+CM+MD=BC+CM+BN=CM+CN,

:四邊形A7VCM是矩形，AN=AM,

...四邊形ANCM是正方形，

：.CM=AN=CN=AM,

AC2=AN2+CN2=2CN2,

即42=2CN2,

CN=2A/2，

；?BC+CD=CM+CN=2y/2+2y/2=4y/2;

(3)

解：：點廠在運動的過程中，滿足ZBEE=30。，

/.點/可看作是在以BE為弦的圓上運動，ZBFE為弦BE所對的圓周角，

.?.弦BE所對的圓心角為：30°x2=60°,

以BE為邊向上作等邊三角形BEO,可得點。為動點/所在圓的圓心，圓。的半徑為6.

連接。4,0D,延長E0與圓0交于點G,連接GD

長為41，半徑。4=6，

：.ZAOD=----------360。=120。，

2x6?乃

又由等邊三角形的性質(zhì)知ZBOE=60°,

：.ZAOB+ZDOE=360°-ZAOD-ZBOE=360°-120°-60°=180°,

又:ZGOD+ZDOE=1SO0,

???ZAOB=ZGOD,

XVOA=OB=OG=OD,

：.AAOB三NGOD,

DG=AB,

AB+CD=GD+CD,

.?.當(dāng)G,D,C三點共線時，GD+CD取最小值，AB+CD取最小值，最小值為GC.

連接GB,如下圖所示:

此時，G點與。點重合，A點與B點重合，

：GE是直徑，

/./GBE=90。,

在RtAGBE中，GE=2OE=12,BE=6,

?*-GB=SIGE2-BE2=V122-62=6A/3，

RtAGBC中，GC=y/GB2+BC2=+122=6—，

/.AB+CD的最小值為6將.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，勾

股定理解直角三角形等知識點，綜合性很強，屬于壓軸題，第三問難度很大，將AB+CD轉(zhuǎn)化為GD+CD,得出

AB+CD的最小值為GC是解題的關(guān)鍵.

23.隨著武漢解封，湖北各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)正有序進行，經(jīng)濟復(fù)蘇也按下了“重啟鍵”.為助力湖北復(fù)蘇，4月8日抖

音發(fā)起了“湖北重啟，抖來助力-抖音援鄂復(fù)蘇計劃”，通過直播或短視頻助力推廣湖北特色產(chǎn)品?已知當(dāng)天的直播

活動中熱干面和周黑鴨共銷售18萬份，其中周黑鴨的銷量是熱干面的3.5倍.

（1）求當(dāng)天的直播活動中銷售了多少萬份周黑鴨？

⑵為刺激消費，直播中推出了優(yōu)惠活動?疫情前，疫情期間售價均為100元一份的周黑鴨（一份里面有一盒鎖骨，

兩盒鴨脖，一盒鴨掌），以6折力度售賣.疫情前，疫情期間售價均為60元一份的熱干面（一份里面有6包熱干

面），以5折力度售賣.己知疫情前周黑鴨的日銷售量比直播當(dāng)天的銷量少2a%,疫情期間的日銷售額比疫情前的

日銷售額減少了680萬元；疫情前熱干面的日銷量比直播當(dāng)天熱干面的銷量少￡“％，疫情期間的日銷售量比疫情

前的日銷售量減少了8〃％；疫情期間周黑鴨和熱干面的總?cè)珍N售額比直播當(dāng)天的總銷售額少5a%,求”的值.

【答案】(1)當(dāng)天的直播活動中銷售了14萬份周黑鴨

(2)。的值為三45

4

【分析】(1)設(shè)當(dāng)天的直播活動中銷售