2023年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：定積分與微積分的基本定理

第十四節(jié)定積分與微積分基本定理

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.考察形式多為選擇題或填空題.

1.理解定積分的實(shí)際背景，理2.考察簡樸定積分的求解.如2023年江西T11等.

解定積分的基本思想,理解定3.考察曲邊梯形面積的求解.如2023年湖北T3,山東T15,

積分的概念.上海T13等.

2.理解微積分基本定理的含義.4.與幾何概型相結(jié)合考察.如2023年福建T6等.

4.與幾何概型相結(jié)合考察.如2023年福建T6等.

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［核的?知謂整合］

1.定積分

(1)定積分的有關(guān)概念

在f(x)dx中，a,b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間［a,b］叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被

積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式.

(2)定積分的幾何意義

①當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上恒為正時(shí)，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線x=a,

x=b(aWb),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(左圖中陰影部分).

②一般狀況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于X軸、曲線f(x)以及直線*=%X

=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)

間上的積分值，在X軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).

(3)定積分的基本性質(zhì)

①fakf(x}dx—kfg/lx-ldx.

②f-a)±6(x)ldx=/舫(x)A土/底(x)dx

③f紐x)dx=/猶x)(k+/紐x)ck.

［探究］1.若積分變量為t,則f(x)dx與f(t)dt與否相等？

提醒:相等.

2.一種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的,反過來導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)唯一嗎？

提醒:一種函數(shù)日勺導(dǎo)數(shù)是唯一日勺,而導(dǎo)函數(shù)日勺原函數(shù)則有無窮多種,這些原函數(shù)之間都相

差一種常數(shù),在運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí),只要找到被積函數(shù)日勺一種原函數(shù)即可,并且

一般使用不含常數(shù)日勺原函數(shù),這樣有助于計(jì)算.

3.定積分［f(x)—g(x)］dx(f(x)>g(x))的幾何意義是什么？

提醒：由直線x=a,x=b和曲線y=f(x),y=g(x)所圍成日勺曲邊梯形日勺面積.

2.微積分基本定理

假如f(x)是區(qū)間［a,b］上的持續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)—F(a),這個(gè)

結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓一萊布尼茲公式.

為了以便,常把F(b)—F(a)記成F(x),即

f(x)dx=F(x)=F(b)—F(a).

［自測?牛萬小被J

1./￡心等于()

A.21n2B.-21n2

C.-In2D.In2

解析:選Ddx=lnx=ln4—ln2=ln2.

2.(教材習(xí)題改編)一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度和時(shí)間的關(guān)系為V(t)=t2—1+2,質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),

則此物體在時(shí)間［1,2］內(nèi)的位移為()

解析:選AS=（t2—t+2）dt==.

3.（教材習(xí)題改編）直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成的I曲邊梯形於I面積為

解析：x2dx=x3=

答案：I

4.（教材改編題）dx=.

解析：由定積分日勺幾何意義可知，dx表達(dá)單位圓x2+y2=l在第一象限內(nèi)部分日勺

面積,因此

f(f\l1—x2dx=^n.

答案：n

5.由曲線丫=，直線y=—x+所圍成的封閉圖形的面積為.

解析：作出圖象如圖所示.解方程組可得交點(diǎn)為A,B,因此陰影部分的面積,

答案：一21n2

運(yùn)用微積分基本定理求定積分

［例1］運(yùn)用微積分基本定理求下列定積分:

(1)fi(x2+2x+l)dx；(2)f3(sin%—cosx)dx；

(3)fox(x+l)dx；(4)f彳(。2*+jdx

71

2?2^J

(5)Qsin2ti^.

1Q

［自主解答］(1)f\(X2+2X+l)dx=f彳x2dx+fi2xdx+fildx=yli+x2|彳+x|彳=于

(2)fo(sin%—cosx)dx

=j§sinxdx-fgeosxdx

=(—cosx)|Lsinx|6=2.

⑶fQX(X+l)dx=fa(f+x)dx

=fox2dx+f笈dx=￥lo+^x2Io

=(JX23-0)+(JX22-0)=^.

