第03講相交線與平行線中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)(數(shù)學(xué)思想+解題技巧+專(zhuān)項(xiàng)突破+精準(zhǔn)提升)

專(zhuān)題相交線與平行線中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想（原卷版）第一部分專(zhuān)題典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類(lèi)型一數(shù)形結(jié)合思想典例1如圖，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．（1）AE與FC平行面？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）BC平分∠DBE嗎？為什么？針對(duì)訓(xùn)練11．如圖，已知EF為直線，∠1＝63°，∠2＝27°，且∠B＋∠BMD＋∠D＝360°．EF⊥CD嗎？為什么？類(lèi)型二整體思想典例2如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分線交于點(diǎn)F，則∠F的度數(shù)為（）A．120° B．135° C．150° D．不能確定針對(duì)訓(xùn)練22．如圖，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)E，連續(xù)AE，∠BDC＝6∠BAE，求∠AEC的度數(shù).類(lèi)型三方程思想典例3如圖，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分線CE交BD于E，連接AE，若∠BDC＝6∠BAE，則∠AEC的度數(shù)為．針對(duì)訓(xùn)練33．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．(1)求∠AOE的度數(shù)；(2)若OF平分∠BOE，問(wèn)：OB是∠DOF的平分線嗎？試說(shuō)明理由．4．（2020春?章丘區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，則∠F＝．（2）請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．類(lèi)型四分類(lèi)思想典例4（2020春?營(yíng)山縣期末）如圖1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠BAN＝°；（2）如圖1所示，射線AM繞點(diǎn)A開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)至AM位置，射線BP繞點(diǎn)B開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)至BP位置．若AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，BP轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，若射線BP先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，射線AM才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線BP到達(dá)BQ之前，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩射線互相平行？（3）如圖2，若兩射線分別繞點(diǎn)A，B順時(shí)針?lè)较蛲瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度同題（2），在射線AM到達(dá)AN之前．若兩射線交于點(diǎn)C，過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．針對(duì)練習(xí)45．如果∠1的兩邊與∠2的兩邊互相平行，且∠1＝60°，則∠2＝．6．從汽車(chē)燈的點(diǎn)O處發(fā)出的－束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，如入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝75°.在圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°.求∠AOD的度數(shù).

第二部分專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?青羊區(qū)校級(jí)期中）已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)

2．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長(zhǎng)至K，使∠QKA＝∠QAK，再過(guò)點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．

3．（2019春?成都期中）如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直線BE、DE交于點(diǎn)E．（1）寫(xiě)出∠EDC的度數(shù)；（2）試求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）將線段BC向右平行移動(dòng)，使點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．4．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．如圖4，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)．

