第10講簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）

第10講簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案由一個(gè)基本圖案可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱以及中心對(duì)稱等方法變換出一些復(fù)合圖案．利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)中的三個(gè)要素（①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度）設(shè)計(jì)圖案．通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換不同角度或者繞著不同的旋轉(zhuǎn)中心向著不同的方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)都可設(shè)計(jì)出美麗的圖案．【知識(shí)拓展1】（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末）下列是圍繞2022年北京冬奧會(huì)設(shè)計(jì)的剪紙圖案，其中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：A．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．【即學(xué)即練1】（2021秋?海淀區(qū)期末）小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義確定兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，求得其與O點(diǎn)連線的夾角即可求得旋轉(zhuǎn)角．【解答】解：如圖，當(dāng)經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B的位置上，此時(shí)∠COB＝360°÷6＝60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是能夠找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定旋轉(zhuǎn)角，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，難度不大．【即學(xué)即練2】（2021秋?樂(lè)亭縣期末）如圖，（甲）圖案通過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到（乙）圖案，則其旋轉(zhuǎn)中心是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，旋轉(zhuǎn)角不變進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：（甲）圖案通過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到（乙）圖案，則其旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】（2020秋?孝昌縣期末）下列各圖中，由圖形①到圖形②既可經(jīng)過(guò)平移，又可經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的定義判斷即可．【解答】解：觀察圖象可知，選項(xiàng)D中的圖形①到圖形②既可經(jīng)過(guò)平移，又可經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)．，屬于中考常考題型．【即學(xué)即練4】（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期末）如圖，3×3網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)網(wǎng)格中有3個(gè)小正方形已經(jīng)涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谟嘞碌目瞻仔》礁裰?，按下列要求涂上陰影．?）在①中選取1個(gè)小正方形涂上陰影，使4個(gè)小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；（2）在②中選取1個(gè)小正方形涂上陰影，使4個(gè)小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形．【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義分析得出答案；（2）直接利用軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義分析得出答案．【解答】解：（1）如圖1所示：1，2，3位置涂上陰影，此時(shí)4個(gè)小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；（2）如圖2所示：1，2位置涂上陰影，此時(shí)4個(gè)小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案以及利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02幾何變換的類型（1）平移變換：在平移變換下，對(duì)應(yīng)線段平行且相等．兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等（2）軸對(duì)稱變換：在軸對(duì)稱變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對(duì)稱軸，且這兩條直線的夾角被對(duì)稱軸平分．（3）旋轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．（4）位似變換：在位似變換下，一對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；一條線上的點(diǎn)變到一條線上，且保持順序，即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線；對(duì)應(yīng)線段的比等于位似比的絕對(duì)值，對(duì)應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)；兩對(duì)應(yīng)圓相切時(shí)切點(diǎn)為位似中心．【知識(shí)拓展2】（2021秋?晉中期末）在我們?nèi)粘Ｉ钪写嬖诤芏噍^小的或眼睛不易辨清的物體，利用放大鏡“放大”，可以使人看得更清楚．如圖，利用放大鏡可以看清辣椒表面的紋路，這種圖形的變換是（）A．平移變換 B．旋轉(zhuǎn)變換 C．軸對(duì)稱變換 D．相似變換【分析】根據(jù)相似圖形的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵利用放大鏡將標(biāo)尺上的數(shù)碼放大，放大后的數(shù)碼與標(biāo)尺上的數(shù)碼形狀相同，∴放大后的數(shù)碼與標(biāo)尺上的數(shù)碼是相似圖形，∴這種圖形變換是相似變換，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何變換的類型，熟練掌握相似圖形的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】（2021秋?浦東新區(qū)期末）圖2是由圖1經(jīng)過(guò)某一種圖形的運(yùn)動(dòng)得到的，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是（）A．平移 B．翻折 C．旋轉(zhuǎn) D．以上三種都不對(duì)【分析】根據(jù)平移，旋轉(zhuǎn)，翻折的性質(zhì)判斷解可．【解答】解：圖2是由圖1經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)或翻折得到，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換綜合題，考查了平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，翻折變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【即學(xué)即練2】（2021秋?介休市期中）如圖是世界休閑博覽會(huì)吉祥物“晶晶”．右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”經(jīng)下列哪個(gè)變換得到的（）A．平移變換 B．旋轉(zhuǎn)變換 C．軸對(duì)稱變換 D．相似變換【分析】根據(jù)相似變換的概念判斷即可．