導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第10講 證明不等式之構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）（含答案及解析）

第10講證明不等式之構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典型例題】例1．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．例2．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求證：當(dāng)時(shí)，．例3．已知．（1）若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．例4．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若的極大值點(diǎn)為，求證：．例6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．2．已知函數(shù)．（1）證明：；（2）數(shù)列滿足：，．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：，．3．已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意，．4．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，．5．已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．6．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．7．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：．8．已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在，上為增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明．9．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求的值；（2）證明：．10．已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處切線的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若，證明對(duì)任意，，，恒成立．11．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．12．已知函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最小值為．（1）求的值；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．（參考公式：13．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明：．14．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．第10講證明不等式之構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典型例題】例1．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（Ⅰ）解：，，依題意（1）（1），；（Ⅱ）證明：由，得，令，則，時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增．時(shí)，（1），即，綜上所述，時(shí)，．例2．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：直線是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，則，即，切點(diǎn)在切線上，，，，解得，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，等價(jià)于，設(shè)，則，，，由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（1），即，．例3．已知．（1）若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（1）不等式恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，有，得在，上單調(diào)遞增，，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞減，，與矛盾，不合題意．綜上所述，；證明：（2）令，，在上單調(diào)遞增，且（1），（2），存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，，由，得，，，，上式“”不成立，，即．例4．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【解析】解：（1），則，，令，①當(dāng)時(shí)，，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)存在唯一的極小值點(diǎn)，滿足題意，②當(dāng)時(shí)，令可得，（舍，易得當(dāng)時(shí)，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，令可得，，若，則不合題意，故，且，即且，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，此時(shí)存在唯一的極小值點(diǎn)，滿足題意，綜上可得，且，（2）令，則，令，易得上單調(diào)遞增且（1），當(dāng)時(shí)，，從而，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而，單調(diào)遞增，故（1），即，所以，所以，．例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若的極大值點(diǎn)為，求證：．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以在點(diǎn)，處的切線方程為．證明：（2）的定義域?yàn)?，，令，△，①?dāng)△，即時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增．此時(shí)無(wú)極大值．②當(dāng)△，即當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，其中，．所以當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，所以在，上單調(diào)遞增．此時(shí)函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)為，且，又因?yàn)?，所以，所以，記，則，所以單調(diào)遞增，，即．例6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，△，解得或，若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．法二：，即，令，則原不等式等價(jià)于，，令，則，遞減，故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．【解析】（1）解：的定義域?yàn)?，．令，方程的判別式△，（?。┊?dāng)△，即時(shí)，恒成立，即對(duì)任意，，所以在上單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)△，即或．①當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)任意，，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，由，解得，．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上，，在上，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由，得，所以，因?yàn)?，所以，令，則，，所以，，所以，所以要證，只要證，即證，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，（1），即成立，所以成立．2．已知函數(shù)．（1）證明：；（2）數(shù)列滿足：，．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：，．【解析】證明：（1）由題意知，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，故當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，所以；（2）（?。┯桑?）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，故，所以，因此?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，（ⅱ）函?shù)，，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因此，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因此，所以對(duì)，．3．已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意，．【解析】（1）解：，令，，在上遞增，，，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由，考查函數(shù)，則，由于，，故，單調(diào)遞增，且，故，所以，所以，則要證，只需證，即證：，，，，先證左邊：，令證，即證，令，，在上遞增，，得證．再證右邊：，即證，，令，，在上遞增，，也得證．綜上：對(duì)，，．4．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，．【解析】解：，，當(dāng)時(shí)，或，在和上單調(diào)遞增，證明：時(shí)，．5．已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：，．若，，在內(nèi)單增，在內(nèi)單減．若，由知，△．當(dāng)△，即時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)單增．當(dāng)△，即時(shí)，．此時(shí)在，內(nèi)單增，在內(nèi)單減．（2）證明：因?yàn)?，所以就是，即．令，，則，，，．由得，，是的最小值．于是，在時(shí)單增，所以，在時(shí)單增．故當(dāng)時(shí)，，即．6．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．【解析】（1）解：由題意，的定義域?yàn)?，令，則，，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則有，即，所以，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)．綜上所述，；（2）證明：由（1）可知，，要證，即需證明，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以需證明，即，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的極小值點(diǎn)，所以，即，故，所以．7．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：．【解析】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，又因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，即，解得；所以，．所以，；設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；又因?yàn)?，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減．（2）證明：設(shè)，則，所以，令，得，解得，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；所以的最大值為，即．8．已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在，上為增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明．【解析】解：，，在，上為增函數(shù)，在，上恒成立，故，即，（Ⅱ）證明：有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，即，，，同理可得，，，，令，不防設(shè)，則，，原不等式等價(jià)于證，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，（1），即．9．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求的值；（2）證明：．【解析】解：（1），依題意，，則，若，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)不符合題意；，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，實(shí)數(shù)的值為1；（2）證明：由（1）可知，，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，即得證．10．已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處切線的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若，證明對(duì)任意，，，恒成立．【解析】（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，，（1），（1）．切線方程為：，整理得：；（Ⅱ），令，解得：或．①若，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表：00增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)；②若，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表：00增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)；（Ⅲ），在，內(nèi)是減函數(shù)，又，不妨設(shè)，則，．于是等價(jià)于，即．令，在，內(nèi)是減函數(shù)，故．從而在，內(nèi)是減函數(shù)，對(duì)任意，有，即，當(dāng)，對(duì)任意，恒成立．11．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，（1），，（1），曲線在點(diǎn)處的切線方程：（2）①當(dāng)△即時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間是．．②當(dāng)△時(shí)，即時(shí)，令得．的單調(diào)遞增區(qū)間是，和，單調(diào)遞減區(qū)間是，．（3）證明：在，單調(diào)遞增，且，（1），不等式右側(cè)證畢有兩個(gè)極值點(diǎn)，，．，令，，在單調(diào)遞增．．不等式左側(cè)證畢．綜上可知：．12．已知函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最小值為．（1）求的值；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．（參考公式：【解析】解：（1）設(shè)，在函數(shù)的圖象上，則，即，所以，（2）證明：易得，且所以且，令，因?yàn)槠鋵?duì)稱軸為直線，由題意知，是方程的兩個(gè)均大于且不為0的不相等的實(shí)根，所以由，得，因?yàn)?，所以，又為方程的根，所以，，則因?yàn)闀r(shí)，，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，且，故．13．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明：．【解析】解：（1），，則（1），（1），故切線方程是：，故時(shí)，，解得：，故，綜上：，；（2）證明：要證，，即證，令，則，令，，則，故在遞增，（1），，使得，即，故，，故時(shí)，遞減，，時(shí)，遞增，故，故在恒成立，故成立．14．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．【解析】（1）解：，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