2024-2025學(xué)年湖北重點(diǎn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年湖北重點(diǎn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試卷

時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知復(fù)數(shù)（1+1）（2+加）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為（）

A.（-2）B.（2,+co）C.（-oo,-2）D.（-2,2）

2.平行六面體ABCD—4與￡。1中，。為4G與BQ交點(diǎn)，設(shè)AB=方,AZ）=Z?,=},用苕，瓦不

表示前，則（）

A.BO=a-b+—cB.BO=a+—b~cC.BO=——a+b+cD.BO=——a+—b+c

22222

3.被譽(yù)為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個(gè)莫愁村最高的建筑，

登樓遠(yuǎn)跳，可將全村風(fēng)景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺(tái)，如圖所示，上底面正方形的邊長(zhǎng)

約為8米，下底面正方形的邊長(zhǎng)約為12米，高約為15米，則塔樓主體的體積（單位：立方米）約為（）

A2400B.1520C.1530D.2410

4.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互

32

不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，則該同學(xué)在

43

這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

7151

A.—B.-C.—D.一

122123

5.已知）=（-1,9,1）卮=（——3,2）卮=（0,2,1）,若忖，后，可不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則根=

（）

A.3B.1C.5D.7

6.設(shè)VABC的內(nèi)角ASC的對(duì)邊分別為且4+/+必=/,若角。的內(nèi)角平分線?；?2,

1

則就?國(guó)的最小值為（）

A.8B.4C.16D.12

7.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用

y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（尤,y）表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件E:x+y=8；事件尸：至少有一顆點(diǎn)數(shù)

為5；事件G:尤＞4；事件”：y?4.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.事件E與事件/為互斥事件B.事件廠與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨(dú)立D.事件G與事件〃相互獨(dú)立

8.現(xiàn)有一段底面周長(zhǎng)為12兀厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水

管內(nèi)壁爬行，一只從A點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針?lè)较蚺佬胸＠迕缀笤傧蛳屡佬?厘米到達(dá)尸點(diǎn)，另一只從

3沿下底部圓弧逆時(shí)針?lè)较蚺佬胸＠迕缀笤傧蛏吓佬?厘米爬行到達(dá)。點(diǎn)，則此時(shí)線段尸。長(zhǎng)（單位：

厘米）為（）

3旌J二度……J二:

A.672B.6A/3C.6D.12

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)石,々,…其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記％,4，。,4.由這組數(shù)據(jù)得到

新樣本數(shù)據(jù)%，為，…，"，其中X=2^-2024（Z=1,2,...,?）,其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記

為CL]，4,C?,d?，則（）

A,電二？1-2024B.b?=b[C,c2=2qD.d2=2dx

10.設(shè)Qx,0y，Oz是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為60。的三條數(shù)軸，向量,，晟，?分別與％軸、V軸.z軸方向

同向的單位向量，若空間向量少滿足方=xq+*2+z6（羽V，z￡R）,則有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）稱為向量五

2

在斜60°坐標(biāo)系Ox”（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），記作方=（x,y,z）,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.已知商=（1,2,3）,則間=5

B.已知江=（-1,2,1）,5=（2,T,—2）,則向量2〃5

C.已知少=（3,-1,2）石=（1,3,0）,則30=0

D.己知函=（1,0,0）,礪=（0,1,0）,元=（0,0,1）,則三棱錐O—A5c的外接球體積丫=的

11.在圓錐尸。中，PO為高,A3為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為夜，母線長(zhǎng)為2,點(diǎn)C為

的中點(diǎn)，圓錐底面上點(diǎn)M在以AO為直徑的圓上（不含A。兩點(diǎn)），點(diǎn)〃在尸M上，且？ALQW,

當(dāng)點(diǎn)Af運(yùn)動(dòng)時(shí)，則（）

A

A.三棱錐M-B4O的外接球體積為定值

B.直線CH與直線Q4不可能垂直

C.直線與平面上4"所成的角可能為60°

D.AH+HO<2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知3i-l是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程3/+2px+q=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)P的值為__________.