【解答】解：∵右邊的“晶晶”和左邊的“晶晶”只有形狀相同，∴兩個(gè)圖形相似，∴右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”通過(guò)相似變換得到的，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何變換的類型，熟記各種變換的概念的解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】（2021春?三明期末）平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱都是圖形之間的一些主要變換，為了得到?ABCD（如圖），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．將線段AB沿BC的方向平移BC長(zhǎng)度可以得到?ABCD B．將△ABC繞邊AC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°可以得到?ABCD C．將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°可以得到?ABCD D．將△ABC沿AC翻折可以得到?ABCD【分析】利用平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，翻折變換的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：A、將線段AB沿BC的方向平移BC長(zhǎng)度可以得到?ABCD，正確，本選項(xiàng)不符合題意．B、將△ABC繞邊AC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°可以得到?ABCD，正確，本選項(xiàng)不符合題意．C、將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°可以得到?ABCD，正確，本選項(xiàng)不符合題意．D、將△ABC沿AC翻折不可以得到?ABCD，錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)變換，翻折變換，平移變換的性質(zhì)．【即學(xué)即練4】（2020秋?齊河縣期末）如圖，作△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A'B'C'，接著△A'B'C'沿著平行于直線l的方向向下平移，在這個(gè)變換過(guò)程中兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相等 B．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行 C．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直于直線l D．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被直線l平分【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系．【解答】解：如圖所示，△A″B″C″是△ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形，∴直線l垂直平分CC″，∵△A′B′C′是△A″B″C″向下平移所得三角形，∴CC″∥直線l，則PQ是△CC′C″的中位線，∴直線l平分CC′，同理直線l是另外兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平分線，即兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確把握對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】（2021?撫順模擬）如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為10寬為5的矩形，它可以在該正方形的內(nèi)部及邊界通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n為（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根據(jù)矩形長(zhǎng)為10寬為5，可得矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為：＝＝5，由矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，可得該正方形的邊長(zhǎng)不小于5，進(jìn)而可得正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n的值．【解答】解：∵矩形長(zhǎng)為10寬為5，∴矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為：＝＝5，∵矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，∴該正方形的邊長(zhǎng)不小于5，∵11＜5＜12，∴該正方形邊長(zhǎng)的最小正數(shù)n為12．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的類型，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．能力拓展能力拓展模塊一、簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)例題1．（2021·吉林長(zhǎng)春市·八年級(jí)期末）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫(huà)一個(gè)三角形，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：以點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；所作三角形與全等（除外）．【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的判定方法得出答案；（2）直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的判定方法得出答案；【詳解】（1）如圖所示：三角形ADE即為所求；（2）如圖所示：即為所求；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和網(wǎng)格作圖，準(zhǔn)確分析作圖是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2020·湖南益陽(yáng)市·八年級(jí)期末）閱讀與探究我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．請(qǐng)結(jié)合上述閱讀材料，解決下列問(wèn)題：在我們所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，是勾股四邊形的是________(任寫(xiě)一種即可)；圖1、圖2均為的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出格點(diǎn)，連接，使得四邊形符合下列要求：圖1中的四邊形是勾股四邊形，并且是軸對(duì)稱圖形；圖2中的四邊形是勾股四邊形且對(duì)角線相等，但不是軸對(duì)稱圖形．【答案】（1）矩形，正方形(任寫(xiě)一種即可)；（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用勾股四邊形的定義得出答案；（2）根據(jù)要求分別得出符合題意的圖形．【詳解】（1）矩形，正方形（任寫(xiě)一種即可）；（2）【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（2020·江西贛州市·八年級(jí)期末）在5×7的方格紙上，任意選出5個(gè)小方塊涂上顏色，使整個(gè)圖形（包括著色的“對(duì)稱”）有：①1條對(duì)稱軸；②2條對(duì)稱軸；③4條對(duì)稱軸．【分析】①直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；②直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；③直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【詳解】①如圖1所示：②如圖2所示：③如圖3所示：模塊二、幾何變換綜合題例題7．（2021·四川成都市·八年級(jí)期末）如圖，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，點(diǎn)E在AC邊上．