5．如圖，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°.(1)求∠2和∠4的度數(shù)；(2)本題隱含著一個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你根據(jù)(1)的結(jié)果進(jìn)行歸納：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角的關(guān)系如何？(3)利用(2)的結(jié)論解答：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍少60°，求這兩個(gè)角的度數(shù).6．如圖所示，兩直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：11.備用圖備用圖(1)求∠COE的度數(shù).(2)若射線OF⊥OE，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出OF，并求∠COF的度數(shù).專(zhuān)題相交線與平行線中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想（解析版）第一部分專(zhuān)題典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類(lèi)型一數(shù)形結(jié)合思想典例1如圖，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．（1）AE與FC平行面？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）BC平分∠DBE嗎？為什么？思路引領(lǐng)：已知條件是角之間的數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題（1）（2）是判斷兩直線的位置關(guān)系，可想到用平行線的判定，其中第（2）問(wèn)要用到（1）的結(jié)論；（3）中要說(shuō)明BC是否平分∠DBE，只要看能否得到∠EBC＝∠CBD即可．解：（1）平行．理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠CDB＝180°（鄰補(bǔ)角定義），∴∠1＝∠CDB，∴AE∥FC（同位角相等，兩直線平行）．（2）平行．理由如下：∵DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠ADB．∵AE∥CF，AD∥BC．∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD．∴∠EBC＝∠CBD．∴BC平分∠DBE．點(diǎn)睛：平行線的判定是由角與角的數(shù)量關(guān)系到“形”的判定，而性質(zhì)則是“形”到“數(shù)”的說(shuō)理，研究?jī)蓷l直線的垂直或平行的共同點(diǎn)是把研究它們的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究角和角之間的關(guān)系．針對(duì)訓(xùn)練11．如圖，已知EF為直線，∠1＝63°，∠2＝27°，且∠B＋∠BMD＋∠D＝360°．EF⊥CD嗎？為什么？思路引領(lǐng)：由“∠B＋∠BMD＋∠D＝360°”設(shè)法證明AB∥CD，可過(guò)點(diǎn)M作AB的平行線，∠1的同位角和∠2恰好組合成∠EFC，因此可證得∠EFC＝90°，從而證得EF⊥CD．解：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠B＋∠BMN＝180°，∵∠B＋∠BMD＋∠D＝360°．∴∠D＋∠DMN＝180°，∴MN∥CD．∴AB∥CD，∴∠3＝∠1＝63°．∵∠2＝27°，∴∠CFE＝90°，∴EF⊥CD．類(lèi)型二整體思想典例2如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分線交于點(diǎn)F，則∠F的度數(shù)為（）A．120° B．135° C．150° D．不能確定思路引領(lǐng)：過(guò)F作FQ∥AB，過(guò)E作EH∥AB，求出AB∥CD∥EH∥FQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠MFN＝∠1+∠8，∠MEN＝∠3+∠6＝90°，即可求出答案．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∵EM⊥EN，∴∠MEN＝90°，∵M(jìn)F平分∠AME，NF平分∠DNE，∴∠1＝∠2，∠7＝∠8，過(guò)F作FQ∥AB，過(guò)E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，AB∥CD∥FQ，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠1＝∠MFQ，∠8＝∠NFQ，∴∠MEN＝∠4+∠5＝∠3+∠6＝90°，∠MFN＝∠1+∠8，∵∠1+∠2＝180°﹣∠3，∠7+∠8＝180°﹣∠6，∴2∠1+2∠8＝180°+180°﹣（∠3+∠6）＝360°﹣90°＝270°，∴∠1+∠8＝135°，∴∠MFN＝135°，故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線定義、垂直定義等知識(shí)點(diǎn)，能夠求出∠MEN＝∠3+∠6＝90°、∠MFN＝∠1+∠8是解此題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練22．如圖，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)E，連續(xù)AE，∠BDC＝6∠BAE，求∠AEC的度數(shù).解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF.∴∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠DCE.∵∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)E，故可設(shè)∠DCE＝∠BCE＝x，則∠ABC＝2x.∴∠DBC＝2∠ABC＝4x.設(shè)∠BAE＝y(tǒng)，則∠BDC＝6∠BAE＝6y，易得∠ABD＋∠BDC＝180°，∴2x＋6y＋4x＝180°，解得x＋y＝30°，∴∠BAE＋∠DCE＝x＋y＝30°，則∠AEC＝30°.類(lèi)型三方程思想典例3如圖，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分線CE交BD于E，連接AE，若∠BDC＝6∠BAE，則∠AEC的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：過(guò)E作EF∥AB，可得∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，設(shè)∠DCE＝∠BCE＝α，則∠ABC＝2α，設(shè)∠BAE＝β，則∠BDC＝6∠BAE＝6β，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到α+β＝30°，進(jìn)而得出∠BAE+∠DCE＝30°，即∠AEC＝30°．解：如圖，過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，∵∠BCD的平分線CE交BD于E，∴可設(shè)∠DCE＝∠BCE＝α，則∠ABC＝2α，∴∠DBC＝2∠ABC＝4α，設(shè)∠BAE＝β，則∠BDC＝6∠BAE＝6β，∵△BCD中，∠BCD+∠CDB+∠DBC＝180°，∴2α+6β+4α＝180°，∴α+β＝30°，∴∠BAE+∠DCE＝30°，∴∠AEC＝30°，故答案為：30°．點(diǎn)睛：本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題．針對(duì)訓(xùn)練33．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．(1)求∠AOE的度數(shù)；(2)若OF平分∠BOE，問(wèn)：OB是∠DOF的平分線嗎？試說(shuō)明理由．第3題圖解：(1)因?yàn)椤螦OE：∠EOC＝2：3．所以設(shè)∠AOE＝2x，則∠EOC＝3x，所以∠AOC＝5x，因?yàn)椤螦OC＝∠BOD＝75°，所以5x＝75°，解得：x＝15°，則2x＝30°，所以∠AOE＝30°；(2)OB是∠DOF的平分線；理由如下：因?yàn)椤螦OE＝30°，所以∠BOE＝180°－∠AOE＝150°，因?yàn)镺F平分∠BOE，所以∠BOF＝75°，因?yàn)椤螧OD＝75°，所以∠BOD＝∠BOF，所以O(shè)B是∠DOF的角平分線．4．（2020春?章丘區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，則∠F＝．（2）請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．解：（1）如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案為：90°；（2）如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD﹣∠BEF＝30°；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，設(shè)∠BEF＝2x°，則∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．類(lèi)型四分類(lèi)思想典例4（2020春?營(yíng)山縣期末）如圖1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠BAN＝°；（2）如圖1所示，射線AM繞點(diǎn)A開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)至AM位置，射線BP繞點(diǎn)B開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)至BP位置．若AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，BP轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，若射線BP先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，射線AM才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線BP到達(dá)BQ之前，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩射線互相平行？（3）如圖2，若兩射線分別繞點(diǎn)A，B順時(shí)針?lè)较蛲瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度同題（2），在射線AM到達(dá)AN之前．若兩射線交于點(diǎn)C，過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設(shè)射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩射線互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t＝1?（30+t），可得t＝30；當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；（3）設(shè)射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°；（2）設(shè)射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩射線互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)30或110秒，兩射線互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．故答案為：60．點(diǎn)睛：本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類(lèi)思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．針對(duì)練習(xí)45．如果∠1的兩邊與∠2的兩邊互相平行，且∠1＝60°，則∠2＝．解：如圖1，∵BC∥EF，∴∠2＝∠DGC．∵AB∥DE，∴∠1＝∠DGC，∴∠1＝∠2＝60°；如圖2，∵BC∥DE，∴∠1+∠BGD＝180°．∵AB∥EF，∴∠2＝∠BGD，∴∠1+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案為：60°或120°．點(diǎn)睛：本題考查的是平行線的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．6．從汽車(chē)燈的點(diǎn)O處發(fā)出的－束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，如入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝75°.在圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°.求∠AOD的度數(shù).解：因?yàn)锳B∥CF，所以∠COA＝∠OAB＝75°.因?yàn)镈E∥CF，所以∠COD＝∠ODE＝22°.①②在答圖①的情況下，∠AOD＝∠COA－∠COD＝75°－22°＝53°；在答圖②的情況下，∠AOD＝∠COA＋∠COD＝75°＋22°＝97°，所以∠AOD的度數(shù)為53°或97°.