(4)ft^e2x+^dr=fie2xdx+fi^dr

~2e2xlt+lnx|i=^e4—^e2+ln2—In1

=^e4—^e2+ln2.

_1y1.(—三1兀一2

~2Xo—2sin龍o~4~2~~4~,

［方法?規(guī)律］________________________________

求定積分日勺一般環(huán)節(jié)

計(jì)算某些簡樸的定積分,解題的環(huán)節(jié)是：

(1)把被積函數(shù)變形為累函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積時(shí)和或差;

(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分;

(3)分別用求導(dǎo)公式找到一種對應(yīng)的原函數(shù)；

(4)運(yùn)用牛頓―萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值;

(5)計(jì)算原始定積分時(shí)值.

■式訓(xùn)練

1.求下列定積分：

(1)fok—l|ir；

(2)J571-sin2尤dx

解:(l)|x—1|=

故fo|x—l|dx=fo(l—x)dx+fi(x-l)dx

0B+f

(2)J.^/T--sin2xdx

g|sinx-cosx|dx=J(cos%—sinx)dx+\(sinx-cosx)dx

=(sinx+cosx)Q+(—cosx-sinx)\

=y［2—1+(—1+也)—2吸—2.

運(yùn)用定積分日勺幾何意義求定積分

［例2］f~x1+2xdx=.

［自主解答］dx表達(dá)y=與x=0,x=l及y=0所圍成的圖形的面積.

由y=得(x—l)2+y2=l(y^0),

又YOWxWl,

.?.y=與x=0,x=l及y=0所圍成的I圖形為個(gè)圓，其面積為.

/.foyJ~x2+2xdx=^.

在本例中，變化積分上限,求dx時(shí)值.

解：dx表達(dá)圓(x—l)2+y2=1在第一象限內(nèi)部分日勺面積,即半圓日勺面積,因此

f耳—/+2xdr

［方法?規(guī)律］________________________________

運(yùn)用幾何意義求定積分日勺措施

(1)當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜,定積分很難直接求出時(shí),可考慮用定積分的幾何意義求定積分.

(2)運(yùn)用定積分的幾何意義,可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比較定積分值的大小.

II喳式訓(xùn)練

2.(2023,福建模擬)已知函數(shù)f(x)=(cost-sint)dt(x>0),則f(x)%)最大值為.

解析：由于f(x)=sindt

=A/2COS(J-|6=V2cos(j-xj—V2cos

=sinx+cosx—1=sin一1《—1,

當(dāng)且僅當(dāng)sin=1時(shí)，等號成立.

答案：一1

運(yùn)用定積分求平面圖形日勺面積

raasl

［例3］(2023?山東高考)由曲線y=,直線y=x—2及y軸所圍成日勺圖形日勺面積為

)

A.B.4

C.D.6

［自主解答］由y=及丫=*—2可得，*=4,即兩曲線交于點(diǎn)(4,2).由定積分日勺幾何意

義可知，由y=及y=x-2及y軸所圍成日勺封閉圖形面積為

［答案］C

若將“y=x—2”改為“y=—x+2"，將“y軸”改為“x軸”，怎樣求解？

解：如圖所示，由y=及y=-x+2可得x=l.由定積分歐I幾何意義可知，由y=,

y=-x+2及x軸所圍成的I封閉圖形的I面積為f(x)dx=dx+(―x+2)dx=x+

7

6-

［方法.規(guī)律］________________________________

運(yùn)用定積分求曲邊梯形面積日勺環(huán)節(jié)

(1)畫出曲線的草圖.

(2)借助圖形,確定被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限.

(3)將“曲邊梯形”的面積表達(dá)成若干個(gè)定積分附和或差.

(4)計(jì)算定積分，寫出答案.

||曜式訓(xùn)練

3.(2023?鄭州模擬)如圖，曲線y=x2和直線x=0,x=l,y=所圍成的I

圖形(陰影部分)的面積為()

A.|B.|

C-2D4

解析:選D由=x=或

%=一(舍),因此陰影部分面積

2

1

=不

定積分在物理中日勺應(yīng)用

［例4］列車以72km/h日勺速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度a=-0.4m/s2,問列車應(yīng)

在進(jìn)站前多長時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)？

［自主解答］a=—0.4m/s2,v0=72km/h=20m/s.