（1）如圖1，連接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的長(zhǎng)度；（2）如圖2，將△CEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線EF分別與直線AC，BC交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△CMN是等腰三角形時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；（3）如圖3，將△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上，點(diǎn)P為BF的中點(diǎn)，連接AE，猜想AE，CF和BP之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF＋AE＝BP，見(jiàn)解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝7，求出EC＝EF＝4即可解決問(wèn)題；（2）分三種情形分別畫(huà)出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（3）結(jié)論：CF＋AE＝BP．如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AE，利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，在Rt△ABE中，AB＝，∴AC＝AB＝7，∴EF＝EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4，∵∠CEF＝90°，EC＝EF＝3，∴CF＝；（2）①如圖2﹣1中，當(dāng)CM＝CN時(shí)，α＝∠MCE＝∠ECN＝∠ACB＝22.5°．如圖2﹣2中，當(dāng)NM＝NC時(shí)，α＝∠MCN＝45°．如圖2﹣3中，當(dāng)CN＝CM時(shí)，∠NCE＝∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°＋67.5°＝112.5°．綜上所述，滿足條件的α的值為22.5°或45°或112.5°．（3）結(jié)論：CF＋AE＝BP．理由：如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴∠ABP＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE，∵P是BF的中點(diǎn)，∴BP＝BF，∵BP＝BF＝（2EF＋DE），CF＝EF，DE＝AE，∴BP＝（CF＋AE），∴CF＋AE＝BP．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【變式1】（2021·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、．

（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______）；（2）繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，在方格紙中畫(huà)出，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（______，_______）；（3）在軸上找一點(diǎn)，使得最小，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)的位置，并求出這個(gè)最小值．【答案】（1）3，2；（2）作圖見(jiàn)解析；3，1；（3）點(diǎn)P的位置見(jiàn)解析；．【分析】（1）由與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的特征是橫縱坐標(biāo)符號(hào)改變點(diǎn)，,，可得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)；（2）把點(diǎn)A、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1，連結(jié)OA1、OB1、A1B1，則為所求如圖，由點(diǎn)B1到y(tǒng)軸距離=點(diǎn)B到x軸的距離，點(diǎn)B1到x軸距離=點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離，由，點(diǎn)B1在第四象限，可得點(diǎn)B1坐標(biāo)為（3，1）；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，由．可求，由PB=PB′可知=PA+PB′≤AB′，當(dāng)點(diǎn)A、P、B′在同一直線時(shí)最短由勾股定理．【詳解】解：（1）∵與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的特征是橫縱坐標(biāo)符號(hào)改變，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)，故答案為:3，2；（2）把點(diǎn)A、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1，連結(jié)OA1、OB1、A1B1，則為所求如圖，點(diǎn)B1到y(tǒng)軸距離=點(diǎn)B到x軸的距離，點(diǎn)B1到x軸距離=點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離，∵，點(diǎn)B1在第四象限，∴點(diǎn)B1坐標(biāo)為（3，1）；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的坐標(biāo)是．則，PB=PB′，=PA+PB′≤AB′，當(dāng)點(diǎn)A、P、B′在同一直線時(shí)最短，∵，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱，三角形旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱以及兩點(diǎn)之間線段最短，掌握中心對(duì)稱，三角形旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱以及兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱作點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，兩B′P。點(diǎn)P、A、B′三點(diǎn)共線，時(shí)距離最短，用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離．【變式2】．（2021·福建三明市·八年級(jí)期末）如圖，已知直線y＝kx＋2與直線y＝3x交于點(diǎn)A（1，m），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求k和m的值；（2）求△AOB的周長(zhǎng)；（3）設(shè)直線y＝n與直線y＝kx＋2，y＝3x及y軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且其中兩點(diǎn)關(guān)于第三點(diǎn)對(duì)稱，求出n的值．【答案】（1）m=3，k=1；（2）C△AOB=2++；（3）n的值為或或6．【分析】（1）由直線y＝3x交于點(diǎn)A（1，m），可得m=3，A(1，3)，由直線y＝kx＋2與直線y＝3x交于點(diǎn)A（1，3），代入得3=k+2，解得k=1；（2）求出直線y＝x＋2與y軸交于點(diǎn)B（0，2）利用勾股定理兩點(diǎn)距離公式AB，OA，OB，可求周長(zhǎng)C△AOB=2++；（3）先求出直線y＝n與直線y＝x＋2，y＝3x及y軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，E（n2，n）,D（，n），C（0，n），其中兩點(diǎn)關(guān)于第三點(diǎn)對(duì)稱，共有三種情況，①E（n2，n）,D（，n），關(guān)于C（0，n）對(duì)稱；②E（n2，n）,C（0，n），關(guān)于D（，n）對(duì)稱；③D（，n），C（0，n）,關(guān)于E（n2，n）對(duì)稱,列出兩點(diǎn)距離等式，即可求出n的值．【詳解】解：（1）直線y＝3x交于點(diǎn)A（1，m），∴m=3，A(1，3)直線y＝kx＋2與直線y＝3x交于點(diǎn)A（1，3），∴3=k+2，∴k=1；（2）直線y＝x＋2與y軸交于點(diǎn)B．