專項(xiàng)24與圓有關(guān)計(jì)算(三大考點(diǎn)+5種類型陰影面積)(原卷版+解析)

專項(xiàng)24與圓有關(guān)計(jì)算（三大考點(diǎn)+5種類型陰影面積）考點(diǎn)1：弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積考點(diǎn)2：圓錐的有關(guān)計(jì)算圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)（）考點(diǎn)3：陰影部分面積的計(jì)算類型一：直接法所求陰影部分為扇形、三角形或特殊四邊形時(shí),直接用面積公式進(jìn)行求解．類型二：直接和差法所求陰影部分面積可以看成扇形、三角形、特殊四邊形面積相加減．類型三：構(gòu)造和差法所求陰影部分面積需要添加輔助線構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形,然后進(jìn)行相加減．構(gòu)造圖形時(shí)一般先觀察陰影部分圖形:1．若陰影部分圖形有一部分是弧線,找出弧線所對(duì)應(yīng)的圓心,連接弧線端點(diǎn)與圓心構(gòu)造扇形;2．若陰影部分是由圖形旋轉(zhuǎn)構(gòu)成,旋轉(zhuǎn)中心即為圓心,分別將旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接,端點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接構(gòu)造扇形．類型四：等積轉(zhuǎn)化法利用等積轉(zhuǎn)化將所求陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求扇形、三角形、特殊四邊形的面積或它們面積的和差類型五：容斥原理法當(dāng)陰影部分是由幾個(gè)圖形疊加形成時(shí),求解陰影部分面積需先找出疊加前的幾個(gè)圖形,然后理清圖形之間的重疊關(guān)系．計(jì)算方法為:陰影部分面積＝疊加前的幾個(gè)圖形面積之和－(多加部分面積＋空白部分面積)．如圖,陰影部分是扇形CAE和扇形CBD的重疊部分,則S陰影＝S扇形CAE＋S扇形CBD－S△ABC．【考點(diǎn)1弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算】【典例1】（2022?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長(zhǎng)為（）A．6π B．2π C．π D．π【變式1-1】（2022?大名縣三模）已知一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【變式1-2】（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，的長(zhǎng)是（）A．π B．π C．π D．π【變式1-3】（2022?河北）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長(zhǎng)是（）A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm【考點(diǎn)2圓錐的有關(guān)計(jì)算】【典例2】（2022?牡丹江）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【變式2-1】（2022?南丹縣二模）如圖，圓錐體的高，底面圓半徑r＝1cm，則該圓錐體的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【變式2-2】（2022春?張灣區(qū)校級(jí)月考）如圖，小明用圖中的扇形紙片作一個(gè)圓錐的側(cè)面，已知扇形的圓心角為216°，面積是15πcm2，那么這個(gè)圓錐的底面半徑是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【典例3】（2022?濟(jì)寧）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【變式3-1】（2022?柳州）如圖，圓錐底面圓的半徑AB＝4，母線長(zhǎng)AC＝12，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（）A．16π B．24π C．48π D．96π【變式3-2】（2022?大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開圖的面積是（）A．60π B．65π C．90π D．120π【考點(diǎn)3直接和差法】【典例3】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAE的面積為（）A． B． C． D．【變式3-1】（2022?長(zhǎng)春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（）A．4π B．π C．8π D．16π【變式3-2】（2022?鞏義市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（）A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π【典例4】（2022?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【變式4-1】（2021?德州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，則陰影部分的面積為（）A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣【考點(diǎn)4：構(gòu)造和差法】【典例5】（2022?銅仁市）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）A．9 B．6 C．3 D．12【變式6-1】（2022?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2【變式5-2】（2022?貴港）如圖，在?ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB＝3，則圖中陰影部分的面積是．【考點(diǎn)5：等積轉(zhuǎn)化法】【典例6】（2020?畢節(jié)市）如圖，已知點(diǎn)C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，弧CD的長(zhǎng)為π，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．π C．π D．π+【變式6-1】（2022?黔西南州）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH＝90°．則圖中陰影部分面積是．【變式6-2】（2022?長(zhǎng)春一模）如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若半圓的半徑OA的長(zhǎng)為3，陰影部分的面積是．【考點(diǎn)6：容斥原理法】【典例7】（南寧）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB＝2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C．2 D．2【變式7-1】（2019?臨沂）如圖，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，則陰影部分的面積是（）A．2+π B．2++π C．4+π D．2+π【變式7-2】（2022?河南）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為．1．（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（）A．π B．π C．π D．2π2．（2022?甘肅）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎc(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路（）的長(zhǎng)度為（）A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm3．（2022?官渡區(qū)二模）在數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題活動(dòng)課上，芳芳用半徑15cm，圓心角120°的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形的生日帽，如圖所示．在不考慮接縫的情況下，這個(gè)圓錐形生日帽的底面圓半徑是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．（2022?周村區(qū)一模）如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個(gè)扇形，用剩下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），這個(gè)圓錐的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm5．（2022?文山市模擬）如圖，已知由扇形AOB圍成的圓錐的底面周長(zhǎng)為，若∠AOB＝80°，則扇形AOB的面積為（）A． B．