設(shè)ts后口勺速度為v,則v=20—0.4t.

令v=0,即20-0.4t=0得t=50(s).

設(shè)列車由開始制動(dòng)到停止所走過的旅程為s,

貝，］s=f*。由=fo°(2O—0.4f)d?

=(20t~0.2t2)|§°

=20X50-0.2X502=500(m),

即列車應(yīng)在進(jìn)站前50s和進(jìn)站前500m處開始制動(dòng).

［方法,規(guī)律］_____________________________

1.變速直線運(yùn)動(dòng)問題

假如做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v有關(guān)時(shí)間t的函數(shù)是v=v(t)(v(t)20),那么物體從

時(shí)刻t=a到t=b所通過的旅程為v(t)dt；假如做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v有關(guān)時(shí)間

t的函數(shù)是v=v(t)(v(t)W0),那么物體從時(shí)亥Ut=a至!Jt=b所通過的旅程為一v(t)dt.

2.變力做功問題

物體在變力F(x)的作用下,沿與力F(x)相似方向從x=a到x=b所做的功為F(x)dx.

式訓(xùn)練

4.一物體在力F(x)=(單位：N肥作用下沿與力F(x)相似的方向運(yùn)動(dòng)了4米，力F(x)做

功為()

A.44JB.46J

C.48JD.50J

解析:選B力F(x)做功為10dx+(3x+4)dx

=10x|3+(1

=20+26=46.

［通法-----歸納領(lǐng)悟］

1個(gè)定理——微積分基本定理

由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是

互為逆運(yùn)算.

3條性質(zhì)---定積分的I性質(zhì)

(1)常數(shù)可提到積分號外；

(2)和差的積分等于積分的和差；

(3)積分可分段進(jìn)行.

3個(gè)注意一定積分的計(jì)算應(yīng)注意的問題

(1)若積分式子中有幾種不一樣的參數(shù),則必須分清誰是積分變量；

(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限不不大于積分下限；

(3)面積非負(fù).而定積分的成果可認(rèn)為負(fù).

鴕科醒常國鹿胸曾囹醬為閱圃O(shè)施筋寤端圖蠡隱碗

易誤警示——運(yùn)用定積分求平面圖形日勺面積日勺易錯(cuò)點(diǎn)

［典例］(2023■上海高考)已知函數(shù)y=f(x)日勺圖象是折線段ABC,其中A(0,0),B,

C(l,0).函數(shù)y=xf(x)(0WxWl)日勺圖象與x軸圍成日勺圖形日勺面積為

［解析］由題意可得

flOx,OWxW或

危尸1

[10—10%,

lOx2,(XW^,

1

{10x~IO%2,

1f^10；

與x軸圍成圖形日勺面積為J女lO^ckd-j\錯(cuò)誤!未找到引用源。(10x—10j(2)dx=~^'x3o

2

十(5f—冬3)］錯(cuò)誤!未找到引用源。=1

［答案］|

［易誤辨析］

1.本題易寫錯(cuò)圖形面積與定積分間的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

2.本題易弄錯(cuò)積分上、下限而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤,實(shí)質(zhì)是解析幾何時(shí)有關(guān)知識和運(yùn)算能力不

夠致錯(cuò).

3.處理運(yùn)用定積分求平面圖形的面積問題時(shí),應(yīng)處理好如下兩個(gè)問題：

(1)熟悉常見曲線，可以對的作出圖形，求出曲線交點(diǎn)，必要時(shí)能對的分割圖形；

(2)精確確定被積函數(shù)和積分變量.

［變式訓(xùn)練］

1.由曲線y=x2,y=x3圍成的封閉圖形面積為()

11

A.適B，4

解析:選A由得x=0或x=l,由圖易知封閉圖形日勺面積=(x2—x3)dx=

2.(2023?山東高考)設(shè)a>0.若曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,

則a=.

解析：由題意dx=a2.