則x=0，y=2，B（0，2），AB=，OA=，C△AOB=2++；（3）直線y＝n與直線y＝x＋2，y＝3x及y軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，E（n2，n）,D（，n），C（0，n），其中兩點(diǎn)關(guān)于第三點(diǎn)對(duì)稱，共有三種情況，①E（n2，n）,D（，n），關(guān)于C（0，n）對(duì)稱，則n2+=0，，②E（n2，n）,C（0，n），關(guān)于D（，n）對(duì)稱，則=，=，=或=，n=6或n=2舍去，③D（，n），C（0，n）,關(guān)于E（n2，n）對(duì)稱,，則，，或，或n=0(舍去)，綜合以上三種情況n的值為或或6．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求點(diǎn)坐標(biāo)與解析式，勾股定理兩點(diǎn)距離公式，中心對(duì)稱的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求點(diǎn)坐標(biāo)與解析式，勾股定理兩點(diǎn)距離公式，中心對(duì)稱的性質(zhì)，會(huì)利用分類思想解決中心對(duì)稱是關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共8小題）1．（2020秋?河西區(qū)期末）下列圖案中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：可以看作是中心對(duì)稱圖形的是第三個(gè)圖案，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念：中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．（2021春?商河縣校級(jí)期末）如圖，正方形ABCD與正方形EFGH邊長(zhǎng)相等，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①這個(gè)圖案可以看成正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)45°前后圖形共同組成的；②這個(gè)圖案可以看成是△ABC繞點(diǎn)O分別旋轉(zhuǎn)45°，90°，135°，180°，225°得到的；③這個(gè)圖案可以看成是△BOC繞點(diǎn)O分別旋轉(zhuǎn)45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．以上都不對(duì)【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)得出各內(nèi)角度數(shù)，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD與正方形EFGH邊長(zhǎng)相等，∴對(duì)角線AC，BD，F(xiàn)G，F(xiàn)H都平分對(duì)角，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝45°，故①這個(gè)圖案可以看成正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)45°前后圖形共同組成的，正確；②這個(gè)圖案可以看成是△ABC繞點(diǎn)O分別旋轉(zhuǎn)45°，90°，135°，180°，225°得到的，正確；③這個(gè)圖案可以看成是△BOC繞點(diǎn)O分別旋轉(zhuǎn)45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的，正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確利用正方形的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．3．（2020秋?遂寧期末）如圖，在9×6的方格紙中，小樹(shù)從位置A經(jīng)過(guò)平移旋轉(zhuǎn)后到達(dá)位置B，下列說(shuō)法中正確的是（）A．先向右平移6格，再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° B．先向右平移6格，再繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° C．先向右平移6格，再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° D．先向右平移6格，再繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°【分析】先判斷出∠1的度數(shù)，再進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵小樹(shù)經(jīng)過(guò)正方形BCDE的頂點(diǎn)B、D，∴∠1＝45°，∴小樹(shù)從位置A經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)平移后到位置B時(shí)應(yīng)繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再向右平移6格．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何變換的類型，熟知圖形旋轉(zhuǎn)變換及平移變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4．（2020春?武侯區(qū)期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，現(xiàn)要在這張網(wǎng)格紙的四個(gè)格點(diǎn)M，N，P，Q中找一點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心．將△ABC繞著這個(gè)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形成中心對(duì)稱，且旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在這張4×4的網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，那么滿足條件的旋轉(zhuǎn)中心有（）A．點(diǎn)M，點(diǎn)N B．點(diǎn)M，點(diǎn)Q C．點(diǎn)N，點(diǎn)P D．點(diǎn)P，點(diǎn)Q【分析】畫(huà)出中心對(duì)稱圖形即可判斷【解答】解：觀察圖象可知，點(diǎn)P．點(diǎn)N滿足條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，中心對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．5．（2020?長(zhǎng)興縣模擬）下面各圖形中，不能通過(guò)所給圖形旋轉(zhuǎn)得到的是（）A． B． C． D．【分析】分別利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：如圖，將這個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到圖形A；將這個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到圖形B；將這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°可得到圖形C；不論怎么旋轉(zhuǎn)，都不可能得到圖形D，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握旋轉(zhuǎn)角度是解題關(guān)鍵．6．（2021春?薛城區(qū)期末）在方格中，在標(biāo)有序號(hào)①②③④的小正方形中選一個(gè)涂黑，使其與圖形陰影部分構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，該小正方形的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【解答】解：將②涂黑，使其與圖形陰影部分構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2021?饒平縣校級(jí)模擬）下面是利用圖形變化的知識(shí)設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義解答．【解答】解：A、既是軸對(duì)稱圖形又是對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．8．（2020秋?齊河縣期末）如圖，作△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A'B'C'，接著△A'B'C'沿著平行于直線l的方向向下平移，在這個(gè)變換過(guò)程中兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相等 B．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行 C．