導數(shù)壓軸專題突破-第13講 證明不等式之對數(shù)單身狗指數(shù)找朋友（含答案及解析）

第13講證明不等式之對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典型例題】例1．已知，函數(shù)．（Ⅰ）證明：在上有唯一零點；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點．證明：（?。?；（ⅱ）．例2．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)的零點個數(shù)；（Ⅲ）當時，求證不等式解集為空集．例3．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為（a），證明：（a）．例4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）當時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【同步練習】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當時，求證．2．已知函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當且時．求證：．3．已知二次函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，且（1），令．（1）求的表達式；（2）設(shè)，．證明：對任意，，，恒有．4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過點，求證：．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過點，求證：．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：；（3）若不等式恰有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）討論在上的單調(diào)性；（3）證明：在（1）的條件下．

第13講證明不等式之對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典型例題】例1．已知，函數(shù)．（Ⅰ）證明：在上有唯一零點；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點．證明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】證明：當，時，，所以在，是減函數(shù)（2分），（1），所以在上存在唯零點（5分）（Ⅱ）（?。┘醋C，，由已知得，代入上式只要證，（6分）構(gòu)造函數(shù)，，所以為增函數(shù)，所以，（8分）構(gòu)造函數(shù)，，所以為增函數(shù)，，所以，故原不等式成立（10分）由已知，所以，記，，所以為減函數(shù)，因為，所以（12分）因為，所以，由得，所以，故成立（15分）例2．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)的零點個數(shù)；（Ⅲ）當時，求證不等式解集為空集．【解析】解：（Ⅰ）的定義域為，，令，得，，當時，有，所以在上單調(diào)遞增．當時，有，所以在上單調(diào)遞減．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）函數(shù)的導數(shù)為，令，解得，，，，當時，在上遞減，有（1）（a），所以（a）．所以有一個零點，當時，在上遞增，所以有一個零點，當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增．此時，所以在上只有一個零點；（Ⅲ）證明：當時，不等式解集為空集，等價于在定義域內(nèi)恒成立，即在定義域內(nèi)恒成立；令，所以；令，得，列表得：0遞減最小值遞增，因為，所以．又，所以，所以恒成立，所以不等式解集為空集．例3．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為（a），證明：（a）．【解析】解：（Ⅰ）顯然的定義域為．（1分）．（3分），，若，，此時，在上單調(diào)遞減；若，，此時，在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（5分）（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：，即：．（6分）要證（a），即證明，即證明，令，則只需證明，（8分），且，當，，此時（a），（a）在上單調(diào)遞減；當，，此時（a），（a）在上單調(diào)遞增，．（11分）．（a）．（12分）例4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）當時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（Ⅰ）當時，，，（1），（1），故在點，（1）處的切線方程是；（Ⅱ），，當，即當時，由，解得：或，當時，，，當，即當時，由，解得：或，綜上，當時，的遞增區(qū)間是，，時，的遞增區(qū)間是，當時，的遞增區(qū)間是，，；（Ⅲ）當時，由，只需證明，令，，，故遞增，（1），，故存在，，使得，即，當時，，遞減，當，時，，遞增，故時，取得唯一的極小值，也是最小值，的最小值是，，【同步練習】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當時，求證．【解析】解：（Ⅰ），；時，；，時，；（1）是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，（2）；的最大值是；函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；（Ⅱ），要證明原不等式成立，只要證明；設(shè)，則；函數(shù)在上是增函數(shù)，（1）；；原不等式成立．2．已知函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當且時．求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的導數(shù)為，曲線在點，（1）處的切線方程為，可得（1），（1），解得；（2）證明：當時，，即為，即，當時，，即為，設(shè)，，可得在遞增，當時，（1），即有；當時，（1），即有．綜上可得，當且時，都成立．3．已知二次函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，且（1），令．（1）求的表達式；（2）設(shè)，．證明：對任意，，，恒有．【解析】（1）解：設(shè)，于是，所以，，又（1），則．所以．（5分）（2）證明：因為對，，，所以在，內(nèi)單調(diào)遞減．于是（1）證明，即證明，記，則，所以函數(shù)在，是單調(diào)增函數(shù)，所以（e），故命題成立．（12分）4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過點，求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域為，又，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，由得，若，則在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞減；（2）證明：函數(shù)圖象過點，可得，此時，要證，令，則，令，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，由，即，故存在使得，此時，故，當時，，當，時，，函數(shù)在上單減，在，上單增，故當時，有最小值，成立，即得證．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過點，求證：．【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，．當時，，在上單調(diào)遞增；當時，由，得．若，，單調(diào)遞增；若，，單調(diào)遞減綜合上述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：函數(shù)圖象過點，，解得．．即．．令．．．令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在，使得，可得，．．成立．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：；（3）若不等式恰有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）由題意，得的定義域為．若，則當時，，故在上單調(diào)遞增，若，則當時，，當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為，所以等價于，設(shè)，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，最大值為（1），所以當時，，從而當時，，即．（3）①當時，由（1）知在上單調(diào)遞增，因為（1），所以當時，恒成立，不符合題意；②當時，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當時，此時，所以，即恒成立，顯然不滿足題意；當時，此時，當，即時，此時結(jié)合題意有當時，即時，此時（1），（2），（3），與題意矛盾．綜上所述，的取值范圍為．7．已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）討論在上的單調(diào)性；（3）證明：在（1）的條件下．【解析】（1）解：因為，在處取得極值，則（1），所以，解得，驗證知符合條件．（2）解：，當時，在上，