又'=，即x=a2,

2-4

即行〃2=片.因止匕

4

答案：g

二演

一、選擇題(本大題共6小題，每題5分，共30分)

1+lnx

i.n-?dx=()

A.Inx+ln2xB.-1

c.|

解析:選Cdx=

2.(2023?湖北高考)已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則它與x軸所圍圖形的I面

C.|c兀

D.1

解析:選B由題中圖象易知f(x)=—x2+l,則所求面積為2(—x2+l)dx=2

3.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+b(aW0),若f(x)dx=3f(xO),則xO等于()

A.±1B.

C.±D.2

解析：選Cf(x)dx=(ax2+b)dx==9a+3b,

則9a+3b=3(ax+b),

即x=3,xO=±.

4.設(shè)f(x)=貝Uf(x)dx=()

A.|B.1

C.D.不存在

解析：選C如圖.

fij(x)dx=f3dx+fi(2—x)dx

=|+(4-2-2+1)

_5

=6,

5.以初速度40m/s豎直向上拋一物體，t秒時(shí)刻的速度v=40—10t2,則此物體到達(dá)最高

時(shí)時(shí)高度為（）

人160

A.^-m

「2°

D.4m

角翠析:選Av=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt

==40X2—X8=（m）.

6.（2023?青島模擬）由直線x=—,x=,y=0與曲線y=cosx所圍成的I封閉圖形的I

面積為（）

A.B.1

解析：選D結(jié)合函數(shù)圖象可得所求日勺面積是定積分cosxdx=

二、填空題（本大題共3小題,每題5分，共15分）

7.設(shè)a=sinxdx,則曲線y=f（x）=xax+ax—2在點(diǎn)（1,f（l））處的J切線的I斜率為

角星析：".'a=sinxdx=(-cosx)=2,

：.y=x-2x+2x~2.

：.yf=2%+?2Hn2+2.

???曲線在點(diǎn)(1,f(1))處日勺切線日勺斜率k=y，|x=l=4+21n2.

答案:4+21n2

8.在等比數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)al=,a4=(l+2x)dx,則該數(shù)列的I前5項(xiàng)之和S5等于

解析：a4=(l+2x)dx=(x+x2)=18,由于數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，故18=q3,解

得q=3,因此S5==.

左安—242

*R"木：3

9.(2023,孝感模擬)已知，則當(dāng)(cosx-sinx)dx取最大值時(shí),a=.

角星析：(cosx—sinx)dx=(sinx+cosx)

=sintz+cosa-l

=sin—1,

Vae,?,.當(dāng)@=時(shí)，sin-1取最大值.

宏口木案.-4

三、解答題(本大題共3小題,每題12分,共36分)

10.計(jì)算下列定積分：

71

(1)Jsin2xdx；

(2)/依+打切

⑶也.

解：⑴sin2xdx=dx

=SX-4sin2x)o

=Qx2+2x+lnxjg

=?+6+ln3)-(2+4+ln2)

993

=5+ln3—In2=2+1115.

111.1

(3)j0e2A'dx=2e2x0=2e-2-

11.如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等日勺兩部分,

求k日勺值.

解:拋物線y=x—x2與x軸兩交點(diǎn)日勺橫坐標(biāo)為xl=0,x2=l,

因此，拋物線與X軸所圍圖形日勺面積

S=/"一/曲=仔-￡)|o=1.

\yx,

又，.

[ykxt

由此可得,拋物線y=x—x2與y=kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3=0,x4=l—k,因此,

oc

--

2o~k(x~x2~kx)dx

又知S=，因此(l—k)3=,

汨

于是

k—l~2-

12.如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y=x2向點(diǎn)A(2,4)移動(dòng)，直線0P與曲線y=x2圍成

圖形日勺面積為S1,直線0P與曲線y=x2及直線x=2圍成圖形日勺面積為S2,若S1=S2,

求點(diǎn)P日勺坐標(biāo).

解:設(shè)直線0P日勺方程為y=kx,點(diǎn)P日勺坐標(biāo)為(x,y),

則(kx—x2)dx=(x2—kx)dx,

即=,

解得kx2-x3=-2k-,

解得k=,即直線OPH勺方程為y=x,因此點(diǎn)P□勺坐標(biāo)為.

教師備選題供做師備裸透用

w/(ms-I)

1.一物體做變速直線運(yùn)動(dòng),其v—t曲線如圖所示,則該物體在