第二部分專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?青羊區(qū)校級(jí)期中）已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)解：（1）如圖1，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵M(jìn)G⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如圖2，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，設(shè)∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝32°，∴∠MGK＝∠BMG＝32°，∵M(jìn)G平分∠BMP，∴∠GMP＝∠BMG＝32°，∴∠BMP＝64°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥GK，∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α，∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°；（3）如圖3，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)E作ET∥AB，設(shè)∠AMF＝x，∠GND＝y(tǒng)，∵AB，F(xiàn)G交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠AME＝2x，∵CD∥AB，AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y(tǒng)，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB，AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠MGN＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．2．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長(zhǎng)至K，使∠QKA＝∠QAK，再過(guò)點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP＝∠CAB，∠ACP＝∠ACD，∴∠CAP+∠ACP＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E+∠F＝108°．證明：如圖2，過(guò)E作EG∥AB，過(guò)F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE＝∠BAC，∠DCF＝∠DCA，∴∠AEC＝∠BAC+∠ACD，∠AFC＝∠BAC+∠DCA，∴∠AEC+∠AFC＝∠BAC+∠ACD+∠BAC+∠DCA＝∠ACD+∠BAC＝（∠BAC+∠DCA）＝×180°＝108°；（3）如圖，過(guò)Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K＝∠AQH，∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH＝∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K＝∠CQH﹣∠AQH＝（∠CQH﹣∠AQH）＝∠AQC＝30°＝15°，即∠QMK的大小不變，是定值15°．3．（2019春?成都期中）如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直線BE、DE交于點(diǎn)E．（1）寫(xiě)出∠EDC的度數(shù)40°；（2）試求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）將線段BC向右平行移動(dòng)，使點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝80°，∴∠EDC＝∠ADC＝×80°＝40°；故答案為：40°；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝n°+40°；（3）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，若點(diǎn)E在直線l1和l2之間，則∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝80°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝40°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝40°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．綜上所述，∠BED的度數(shù)變化，度數(shù)為220°﹣n°．4．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．如圖4，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠M