導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第18講 證明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）（含答案及解析）

第18講證明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）【典型例題】例1．設(shè)且，函數(shù)．（1）若在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，證明：，；（2）若在區(qū)間沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．例2．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：．例3．若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由．例4．定義在上的函數(shù)滿足，．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）如果、、滿足，那么稱比更靠近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更靠近，并說明理由．例5．若定義在上的函數(shù)滿足，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）試比較和的大小，并說明理由．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．3．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求．4．青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)，處的曲率．已知函數(shù)，，若，則曲線在點(diǎn)，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．5．已知函數(shù)，，其中，．（Ⅰ）證明：是函數(shù)的唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)且時(shí)，試比較和的大小，并說明理由．6．已知函數(shù)滿足，，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)且時(shí)，求證：．7．若定義在上的函數(shù)滿足，（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，試比較和的大小，并說明理由．8．已知函數(shù)，給出如下定義：若，，，，均為定義在同一個(gè)數(shù)集下的函數(shù)，且，，其中，3，4，，則稱，，，，為一個(gè)嵌套函數(shù)列，記為，若存在非零實(shí)數(shù)，使得嵌套函數(shù)列滿足，則稱為類等比函數(shù)列．（Ⅰ）已知是定義在上的嵌套函數(shù)列，若．①求（2），（2），（2）．②證是類等比函數(shù)列．（Ⅱ）已知是定義在上嵌套函數(shù)列．若，求證．

第18講證明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）【典型例題】例1．設(shè)且，函數(shù)．（1）若在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，證明：，；（2）若在區(qū)間沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）證明：，若，則在區(qū)間至少有，兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故，令，得，，其中，，僅當(dāng)時(shí)，，且在的左右兩側(cè)，導(dǎo)函數(shù)的值由正變負(fù)，故時(shí)，在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，此時(shí)，將代入得：，①當(dāng)，即時(shí)，，由不等式：時(shí)，知：，②當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，，由不等式知：，由①②知，．（2）①當(dāng)時(shí)，，，故，由零點(diǎn)存在性定理知：在區(qū)間，上至少有1個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，，，，，，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間至少有1個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，令，則，在區(qū)間上，，，遞增，在區(qū)間上，，即遞減，即遞減，，故在上遞增，在，上遞減，又，，即在上，，故在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意，綜上，若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是，．例2．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿足題意②當(dāng)時(shí)，令，，令，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不滿足題意．若，即時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，是的極小值點(diǎn)，滿足題意，綜上，．（2）當(dāng)時(shí)，，若成立，則必成立，①若，，則，，成立，成立②若，令，，令’，，，，在上單調(diào)遞增（1），即，在上單調(diào)遞增，（1），時(shí)，成立，時(shí)，成立．例3．若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）解：設(shè)，，，在，上為減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．，，在，上為增函數(shù)，又（1），，時(shí)，，在，上為增函數(shù)，（1）．①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（1），當(dāng)，，，比更接近．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，在時(shí)為減函數(shù)，（e），在時(shí)為減函數(shù)，（e），，比更接近．綜上：在且時(shí)時(shí)，比更接近．例4．定義在上的函數(shù)滿足，．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）如果、、滿足，那么稱比更靠近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更靠近，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）（1），所以（1）（1），即．又，所以（1），所以．（Ⅱ），，．①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）解：設(shè)，，在，上為減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．，，在，上為增函數(shù)，又（1），，時(shí)，，在，上為增函數(shù)，（1）．①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（1），，，，比更靠近．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，在時(shí)為減函數(shù)，，在時(shí)為減函數(shù)，（e），，比更靠近．綜上：在，時(shí)，比更靠近．例5．若定義在上的函數(shù)滿足，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）試比較和的大小，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得（1），所以（1）（1），即．又，所以．（Ⅱ），．，①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）大小關(guān)系：；理由如下：設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．令，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，則，在，上為減函數(shù)，（1），；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，在時(shí)為減函數(shù)，，在時(shí)為減函數(shù)，（e），．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，故則在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，要證明對(duì)任意的，，．則只需要證明對(duì)任意的，，．設(shè)（a），看作以為變量的一次函數(shù)，要使，則，即，恒成立，①恒成立，對(duì)于②，令，則，設(shè)時(shí)，，即．，，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故④式成立，綜上對(duì)任意的，，．2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，②時(shí)，或，故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，綜上，時(shí)，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時(shí)，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，（2），對(duì)，恒成立，即，時(shí)，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時(shí)，，，遞增，當(dāng)，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，不妨設(shè)，下先證：存在，，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數(shù)，，即，設(shè)，則，，①，②，由①②得，，即．3．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求．【解析】解：（1）證明：，，，考慮到，，所以①當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，③當(dāng)，時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)，時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，．（2）構(gòu)造函數(shù)，考慮到，，，，由（1）可知：在時(shí)恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，①若，則在，為負(fù)，為正，在，單調(diào)遞減，遞增，所以，而當(dāng)時(shí)，，故滿足題意．②若，，因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理，必存在，，使得，此時(shí)滿足時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，矛盾，舍去；③若，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)必存在，使得，此時(shí)滿足，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，矛盾，舍去，而當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以在，時(shí)，成立，單調(diào)遞增，，矛盾，舍去．綜上所述，．4．青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)，處的曲率．已知函數(shù)，，若，則曲線在點(diǎn)，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．【解析】（1）解：，若，則，，，因?yàn)榍€在點(diǎn)，（1）處的曲率為，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則方程在上有解，即在上有解，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（3）證明：由（2）得，則，則，又，則，所以．5．已知函數(shù)，，其中，．（Ⅰ）證明：是函數(shù)的唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)且時(shí)，試比較和的大小，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）在恒成立，在上是減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，是的唯一零點(diǎn)．（4分）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，（6分）設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（1），，，（8分）當(dāng)時(shí)，（9分）設(shè)，則，，在上為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，（e），綜上，當(dāng)，時(shí)，（12分）6．已知函數(shù)滿足，，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)且時(shí)，求證：．【解析】解：（1）根據(jù)題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（2），，①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）設(shè)，，，由得在，遞減，故當(dāng)時(shí)，（e），當(dāng)時(shí)，，而，，故在，遞增，（1），則在，遞增，（1），①時(shí)，，則，在，遞減，（1），，②時(shí)，，，，故（e），遞減，（e），，綜上，．7．若定義在上的函數(shù)滿足，（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，試比較和的大小，并說明理由．【解析】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）（1），所以（1）（1），即（1分）又，所以（1），（2分）所以（3分）（Ⅱ），（4分）（5分），，函數(shù)在上單調(diào)遞增；．（6分）令，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．．（7分）（Ⅲ）解：設(shè)，，在，上為減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（8分）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（1），，，（9分）時(shí)，設(shè)，則，在時(shí)為減函數(shù)，，在時(shí)為減函數(shù)，（e），（11分）綜上：（12分）8．已知函數(shù)，給出如下定義：若，，，，均為定義在同一個(gè)數(shù)集下的函數(shù)，且，，其中，3，4，，則稱，，，，為一個(gè)嵌套函數(shù)列，記為，若存在非零實(shí)數(shù)，使得嵌套函數(shù)列滿足，則稱為類