13已知向量萬(wàn)萬(wàn)滿足同=2,網(wǎng)=1,萬(wàn)+25=（20,1）,則cos1,B

2122

14.NABC內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,若&sinC—a—b=aI，且VA3C的面積

2b

為￥^（a+b+c），則2a+Z?的最小值為______.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分,第18、19小題17分，共77分.解答

應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

3

15.VABC的內(nèi)角A6C的對(duì)邊分別為a，0，c，已知（2c—Z?）cosA—acosB=0

（1）求A；

（2）若點(diǎn)〃在3c上，且滿足麗=祕(mì),AM=2,求VA3C面積的最大值.

16.某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)答,

現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖

所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地區(qū)所有學(xué)生中知識(shí)問(wèn)答成績(jī)的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）成績(jī)位列前10%的學(xué)生平臺(tái)會(huì)生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績(jī)至少為

多少分；

（3）已知落在［60,70）內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)?7,方差是9,落在［60,80）內(nèi)的平均成績(jī)是73,方差是29,求

落在［70,80）內(nèi)的平均成績(jī)和方差.

（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：加,記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平

均數(shù)為何，則總體樣本方差—訪）［+——刃）1）

17.如圖，在長(zhǎng)方體—中，AD=AAI=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

DiG

AEB

（1）當(dāng)點(diǎn)￡在棱A3的中點(diǎn)時(shí)，求平面。EC與平面OCR所成的夾角的余弦值；

（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，直線4。與平面QEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

4

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石頭、布”游戲(剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀)，規(guī)定每局中：①三人

出現(xiàn)同一種手勢(shì)，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢(shì)，贏者得2分，輸者負(fù)1分；③三人出現(xiàn)三種手

勢(shì)均得。分.當(dāng)有人累計(jì)得3分及以上時(shí)，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受

影響.

(1)求甲在一局中得2分的概率片；

(2)求游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率己；

(3)求游戲經(jīng)過(guò)兩局就結(jié)束的概率6.

19.在空間直角坐標(biāo)系。一孫z中，己知向量力=(a,/?,c),點(diǎn)發(fā)(Xo，%,zo).若直線/以日為方向向量且

經(jīng)過(guò)點(diǎn)兄，則直線/的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為23=匕%==1(口加wo)；若平面々以方為法向量

abc

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)《，則平面a的點(diǎn)法式方程表示為a(x-Xo)+〃(y-yo)+c(z-Zo)=O.

,x-1

(1)已知直線I的標(biāo)準(zhǔn)式方程為--~，平面%的點(diǎn)法式方程可表示為A/3X+y-z+5=0,

求直線/與平面四所成角的余弦值；

(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為2x+3y+z—2=0,平面外一點(diǎn),點(diǎn)P到平面見的

距離；

(3)(i)若集合Af={(x,y,z)||x|+|y|W2,|z|Wl},記集合”中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S,求幾何

體S的體積；

(ii)若集合N={(羽y,z)|N+Nw2，N+忖42,忖+兇42}.記集合N中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為T，

求幾何體：T相鄰兩個(gè)面(有公共棱)所成二面角的大小.

5

【答案】

1.B

【分析】化簡(jiǎn)得。+譏2+疝）=（2—m）+O+2）i,根據(jù)題意列出不等式組求解即可.

【詳解】解：因?yàn)椋╨+i）（2+疝）=（2—帆）+（加+2）i,

又因?yàn)榇藦?fù)數(shù)在第二象限,

2-m<0

所以《解得m>2.

m+2>0

故選：B.

2.D

【分析】由平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算即可求解;

【詳解】如圖:

由平行六面體的性質(zhì)可得

麗=麗+麗=麗+3麗=麗+：（正—砌=^+/—力_；萬(wàn)+；5+3

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)題意，利用棱臺(tái)的體積公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)約為8米，下底面邊長(zhǎng)約為12米，高約為15米，

可得正四棱臺(tái)的上底面面積為64平方米，下底面面積為144平方米，

則塔樓主體的體積約為V=；（64+144+&心而）x15=1520立方米.