2π C．4π D．8π6．（2022?禹城市模擬）如圖，斗笠是一種遮擋陽光和蔽雨的編結(jié)帽，它可近似看成一個(gè)圓錐，已知該斗笠的側(cè)面積為550πcm2，AB是斗笠的母線，長(zhǎng)為25cm，AO為斗笠的高，BC為斗笠末端各點(diǎn)所在圓的直徑，則OC的值為（）cm．A．22 B．23 C．24 D．257．（2022?蘭州）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為（）A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm28.（2020?攀枝花）如圖，直徑AB＝6的半圓，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C．π D．3π9．（2022春?大同期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，先以正方形的對(duì)角線AC為直徑畫圓，再以正方形的各邊長(zhǎng)為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．8π C．16π D．810．（2022?涼山州）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（）A．米2 B．米2 C．米2 D．米211．（2021?青海）如圖，一根5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動(dòng)）那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm212．（2020?資陽）如圖，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到△AB1C1的位置，則邊BC掃過區(qū)域的面積為（）A． B．π C． D．2π13．（2018?巴彥淖爾）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作交OB于點(diǎn)D．若OA＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．+ B．+2 C．+ D．2+14．（2009?蕭山區(qū)模擬）下圖中三個(gè)圓的半徑都是5cm，三個(gè)圓兩兩相交于圓心，則陰影部分的面積和為（）A．π B．π C．25+π D．15．（2022?西寧）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝2，則圖中陰影部分的面積是．16．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2cm，∠CBA＝30°，以A為圓心，AB為半徑作，以BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分面積等于cm2．17．（2021?荊門）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為．18.（2021?涼山州）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，則線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為．專項(xiàng)24與圓有關(guān)計(jì)算（三大考點(diǎn)+5種類型陰影面積）考點(diǎn)1：弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積考點(diǎn)2：圓錐的有關(guān)計(jì)算圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)（）考點(diǎn)3：陰影部分面積的計(jì)算類型一：直接法所求陰影部分為扇形、三角形或特殊四邊形時(shí),直接用面積公式進(jìn)行求解．類型二：直接和差法所求陰影部分面積可以看成扇形、三角形、特殊四邊形面積相加減．類型三：構(gòu)造和差法所求陰影部分面積需要添加輔助線構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形,然后進(jìn)行相加減．構(gòu)造圖形時(shí)一般先觀察陰影部分圖形:1．若陰影部分圖形有一部分是弧線,找出弧線所對(duì)應(yīng)的圓心,連接弧線端點(diǎn)與圓心構(gòu)造扇形;2．若陰影部分是由圖形旋轉(zhuǎn)構(gòu)成,旋轉(zhuǎn)中心即為圓心,分別將旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接,端點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接構(gòu)造扇形．類型四：等積轉(zhuǎn)化法利用等積轉(zhuǎn)化將所求陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求扇形、三角形、特殊四邊形的面積或它們面積的和差類型五：容斥原理法當(dāng)陰影部分是由幾個(gè)圖形疊加形成時(shí),求解陰影部分面積需先找出疊加前的幾個(gè)圖形,然后理清圖形之間的重疊關(guān)系．計(jì)算方法為:陰影部分面積＝疊加前的幾個(gè)圖形面積之和－(多加部分面積＋空白部分面積)．如圖,陰影部分是扇形CAE和扇形CBD的重疊部分,則S陰影＝S扇形CAE＋S扇形CBD－S△ABC．【考點(diǎn)1弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算】【典例1】（2022?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長(zhǎng)為（）A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【解答】解：∵直徑AB＝6，∴半徑OB＝3，∵圓周角∠A＝30°，∴圓心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的長(zhǎng)是＝π，故選：D．【變式1-1】（2022?大名縣三模）已知一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【答案】C【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式l＝，得到：l＝＝4π，故選：C．【變式1-2】（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，的長(zhǎng)是（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，∴，∴的長(zhǎng)度l＝＝π．故選：B．【變式1-3】（2022?河北）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長(zhǎng)是（）A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm【答案】A【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于點(diǎn)O，如圖，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝140°，∴優(yōu)弧AMB對(duì)應(yīng)的圓心角為360°﹣140°＝220°，∴優(yōu)弧AMB的長(zhǎng)是：＝11π（cm），故選：A．【考點(diǎn)2圓錐的有關(guān)計(jì)算】【典例2】（2022?牡丹江）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)是：2π×1＝2π，設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則＝2π，解得：n＝120．故選：C【變式2-1】（2022?南丹縣二模）如圖，圓錐體的高，底面圓半徑r＝1cm，則該圓錐體的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的母線長(zhǎng)為＝3，設(shè)該圓錐體的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為n°，所以2π×1＝，解得n＝120，即該圓錐體的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是120°．故選：C．【變式2-2】（2022春?張灣區(qū)校級(jí)月考）如圖，小明用圖中的扇形紙片作一個(gè)圓錐的側(cè)面，已知扇形的圓心角為216°，面積是15πcm2，那么這個(gè)圓錐的底面半徑是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：設(shè)扇形的半徑為Rcm，根據(jù)題意得：＝15π，解得：R＝5，則扇形的弧長(zhǎng)＝＝6π（cm），設(shè)圓錐的底面半徑為rcm，則6π＝2πr；∴r＝3．故選：B．【典例3】（2022?濟(jì)寧）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【解答】解：∵底面圓的直徑為6cm，∴底面圓的半徑為3cm，∴圓錐的側(cè)面積＝×8×2π×3＝24πcm2．故選：D．【變式3-1】（2022?柳州）如圖，圓錐底面圓的半徑AB＝4，母線長(zhǎng)AC＝12，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（）A．16π B．