2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程測(cè)評(píng)含解析北師大版選修1-1

PAGEPAGE1其次章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知橢圓=1(a>b>0)分別過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(0,-1),則該橢圓的焦距為()A. B.2C. D.2答案B解析由題意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=,所以2c=2.故選B.2.平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A,B及動(dòng)點(diǎn)P,命題甲:“|PA|-|PB|是定值”,命題乙:“點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線”,則甲是乙的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)|PA|-|PB|=|AB|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是一條射線,故甲乙,而乙?甲,故選B.3.已知橢圓與雙曲線=1有共同的焦點(diǎn),且離心率為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案B解析雙曲線=1中,=3,=2,則c1=,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0),故所求橢圓=1(a>b>0)的c=,又橢圓的離心率e=,則a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.4.已知雙曲線C:=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在雙曲線C的漸近線上,則雙曲線C的方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案A解析依據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解.∵=1的焦距為10,∴c=5=.①又雙曲線漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在漸近線上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故選A.5.雙曲線C:x2-=1的一條漸近線與拋物線M:y2=4x的一個(gè)交點(diǎn)為P(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),拋物線M的焦點(diǎn)為F,則△OFP的面積為()A. B. C. D.答案A解析雙曲線C:x2-=1的一條漸近線方程為y=x,與拋物線M:y2=4x的一個(gè)交點(diǎn)為P,將y=x代入拋物線方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=,所以P,又拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),則△OFP的面積為S=×1×.故選A.6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案B解析拋物線y2=24x的準(zhǔn)線方程為x=-6,故雙曲線中c=6.①由雙曲線=1的一條漸近線方程為y=x,知,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故雙曲線的方程為=1,故選B.7.P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓=1上的點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓的半焦距為c,則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差肯定是()A.1 B.a2 C.b2 D.c2答案D解析由橢圓的幾何性質(zhì)得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.8.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,若|QF|2=2|AF|·|BF|,則直線l斜率的肯定值為()A.2 B. C. D.答案C解析由題意得F(2,0),直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程得k2x2-(2k2+8)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,x1+x2=2+,由拋物線定義得|AF|·|BF|=(x1+2)·(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=9+,又因?yàn)镼(-2,-3k),所以|QF|2=42+(-3k)2=16+9k2,由|QF|2=2|AF||BF|,得16+9k2=29+,解得|k|=,此時(shí)Δ>0,符合題意,所以|k|=.故選C.9.設(shè)雙曲線=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A. B.5 C. D.答案D解析雙曲線=1的一條漸近線方程為y=x,由方程組消去y,得x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=-4=0,所以=2,所以e=,故選D.10.直線y=k(x-1)與橢圓C:=1交于不同的兩點(diǎn)M,N,橢圓=1的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),當(dāng)△AMN的面積為時(shí),則k的值為()A.± B.± C.±1 D.±答案C解析直線y=k(x-1)與橢圓C聯(lián)立消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,∴|MN|=.∵A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d=,∴△AMN的面積S=|MN|d=.∵△AMN的面積為,∴,∴k=±1,故選C.11.如圖,南北方向的馬路L,A地在馬路正東2km處,B地在A北偏東60°方向2km處,河流沿岸曲線PQ上隨意一點(diǎn)到馬路L和到A地距離相等.現(xiàn)要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運(yùn)貨物,經(jīng)測(cè)算,從M到A,B修建馬路的費(fèi)用都為a萬(wàn)元/km,那么,修建這兩條馬路的總費(fèi)用最低是()A.(2+)a萬(wàn)元 B.(2+1)a萬(wàn)元C.5a萬(wàn)元 D.6a萬(wàn)元答案C解析本題主要考查拋物線的實(shí)際應(yīng)用.依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線,依據(jù)拋物線的定義知,欲求從M到A,B修建馬路的費(fèi)用最低,只需求出B到直線L的距離即可.∵B地在A地北偏東60°方向2km處,∴B到點(diǎn)A的水平距離為3km,∴B到直線L的距離為3+2=5(km),那么,修建這兩條馬路的總費(fèi)用最低為5a萬(wàn)元,故選C.12.設(shè)A,B是橢圓C:=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿意∠AMB=120°,則m的取值范圍是()A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)答案A解析由題意,可知當(dāng)點(diǎn)M為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠AMB最大.當(dāng)0<m<3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿意∠AMB=120°,則≥tan60°=,即,解得0<m≤1;當(dāng)m>3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿意∠AMB=120°,則≥tan60°=,即,解得m≥9,綜上m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞),故選A.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=.