故選:B.

4.C

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.

【詳解】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：12+—31=5

434312

6

故選：c.

5.B

【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.

【詳解】若何，石，區(qū)｝不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

,%％共面，

，存在使“二丸%

-1=2m+0

即<9=—34+2〃，

1=22+//

2=-1

解得4=3,

m=l

故選：B.

6.A

【分析】先根據(jù)結(jié)合余弦定理求。，再根據(jù)S.”C=SMCM+S-CM，結(jié)合面積公式

得至IJ

ab=2(b+a)>4j^b,進(jìn)而求出ab的最小值，再根據(jù)數(shù)量積定義求大?麗.

222

【詳解】ma+b+ab=c^

|9jr1jr1jr

由SAM=S△/A1VC-2KMI+SBCM，所以一absin-3=—bCMsm—3+—aCMsin—3,

化簡(jiǎn)得到他=2萬(wàn)+2〃，

所以=2(Z?+Q)N,則次?216,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=4時(shí)，等號(hào)成立,

7

所以北.礪=|前八麗

所以前?畫的最小值為8.

故選：A.

7.D

【分析】分別寫出事件E、F、G、//所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件的定義判斷A,B；根據(jù)獨(dú)立

事件的定義判斷C,D.

【詳解】解:由題意可知E={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}；

R={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}；

G={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

H={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；

對(duì)于A,因?yàn)镋cF=｛（3,5）,（5,3）｝,所以事件E與事件廠不是互斥事件，故錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)镚c/={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5)},所以事件G與事件E不是互斥事

件，故錯(cuò)誤；

512121

對(duì)于C,因?yàn)椤阠G={(5,3),(6,2)},P(E)=——，P(G)=——=—,P(EcG)=——=—wP(E)P(G),

363633618

所以事件石與事件G不相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)镚cH={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)},

242121Q2

寸P(HnG)=—=-=P(H)P(G),

所以事件E與事件G相互獨(dú)立，故正確.

故選：D.

8.A

【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長(zhǎng)得出角及點(diǎn)的坐標(biāo)，最后應(yīng)用空間向量?jī)牲c(diǎn)間距離計(jì)算.

【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心50,為z,y軸，再過(guò)。作08的垂線為x軸，如圖建

系，

過(guò)。向圓。作垂線垂足為儲(chǔ)，BQ^71,設(shè)圓。半徑為r,2口=12兀，所以r=6,

8

所以血=/BOQ】x6=樂(lè)/BOQ】屋,則Q(3,-360),Q@,-363

同理，過(guò)尸向圓O作垂線垂足為B，則網(wǎng)—3,—3百,0),網(wǎng)—3,—36,9),

所以|尸@=^(3+3)2+02+(9-3)2=6^/2.

9.ACD

【分析】根據(jù)新舊數(shù)據(jù)間樣本的數(shù)字特征的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

[詳解】依題意，平均數(shù)%=24-2024,中位數(shù)4=2々—2024,標(biāo)準(zhǔn)差c2=2q,極差4=2”,

所以ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ACD

10.AB

【分析】先明確同=同=同=i,.根據(jù)同2=(萬(wàn)『求同，判斷A的真假;

根據(jù)石=-22判斷B的真假；計(jì)算判斷C的真假；判斷三棱錐O-A5c的形狀，求其外接球半徑

及體積，判斷D的真假.

