一元函數(shù)的導數(shù)的綜合應用-不等式證明與導數(shù)（教師版）

一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(六)不等式證明與導數(shù)導數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數(shù)的性質、函數(shù)的零點與極值、數(shù)列等相結合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達到事半功倍的效果．題型：一、單變量不等式的證明：（一）構造函數(shù)法證明不等式：（Ⅰ）作差法構造函數(shù)證明不等式：1．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時，證明：當時，恒成立?！敬鸢浮?1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設條件將問題可轉化成證明當時，即可.解:（1）定義域為，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證2．已知函數(shù)，曲線在點處的切線的斜率為1，其中.(1)求的值和的方程；(2)證明：當時，.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）先求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程；（2），求導，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可.解:（1）由已知因為曲線在點處的切線的斜率為1，所以，解得，又所以切線方程為，即；（2）令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，所以，即.3.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當時，．【答案】（1）極大值為，沒有極小值；（2）證明見詳解.【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；（2）構造函數(shù)，證明函數(shù)在時恒成立.解:（1），,當時,；當時,當變化時,的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此,當時,有極大值,并且極大值為，沒有極小值.（2）令函數(shù),由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.又故在存在唯一零點.設為,則當時,；當時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減又，所以，當時,.故.思維升華:待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．（Ⅱ）拆分法構造函數(shù)證明不等式：1.設函數(shù)，曲線在點處切線的斜率為0.(1)求的值；(2)求證：當時，.解:(1)，由題意，可得，所以.(2)證明：由(1)得，要證當時，，只需證當時，，即.令，，令，得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，.因為，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故當時，，即.故當時，，即當時，.2．設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數(shù)和換元法即可求解解:（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.思維升華:待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數(shù)，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．（二）最值法證明不等式：1.已知函數(shù)，．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，從而證得不等式成立.解:（1），，，故曲線在點處的切線方程為.即．（2）設，則．由（1）知，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，，．2.已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明.解:(1)函數(shù)的定義域為，∵，∴當時，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，由，得，由，得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)證明:證明，只需證明，由(1)知，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴.令，則，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∴當，時，.思維升華:若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標。本例中同時含與，不能直接構造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．（三）放縮法證明不等式：1.已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)證明：當時，.(1)解：當時，，，，又，∴切點為．∴切線方程為，即.(2)證明∵，∴，∴.方法一：令，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，即.方法二.令，∴.當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，故，當且僅當時取“”．同理可證，當且僅當時取“”．由(當且僅當時取“”)，由(當且僅當時取“”)，∴，即，即(當且僅當時取“”)，即.思維升華：對于函數(shù)中含有和與其他代數(shù)式結合的問題，可以考慮先對和進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數(shù)進行證明．常見的放縮公式如下：①，當且僅當時取等號．②，當且僅當時取等號．2.已知函數(shù)(1)求的最大值；(2)求證：【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）由（1）可得，即可得到，再根據(jù)不等式的性質、等差數(shù)列求和公式以及對數(shù)的運算性質計算可得.解:（1）因為定義域為，所以，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時，取得最大值，即.（2）證明：當，時，不等式左邊，不等式右邊，因此只需證明：，由（1）知，在時，取得最大值，∴在恒成立，∴（當且僅當時取等號），∴，（當且僅當時取等號），又，，所以，，，，，∴以上各式相加得：，∴得證.3．已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.解:（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.二、雙變量不等式的證明：(一)利用雙變量的關系轉化為單變量1．已知函數(shù)．（1）若，求方程的解；（2）若有兩個零點且有兩個極值點，記兩個極值點為，求的取值范圍并證明．解:（1）當時，由方程得，設，則由得，由得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故方程的解為.（2）令，得，設，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當時，當時，若有兩個零點，則，故，，令，得，設，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當時，當時，若有兩個極值點，則，綜上，.不妨令，因為且，由與圖象得，由為的兩根得，兩式分別乘并整理得，所以，要證，即證，即證，由于，所以，只需證，即證，（），令，（），當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，得證.2．設函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，設極大值點為，為的零點，求證：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）先對函數(shù)求導得，對分類討論，求出和的解，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）分和兩種情況討論，時，易得零點為0，直接比較即可，時，，再由，可得，再結合基本不等式即可證明.解:（1），當時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，令，解得或，所以時，或，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，解得或，所以時，或，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）根據(jù)題意結合（1）可知時，存在兩個極值點，由為的零點，則，則，故，若，由（1）可知，則；若，則，故,化簡得即，又，所以，故，當且僅當，即時等號成立，所以，故，當且僅當時取等號，綜上所述，恒成立．（二）構造函數(shù)法：1．已知函數(shù)．（1）討論的極值點個數(shù)；（2）若有兩個極值點，且，當時，證明：．解:（1）當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點．（2）由（1）中知，則是方程的兩根，不妨令，則，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，大致圖像如圖所示，由圖像可知當時，，，下先證（*）由，兩邊取對數(shù)得，作差得，（*）等價于證明，令，，故在上單調(diào)遞增，從而，即證得，所以，再證明，令，故在上單調(diào)遞減，則，所以，再令，，則在上單調(diào)遞增，故，即證得．2．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.解:（1）[方法一]：常規(guī)求導的定義域為，則令,得當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.【點睛】關鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握。3．設函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)滿足，證明：.解:（1）的定義域是，.令，解得；令，解得或.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增.（2）證明：因為，所以.設，定義域為，則，當時，.單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.因此，所以對任意的恒成立.令，有，當且僅當時，等號成立.因此，即，解得，即.思維升華：證明雙變量函數(shù)不等式的常見思路：(1)將雙變量中的一個看作變量，另一個看作常數(shù)，構造一個含參數(shù)的輔助函數(shù)證明不等式．(2)整體換元．對于齊次式往往可將雙變量整體換元，化為一元不等式．（三）放縮法：1.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有3個零點，其中．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．解:（1）當時，，，則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）（ⅰ），，，則除1外還有兩個零點，，令，當時，在恒成立，則，所以在