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直于直線l D．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被直線l平分【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系．【解答】解：如圖所示，△A″B″C″是△ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形，∴直線l垂直平分CC″，∵△A′B′C′是△A″B″C″向下平移所得三角形，∴CC″∥直線l，則PQ是△CC′C″的中位線，∴直線l平分CC′，同理直線l是另外兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平分線，即兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確把握對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）9．（2021春?東坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，并且△ABC≌△DEF，那么這兩個(gè)全等三角形屬于全等變換中的軸對(duì)稱變換．【分析】觀察圖形，根據(jù)軸對(duì)稱變換解答．【解答】解：由圖可知，這兩個(gè)全等三角形屬于全等變換中軸對(duì)稱變換．故答案為：軸對(duì)稱變換．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的類型，熟記常見(jiàn)的幾何變換并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）10．（2020秋?東城區(qū)校級(jí)期中）按照要求畫(huà)圖：（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1）將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1，B1，C1.畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1．（2）下面是3×3網(wǎng)格都是由9個(gè)相同小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小正方形已涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谟嘞碌?個(gè)空白小正方形中，選取1個(gè)涂上陰影，使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形（畫(huà)出兩種即可）．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；（2）根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行畫(huà)圖即可．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題是作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換作圖，屬于中考常見(jiàn)題型．11．（2021?欽州模擬）如圖1，圖2都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖，每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小等邊三角形已經(jīng)涂上陰影．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1余下的空白小等邊三角形中，選取一個(gè)涂上陰影，使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形；（2）請(qǐng)?jiān)趫D2余下的空白小等邊三角形中，選取一個(gè)涂上陰影，使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．（只需畫(huà)出符合條件的一種情形）【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出一個(gè)符合題意的圖形；（2）直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出一個(gè)符合題意的圖形．【解答】解：（1）如圖1所示：4個(gè)陰影小等邊三角形組成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形；（2）如圖2所示：4個(gè)陰影小等邊三角形組成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案以及利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．12．（2021秋?招遠(yuǎn)市期中）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙，涂黑其中三個(gè)方格，使剩下的部分成為軸對(duì)稱圖形．規(guī)定：凡通過(guò)旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰影部分為涂黑部分）．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出4種不同的設(shè)計(jì)方案，將每種方案中兩個(gè)方格涂黑（每個(gè)3×3的正方形方格畫(huà)一種，并且畫(huà)上對(duì)稱軸）．【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的圖形．【解答】解：如圖所示：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案以及利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2021春?任丘市期末）△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）分別寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)：A（1，3），B（2，0），C（3，1）．（2）△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換得到的？答：先向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位．（3）若點(diǎn)P（x，y）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則△A′B′C′內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（x﹣4，y﹣2）．（4）求△ABC的面積．【分析】（1）利用坐標(biāo)的表示方法寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）利用A點(diǎn)和A′點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定平移的方向與距離；（3）根據(jù)（2）中的平移規(guī)律求解；（4）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△ABC的面積．【解答】解：（1）A（1，3）；B（2，0）；C（3，1）；故答案為（1，3）；（2，0）；（3，1）；（2）把△ABC先向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到△A′B′C′；故答案為先向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位；（3）點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x﹣4，y﹣2）；故答案為（x﹣4，y﹣2）；（4）△ABC的面積＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝6﹣1.5﹣0.5﹣2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的類型，掌握平移變換的坐標(biāo)特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了三角形面積公式和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．14．（2021?寧波模擬）圖①②都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形組成的正六邊形，已經(jīng)有5個(gè)小等邊三角形涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，分別按下列要求選取一個(gè)涂上陰影．