答案2解析由題意知a=1,b=,m>0,c=,則離心率e=,解得m=2.14.設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,線段F1F2被點(diǎn)分成3∶1的兩段,則此橢圓的離心率為.

答案解析由題意,得=3,即+c=3c-b,得b=c,因此e=.15.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)與拋物線C:y2=2px(p>0)有共同的一個(gè)焦點(diǎn),過(guò)雙曲線E的左焦點(diǎn)且與拋物線C相切的直線恰與雙曲線E的一條漸近線平行,則E的離心率為.

答案解析因?yàn)閽佄锞€與雙曲線共焦點(diǎn),所以c=,p=2c,拋物線方程為y2=4cx,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,F1(-c,0),過(guò)F1與一條漸近線y=x平行的直線方程為y=(x+c),由得by2-4acy+4bc2=0,所以Δ=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,從而c=a,離心率為e=.16.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題:①設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),||-||=k,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;②過(guò)定圓C上肯定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④雙曲線=1與橢圓+y2=1有相同的焦點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是.

答案③④解析雙曲線的定義是:平面上與兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離的差的肯定值為常數(shù)2a,且0<2a<|AB|,那么點(diǎn)P的軌跡為雙曲線,故①錯(cuò);由)得點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn),其軌跡為圓,故②錯(cuò);設(shè)2x2-5x+2=0的兩根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=1,由此可知兩根互為倒數(shù),且均為正,故③正確;=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0),+y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0),故④正確.三、解答題(本大題共6小題,需寫(xiě)出演算過(guò)程與文字說(shuō)明,共70分)17.(本小題滿分10分)求與橢圓=1有共同焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(0,2)的雙曲線方程,并且求出這條雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、焦距、離心率以及漸近線方程.解橢圓=1的焦點(diǎn)是(0,-5),(0,5),焦點(diǎn)在y軸上,于是設(shè)雙曲線方程是=1(a>0,b>0),又雙曲線過(guò)點(diǎn)(0,2),∴c=5,a=2,∴b2=c2-a2=25-4=21,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1,實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦距為10,離心率e=,漸近線方程是y=±x.18.(本小題滿分12分)若已知橢圓=1與雙曲線x2-=1有相同的焦點(diǎn),又橢圓與雙曲線交于點(diǎn)P,求橢圓及雙曲線的方程.解由橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),得10-m=1+b,即m=9-b,①由點(diǎn)P在橢圓、雙曲線上,得y2=m,②y2=,③解由①②③組成的方程組得m=1,b=8,∴橢圓方程為+y2=1,雙曲線方程為x2-=1.19.(本小題滿分12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿意.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且=1.證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.(1)解設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以=1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯始終線垂直于OQ,所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.(1)解設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0).由題意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.直線AM的斜率kAM=,故直線DE的斜率kDE=-.所以直線DE的方程為y=-(x-m),直線BN的方程為y=(x-2).聯(lián)立解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-.由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.21.(本小題滿分12分)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸,且與C1有相同的離心率.(1)求橢圓C2的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程.解(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為=1(a>2),其離心率為,故,解得a=4.故橢圓C2的方程為=1.(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx.將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以.將y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以.又由=2,得=4,即,解得k=±1.故直線AB的方程為y=x或y=-x.22.(本小題滿分12分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率為,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線通過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.解(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.當(dāng)Δ=8(2k2-m2+1)>0,即2k2>m2