【詳解】由題意：k=同=同=1，ei-e2=ei'e3=e2'e3=~-

對(duì)A：因?yàn)閍=,+2%+303=1?=(ei+2e2+3%J-ex+4e2+9%+46?4+6,?6+124?%

=1+4+9+2+3+6=25,所以同=5.故A正確；

對(duì)B：因?yàn)椤?—[+2晟4=2]—4區(qū)—2豆，所以吞=—22,所以￡//九故B正確；

對(duì)C：4=3,-62+263，B=G+3C2，

因?yàn)間=(3q一6+203)(6+36)=3e：+9,/%-3e：+2q-e3+6e2-e3

9

91

=3+-------3+l+3=8wO,故C錯(cuò)誤;

22

對(duì)D：由題意，三棱錐O-ABC是邊長(zhǎng)為1的正四面體.如圖:

過(guò)。作平面ABC,垂足為E，則E在VA3C的中線AD上，且M:￡D=2:1,

因?yàn)镠ABC=手，AD=^,所以AE=g，=

設(shè)正四面體O—ABC外接球球心為G,則點(diǎn)G在OE上，且G亦為正四面體O—ABC內(nèi)切球球心,

設(shè)GO=R,GE=r.

R+r=r-

則3=R=旦,

R2=r2+-4

3

所以正四面體O—ABC外接球的體積為：丫=3兀/=±兀^3=，|兀故口錯(cuò)誤.

338

故選：AB

11.AD

【解析】

【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面POM，由此證明再證明點(diǎn)。為

三棱錐M-PAO的外接球球心，判斷A,證明PA，平面Q7/C,由此證明Q4，CH,判斷B；證明（9〃，

平面Q4",由此可得NQ4H為直線與平面HU/所成的角，解三角形求其正弦，判斷C,證明

OH±AH,解三角形求AH+HO,結(jié)合基本不等式求其范圍，判斷D.

詳解】連接

對(duì)于A,易知POL平面AMB,AMu平面AMB,所以

因?yàn)辄c(diǎn)〃在以AO為直徑的圓上（不含A、。），

所以O(shè)M[}PO=O,OMu平面POM,POu平面POM,

io

所以AM_L平面POM,又？Mu平面。?！?，

所以又POJLAO,C為E4的中點(diǎn)，PA=2,

所以CO=C4=CP=CM=1,

所以點(diǎn)C為三棱錐M-PAO的外接球的球心，

所以三棱錐M-Q4O的外接球的半徑為r=1,

所以三棱錐M-Q4O的外接球體積為定值，A正確；

由已知，PO±AO,PA=2,AO=0，

所以P0=百―（旬2=yf2=AO

所以APQ4為等腰三角形，連接OC,又C為Q4的中點(diǎn)，故上4LOC,

又FALOH,OHcOC=O,OHu平面OHC,OCu平面。77C,

則上4_L平面OHC,又CHu平面OHC,所以K4LCH,故B錯(cuò)誤.

因?yàn)槠矫鍼QW,又OT/u平面PQW,所以AM_LOH,

又PA_LOH,PA^\AM=A,40u平面Q4M，B4u平面Q4V,則OH，平面上4",

所以。4在平面上4"上的射影為AH,

所以NQ4H為直線。4與平面Q4"所成的角，

設(shè)OM=x,則PM72+X1,又=

所以0"

?/八〃x

所以sinNOA4H=萬(wàn)0H1

V2+x2

令NOAH=60°，則/:—~~>解得x=R，

41^2

即0M=C，與0M<Q4矛盾，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，因?yàn)槠矫?AHu平面B4",

后

所以O(shè)HJ_AH,又OH—,-,OA=^2，

V2+x2

2%22

所以A〃=j2-

11

所以AH+H°=②+占。…'

由基本不等式可得<一~，即0+x<夜，2+%2，

所以AH+HO<2,D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決多面體的外接球問(wèn)題的關(guān)鍵在于由條件確定其外接球

的球心的位置，由此確定外接球的半徑.

12.3

【分析】將3i—1代入方程3/+2px+q=0求解即可.

【詳解】3i—1代入方程3必+2川+鄉(xiāng)=0,

得3（3i_iy+2p（3i_l）+q=0,

化簡(jiǎn)得（―24—2p+q）+（6p—18）i=0,

f-24-2p+q=0

故《

[6p-18=0

P=3

解得＜

a=30

故填：3

13.-##0.125

8

【分析】先利用坐標(biāo)運(yùn)算求解卜+2同=3,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合模的公式列式求得小5=；,從而

利用數(shù)量積的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)樯?26=（2衣1）,所以%|=J（2點(diǎn)了+仔=3,

又同=2利=1，所以卜+2^卜加+2q=y/a2+4b2+4a-b=^8+4a-b=3.

12

一1一亍a-b1

所以展6=1,所以80出》=1雨=W.

故答案為：—

8

14.6+2行

【分析】根據(jù)三角恒等變換以及余弦定理可得C=g,即可利用面積可得2〃—“+2）a+2f—3=0有

根，即可利用判別式求解.

【詳解】由布asinC-a-b=-------------可得2也absinC-2ba-2b2=a2-b2-c2，

2b

即l^absmC-2ba=a2+b2-c2=2〃。cosC，

由于w0,故^/3sinC-cosC=l=>sin[c，-—j=—,

,十一/八\,,一兀/兀5兀?_.兀7C,,_7C

由于?！辏?,兀），故。一:￡一，因此。一一二:，故。=一,

666J663

(J2+b2—C2127227

cosC=--------------=——a+b-c=ab

2ab2

VABC的面積為+Z;+c),故+Z?+c)=；〃bsinCna+b+c=ab,

由于c=ab-a-b>a-b=b>2,c=ab-a-b>b-a^a>2,

故2〃+b>6,

將。=〃/?-〃一/?代入+廿-c1=曲可得a?+b2-^ab-a-b^-ab,

化簡(jiǎn)得+3=2(〃+/?),

將其代入ab+3=2(〃+Z?),且可得24—。+2)a+2/-3—0,

則△=(產(chǎn)+4r+4)-8⑵-3)20,解得噂6+20，或0</?6-2忘，(舍去)

故最小值為6+20.

故答案為：6+2A/2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由ab+3=2(a+b)可得2〃—”+2)a+2f—3=0有實(shí)數(shù)根，利用判別式求解.

13

15.(1)-(2)生旦

33

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值求解即

可；

(2)利用向量的線性運(yùn)算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

?.?(2c-b)cosA-QCOs5=0,

由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA-sinAcosB=0,

/.2sinCcosA-(sinBcosA+cosBsinA)=0,

2sinCcosA-sin(A+i?)=0,

.*.2sinCcosA=sinC,

E.ECG(0,TI),

..sinCwO,

A1

cosA=一,

2

,.eAG(0,TI),

4兀

A——.

3

【小問(wèn)2詳解】

:BM=MC^

:.AM=^(AB+AC),

----21--->2---?----?----2

:.AM=-(AB+2ABAC+AC),

又AM=2,

/.4=(c2+Z?2+2bc-cosy),

16=c2+b2+bc>2bc+bc=3bc，

14

：.bc<—,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=述時(shí)，等號(hào)成立，

33

:.^ABC的面積S--Z?csinA<—X—X—,

22323

16.(1)平均數(shù)為71,眾數(shù)為75.(2)88.(3)平均數(shù)為76,方差為12.

【解析】

【分析】(1)在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫

坐標(biāo)的中點(diǎn)，據(jù)此求解.

(2)依題意可知題目所求是第90%分位數(shù)，先判斷第90%分位數(shù)落在哪個(gè)區(qū)間再求解即可；

(3)先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

一至六組的頻率分別為0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均數(shù)=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由圖可知，眾數(shù)為75.

以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識(shí)問(wèn)答成績(jī)平均數(shù)為71分，眾數(shù)為75分.

【小問(wèn)2詳解】

前4組頻率之和為Q10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位數(shù)落在第5組，設(shè)為x,則0.70+(x—80)x0.025=0.90,解得光=88.

“防溺水達(dá)人”的成績(jī)至少為88分.