（1）使得6個(gè)陰影小等邊三角形組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形．（2）使得6個(gè)陰影小等邊三角形組成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．（請(qǐng)將兩個(gè)小題依次作答在圖①，圖②中，均只需畫(huà)出符合條件的一種情形）【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義分析得出答案；（2）直接利用軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義分析得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形．（2）如圖所示：既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案以及利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．15．（2021?慈溪市模擬）圖1，圖2都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谠?×4的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)一個(gè)與△ABC有公共邊的三角形：（1）使得所畫(huà)出的三角形和△ABC組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．（2）使得所畫(huà)出的三角形和△ABC組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．（請(qǐng)將兩個(gè)小題依次作答在圖1，圖2中，均只需畫(huà)出符合條件的一種情形）【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析得出答案；（2）直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△ADC即為所求（答案不唯一）；（2）如圖所示：△BEC即為所求（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案以及軸對(duì)稱變換，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2020秋?南寧期末）拼圖是一種廣受歡迎的智力游戲．下列拼圖組件是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，中心對(duì)稱圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．2．（2021?邢臺(tái)模擬）如圖是4×4的網(wǎng)格圖．將圖中標(biāo)有①、②、③、④的一個(gè)小正方形涂灰，使所有的灰色圖形構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，則涂灰的小正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：如圖，觀察圖象可知，把③涂灰，所有的灰色圖形構(gòu)成中心對(duì)稱圖形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．二．填空題（共4小題）3．（2021春?邵陽(yáng)縣期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將三角形ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形A1B1C1；將三角形ABC向左平移5個(gè)單位得到三角形A2B2C2．這樣，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向左平移5個(gè)單位得到的．除此以外，三角形A2B2C2還可以由三角形A1B1C1怎樣變換得到呢？請(qǐng)你選擇一種方法，寫(xiě)出變換過(guò)程是三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5個(gè)單位得到的，再以點(diǎn)O′為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．【分析】先向左平移5個(gè)單位，再以點(diǎn)O′為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．【解答】解：如圖，觀察圖形可知，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5個(gè)單位，再以點(diǎn)O′為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．故答案為：三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先向左平移5個(gè)單位得到的，再以點(diǎn)O′為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的性質(zhì)，正確作出圖形．4．（2021春?鐵嶺月考）在方格紙中，選擇標(biāo)有序號(hào)的一個(gè)小正方形涂黑，與圖中的陰影部分構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，該小正方形的序號(hào)是③．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：選擇標(biāo)有序號(hào)③的一個(gè)小正方形涂黑，與圖中的陰影部分構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，故答案為③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．5．（2021?成都模擬）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)的線段的比值為k；再將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過(guò)相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，θ為旋轉(zhuǎn)角．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°）得到△ADE，則BD長(zhǎng)2cm．【分析】已知2中△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．【解答】解：△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE以及AD＝cm，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理得到：BD＝＝2（cm）．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何變換綜合題．解答該題的關(guān)鍵是弄清楚O（k，θ）所表達(dá)的含義，其中點(diǎn)0叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．6．（2021春?湖北月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)某種變換后得到點(diǎn)P'（﹣y+1，x+2），我們把點(diǎn)P'（﹣y+1，x+2）叫做點(diǎn)P（x，y）的終結(jié)點(diǎn)．已知點(diǎn)P1的終結(jié)點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2的終結(jié)點(diǎn)為P3，點(diǎn)P3的終結(jié)點(diǎn)為P4，這樣依次得到P1，P2，P3，P4，…Pn．若點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)P2021的坐標(biāo)為（2，0）．【分析】利用點(diǎn)P（x，y）的終結(jié)點(diǎn)的定義分別寫(xiě)出點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（﹣3，3），點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），點(diǎn)P5的坐標(biāo)為（2，0），…，從而得到每4次變換一個(gè)循環(huán)，然后利用2021＝4×505+1可判斷點(diǎn)P2021的坐標(biāo)與點(diǎn)P1的坐標(biāo)相同．【解答】解：根據(jù)題意得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（﹣3，3），點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），點(diǎn)P5的坐標(biāo)為（2，0），…，而2021＝4×505+1，所以點(diǎn)P2021的坐標(biāo)與點(diǎn)P1的坐標(biāo)相同，為（2，0）．故答案為：（2，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換：四種變換方式：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、位似．掌握在直角坐標(biāo)系中各種變換的對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變化規(guī)律．三．解答題（共6小題）7．（2020秋?福山區(qū)期末）如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)你認(rèn)真觀察圖（1）中的三個(gè)網(wǎng)格中陰影部分構(gòu)成的圖案．解答下列問(wèn)題：（1）圖①中的三個(gè)圖案面積都是4，且都具有一個(gè)共同特征：都是中心對(duì)稱圖形；（2）請(qǐng)?jiān)趫D②中設(shè)計(jì)出一個(gè)面積與圖①陰影部分面積相同，且具備上述共同特征的圖案，要求所畫(huà)圖案不能與圖①中所給出的圖案相同．【分析】（1）利用網(wǎng)格特征以及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）根據(jù)要求作出圖形即可．【解答】解：（1）圖①中的三個(gè)圖案面積都是4，且都具有一個(gè)共同特征：都是中心對(duì)稱圖形；故答案為：4；中心；（2）如圖所示，答案不唯一．（或面積是4的平行四邊形、正方形等）【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解中心對(duì)稱圖形的定義，屬于中考?？碱}型．8．（2021春?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面材料，并解決相應(yīng)的問(wèn)題：在數(shù)學(xué)課上，老師給出如下問(wèn)題，已知線段AB，求作線段AB的垂直平分線．小明的作法如下：（1）分別以A，B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；（2）再分別以A，B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；（3）作直線CD，直線CD即為所求的垂直平分線．同學(xué)們對(duì)小明的作法提出質(zhì)疑，小明給出了這個(gè)作法的證明如下：連接AC，BC，AD，BD．由作圖可知：AC＝BC，AD＝BD．∴點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上（依據(jù)1：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．∴直線就是線段的垂直平分線（依據(jù)2：線段的垂直平分線的判定）．（1）請(qǐng)你將小明證明的依據(jù)寫(xiě)在橫線上；（2）將小明所作圖形放在如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D恰好均在格點(diǎn)上，依次連接A，C，B，D，A各點(diǎn)，得到如圖所示的“箭頭狀”的基本圖形，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中添加若干個(gè)此基本圖形，使其各頂點(diǎn)也均在格點(diǎn)上，且與原圖形組成的新圖形是中心對(duì)稱圖形．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)判斷即可．（2）作點(diǎn)C，D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，D′，連接AC′，BC′，AD′，BD′即可．【解答】解：（1）連接AC，CB，AD，DB．由作圖可知：AC＝BC，AD＝BD．∴點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上（到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．∴直線就是線段的垂直平分線（線段的垂直平分線的判定）．故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定．（2）如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9．（2021春?賀蘭縣期中）如圖1，把△ABC沿直線BC平移線段BC的長(zhǎng)度，得到△ECD；如圖2，以BC為軸，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如圖3，以點(diǎn)A為中心，把△ABC旋轉(zhuǎn)180°，可以得到△AED．像這樣，其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形按平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法得到的，這種只改變位置，不改變形狀、大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換．回答下列問(wèn)題：（1）在圖4中，可以使△ABE通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法得到△ADF？（2）圖中線段BE與DF相等嗎？為什么？【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義判斷即可．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解決問(wèn)題即可【解答】解：（1）△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF．這里是旋轉(zhuǎn)變換．（2）BE＝DF．理由：因?yàn)椤鰽BE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△ADF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，所以BE＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．10．（2020秋?西城區(qū)期末）如圖所示的三種拼塊A，B，C，每個(gè)拼塊都是由一些大小相同、面積為1個(gè)單位的小正方形組成，如編號(hào)為A的拼塊的面積為3個(gè)單位．現(xiàn)用若干個(gè)這三種拼塊拼正方形，拼圖時(shí)每種拼塊都要用到，且這三種拼塊拼圖時(shí)可平移、旋轉(zhuǎn)，或翻轉(zhuǎn)．（1）若用1個(gè)A種拼塊，2個(gè)B種拼塊，4個(gè)C種拼塊，則拼出的正方形的面積為25個(gè)單位．（2）在圖1和圖2中，各畫(huà)出了一個(gè)正方形拼圖中1個(gè)A種拼塊和1個(gè)B種拼塊，請(qǐng)分別用不同的拼法將圖1和圖2中的正方形拼圖補(bǔ)充完整．要求：所用的A，B，C三種拼塊的個(gè)數(shù)與（1）不同，用實(shí)線畫(huà)出邊界線，拼塊之間無(wú)縫隙，且不重疊．【分析】（1）求出各個(gè)圖形的面積和即可．（2）分別用3個(gè)A，2GB，1個(gè)C或4個(gè)A，1個(gè)吧，1個(gè)C，拼面積為25的正方形即可．【解答】解：（1）1個(gè)A種拼塊，2個(gè)B種拼塊，4個(gè)C種拼塊，面積＝3+6+16＝25，故答案為：25．（2）圖形如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)，平移設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．11．（2020秋?浦東新區(qū)期末）如圖1，圖2，圖3的網(wǎng)格均由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，圖1是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽所繪制的“弦圖”，它由四個(gè)形狀、大小完全相同的直角三角形組成，趙爽利用這個(gè)“弦圖”對(duì)勾股定理作出了證明，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要成就，請(qǐng)根據(jù)下列要求解答問(wèn)題．（1）圖1中的“弦圖”的四個(gè)直角三角形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形（填“軸”或“中心”）．（2）請(qǐng)將“弦圖”中的四個(gè)直角三角形通過(guò)你所學(xué)過(guò)的圖形變換，在圖2，3的方格紙中設(shè)計(jì)另外兩個(gè)不同的圖案，畫(huà)圖要求：①每個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)均在方格紙的格點(diǎn)上，且四個(gè)三角形互不重疊，不必涂陰影；②圖2中所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）必須是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形；圖3中所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）必須既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【分析】（1）利用中心對(duì)稱圖形的意義得出答案即可；（2）①每個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)均在方格紙的格點(diǎn)上，且四個(gè)三角形不重疊，是軸對(duì)稱圖形；②所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）必須是中心對(duì)稱圖形或軸對(duì)稱圖形畫(huà)出圖．【解答】解：（1）圖1中的“弦圖”的四個(gè)直角三角形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形．故答案為：中心；（2）如圖2是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形；圖3既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用旋轉(zhuǎn)或者軸對(duì)稱設(shè)計(jì)方案，關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的概念，按照要求作出圖形即可．12．（2021?安徽模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC向上平移一個(gè)單位，再向左平移一個(gè)單位得到△A1B1C1，那么C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣2，5）；P點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，3）；（2）△ABC關(guān)于第一象限角平分線所在的直線作軸對(duì)稱變換得到△A2B2C2，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（1，﹣4）；（3）△A3B3C3是△ABC繞坐標(biāo)平面內(nèi)的Q點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．（3）分別作出A，B，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A3，B3，C3即可，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)Q即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，那么C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣2，5）P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，3）．故答案為（﹣2，5），（﹣3，3）．（2）△A2B2C2如圖所示，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（1，﹣4）．故答案為（1，﹣4）．（3）△A3B3C3即為所求，Q（﹣1，﹣1），故答案為（﹣1，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣平移變換，軸對(duì)稱變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．題組C培優(yōu)拔尖練一．填空題（共1小題）1．（2020秋?溫州月考）某藝術(shù)館一扇窗戶（矩形ABCD）上的窗花設(shè)計(jì)如圖所示，已知AC，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，EF，GH，IJ，KL將矩形ABCD分割成8塊全等的小矩形，EF與KL相交于點(diǎn)N，M是KN上一點(diǎn)，MN＝2KM，ME與AC相交于點(diǎn)P，這8塊小矩形圖案均可以由其中的一塊經(jīng)過(guò)一次或兩次變換得到．設(shè)矩形ABCD的面積為S，則陰影部分的面積之和為S．（用含S的代數(shù)式表示）【分析】如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，AO交EN于點(diǎn)K，連接PN．證明S△AEP+S△PKM＝3m+＝＝S四邊形AKNE，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，AO交EN于點(diǎn)K，連接PN．∵M(jìn)N＝2KM，∴可以假設(shè)KM＝m，MN＝2m，則KN＝AE＝ON＝3m，OM＝5m，∵AE∥OM，∴＝＝＝＝，∴AK＝OK，EK＝KN，∴AP：PK＝3：1，設(shè)S△PEK＝S△PKN＝a，則S△AEP＝3m，S△PMN＝，S△PKM＝，∵S△EMN＝S四邊形AKNE，∴2m+＝S四邊形AKNE，∴m＝S四邊形AKNE，∴S△AEP+S△PKM＝3m+＝＝S四邊形AKNE，∵這8塊小矩形圖案均可以由其中的一塊經(jīng)過(guò)一次或兩次變換得到，∴S陰＝S四邊形ABCD＝S．故答案為：S．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換的類型，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．二．解答題（共6小題）2．（2021春?商水縣期末）閱讀下面材料：如圖（1），把△ABC沿直線BC平行移動(dòng)線段BC的長(zhǎng)度，可以變到△DEC的位置；如圖（2），以BC為軸，把△ABC翻折180°，可以變到△DBC的位置；如圖（3），以點(diǎn)A為中心，把△ABC旋轉(zhuǎn)180°，可以變到△AED的位置．像這樣，其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形按平行移動(dòng)、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的．這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換．回答下列問(wèn)題：①在圖（4）中，可以通過(guò)平行移動(dòng)、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法怎樣變化，使△ABE變到△ADF的位置；②指圖中線段BE與DF之間的關(guān)系，為什么？【分析】①AB和AD是對(duì)應(yīng)線段，那么應(yīng)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；②關(guān)系應(yīng)包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．旋轉(zhuǎn)前后的三角形是全等的，∴BE＝DF，延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)G，利用對(duì)應(yīng)角相等，可得到垂直．【解答】解：①在圖4中可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)90°使△ABE變到△ADF的位置．（3分）②由全等變換的定義可知，通過(guò)旋轉(zhuǎn)90°，△ABE變到△ADF的位置，只改變位置，不改變形狀大小，∴△ABE≌△ADF．∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF．∵∠ADF+∠F＝90°，∴∠ABE+∠F＝90°，∴BE⊥DF．（9分）【點(diǎn)評(píng)】旋轉(zhuǎn)前后的三角形全等；所求關(guān)系應(yīng)包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．3．（2020春?臨邑縣期末）△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．（1）分別寫(xiě)出△A′B′C′各點(diǎn)的坐標(biāo)：A′（﹣3，1）；B′（﹣2，﹣2）C′（﹣1，﹣1）；（2）若點(diǎn)P（a，b）是△A′B′C′內(nèi)部一點(diǎn)，則其圖形變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a﹣4，b﹣2）；（3）說(shuō)明△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變換得到的？△ABC向左平移4個(gè)單位向下平移2個(gè)單位得到△A′B′C′；（4）△ABC的面