【小問(wèn)3詳解】

[60,70)的頻率為0.15,[70,80)的頻率為0.30,

所以[60,70)的頻率與[60,80)的頻率之比為|

Vz■.LI\J.J\JJ

15

n9

[70,80）的頻率與[60,80）的頻率之比為一爐一=-

0.1I0?0

設(shè)[70,80）內(nèi)的平均成績(jī)和方差分別為,

12——

依題意有73=—><67+—*%2，解得修二76,

332

29=-X[9+（67-73）2]+-XP^+（76-73）21,解得s；=12,

33--

所以[70,80）內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)?6,方差為12.

17.1）亞

6

（2）當(dāng)AE=2時(shí)，直線4。與平面REC所成角的正弦值最小，最小值為半

【解析】

【分析】（1）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，”,DC所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面QEC

的一個(gè)法向量，平面DC，的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面，EC與平面所成的夾角的余弦

值；

（2）設(shè)4￡=和，可求得平面。EC的一個(gè)法向量，直線的方向向量區(qū)，利用向量法可得

"掃2藍(lán)+『可求正弦值的最小直

【小問(wèn)1詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDX所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點(diǎn)E在棱A3的中點(diǎn)時(shí)，則。(0,0,1),E(l,l,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(l,0,0),

貝U函=EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

設(shè)平面REC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

16

n-ED=_%_y+z=0

則〈一.}，令x=l,則y=l,z=2,

n-EC=-x+y=O

所以平面AEC的一個(gè)法向量為3=(1,1,2),

又平面DCDj的一個(gè)法向量為DA=(1,0,0)，

/W176

所以cosDA,n=__=I-=—，

|DAI-!n|A/1+1+4x16

所以平面DXEC與平面DCD,所成的夾角的余弦值為逅；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)AE=m,

則2(0,0,1),E(l,m,0),C(0,2,0),D(0,0,0),4(1,0,1),

則函=1),EC=(-1,2-m,0),(0<m<2),兩=(1,0,1),

設(shè)平面￡>]EC的一個(gè)法向量為“=(%,%z)，

n-ED,=-x-my+z=0

則，_,',令y=l,則x=2—m,z=2,

n-EC=-x+(2-m)y=0

所以平面'EC的一個(gè)法向量為7=(2—九1,2),

設(shè)直線4。與平面D}EC所成的角為8,

|n*DAi|_\2-m+2\4-m

則sin0=

向?l西IJ(2-加)2+1+4x7171,2(2f+10

令4一根=才￡[2,4],

]

sin3=/-----=/

則2y+10—8/+18

17

當(dāng)f=2時(shí)，sin。取得最小值，最小值為典.

5

124

18.（1）-（2）—（3）-

3819

【分析】（1）根據(jù)題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；

（2）游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分,

則第一局乙丙得負(fù)一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，

第二局乙丙得負(fù)1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；

（3）游戲經(jīng)過(guò)兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1人得4分,

④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：

布

M7J石頭布

mjj石頭布石頭布翦刀石頭布

所以每局中共有27種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢(shì)順序按甲乙丙）：

（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、

（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、

（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、

91

一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率《=方=§.

【小問(wèn)2詳解】

游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分：

則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；

由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：

18

第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、

第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）

331

此時(shí)概率為—X—=—種情況,

272781

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分,

則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分;

由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：

第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）

第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、

................331

此時(shí)概率為-x—=一

272781

綜上所述：游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率￡=&+&=二.

818181

【小問(wèn)3詳解】

游戲經(jīng)過(guò)兩局就結(jié)束總共有4種情況：

29

①僅1人得3分，記事件為4則「（4）=而乂3=力；

2

②有2人得分為3分，記事件為P（B）=3xAXAX

2727227

③僅1人得4分，記事件C：

331

一人得4分,另兩人各負(fù)2分：3x——x——

272727

3/3、4

一人得4分，一人得負(fù)2分，一人得1分：3x—x—x2x2=—

27I27J27

3