24π C．48π D．96π【答案】C【解答】解：弧AA′的長(zhǎng)，就是圓錐的底面周長(zhǎng)，即2π×4＝8π，所以扇形的面積為×8π×12＝48π，即圓錐的側(cè)面積為48π，故選：C．【變式3-2】（2022?大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開圖的面積是（）A．60π B．65π C．90π D．120π【答案】B【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖扇形的半徑為：＝13，其弧長(zhǎng)為：2×π×5＝10π，∴圓錐側(cè)面展開圖的面積為：＝65π．故選：B．【考點(diǎn)3直接和差法】【典例3】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAE的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC＝，∴cos∠CBE＝＝，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE＝＝，故選：C．【變式3-1】（2022?長(zhǎng)春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（）A．4π B．π C．8π D．16π【答案】C【解答】解：S陰影＝﹣＝8π．故選：C．【變式3-2】（2022?鞏義市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（）A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π【答案】D【解答】解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，∴AD＝＝8，∴S陰影部分＝×12×8﹣π×52＝48﹣．故選：D．【典例4】（2022?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【答案】π【解答】解：∵以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB＝＝，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴陰影部分的面積：S＝＝π，故答案為：π．【變式4-1】（2021?德州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，則陰影部分的面積為（）A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，∵AB＝2，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，∴BE＝AE＝2，∴陰影部分的面積S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝2×4﹣××2﹣＝6﹣．故選：A．【考點(diǎn)4：構(gòu)造和差法】【典例5】（2022?銅仁市）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】A【解答】解：設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面積＝弓形CE的面積，∴，故選：A．【變式5-1】（2022?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2【答案】C【解答】解：連接OE，OC，BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝2，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，故選：C．【變式5-2】（2022?貴港）如圖，在?ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB＝3，則圖中陰影部分的面積是．【答案】5﹣π【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD＝AB，∠BAD＝45°，AB＝3，∴AD＝×3＝2，∴DF＝ADsin45°＝2×＝2，∵AE＝AD＝2，∴EB＝AB?AE＝，∴S陰影＝S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC＝3×2﹣﹣××2＝5﹣π，故答案為：5﹣π．【考點(diǎn)5：等積轉(zhuǎn)化法】【典例6】（2020?畢節(jié)市）如圖，已知點(diǎn)C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，弧CD的長(zhǎng)為π，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．π C．π D．π+【答案】A【解答】解：連接CD、OC、OD．∵C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等邊三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的長(zhǎng)為，∴＝，解得：r＝1，∴S陰影＝S扇形OCD＝＝．故選：A．【變式6-1】（2022?黔西南州）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH＝90°．則圖中陰影部分面積是．【答案】2π﹣4【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC＝S四邊形ABCD＝4，∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四邊形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝2，∴S陰＝S扇形OFH﹣S四邊形OECG＝﹣4＝2π﹣4，故答案為：2π﹣4．【變式6-2】（2022?長(zhǎng)春一模）如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若半圓的半徑OA的長(zhǎng)為3，陰影部分的面積是．【答案】π【解答】解：連接OC、OD、CD．∵點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠OCD＝∠AOC，∴CD∥AB，∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∴陰影部分的面積＝S扇形COD＝＝π．故答案為：π．【考點(diǎn)6：容斥原理法】【典例7】（南寧）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB＝2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解答】解：過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，∴△ABC的面積為＝，S扇形BAC＝＝π，∴萊洛三角形的面積S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，故選：D．【變式7-1】（2019?臨沂）如圖，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，則陰影部分的面積是（）A．2+π B．2++π C．4+π D．2+π【答案】A【解答】解：作OD⊥BC，則BD＝CD，連接OB，OC，∴OD是BC的垂直平分線，∵＝，∴AB＝AC，∴A在BC的垂直平分線上，∴A、O、D共線，∵∠ACB＝75°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC?AD＝2+，S△BOC＝BC?OD＝，∴S陰影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故選：A．【變式7-2】（2022?河南）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為．【答案】+【解答】解：如圖，設(shè)O′A′交于點(diǎn)T，連接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S陰＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣×1×）＝+．故答案為：+．1．（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（）A．π B．π C．π D．2π【答案】B【解答】解：連接CD，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4，由題意得：AC＝CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴的長(zhǎng)為：，故選：B．2．（2022?甘肅）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路（）的長(zhǎng)度為（）A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm【答案】C【解答】解：∵半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，∴這段彎路（）的長(zhǎng)度為：＝40π（m），故選：C．3．（2022?官渡區(qū)二模）在數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題活動(dòng)課上，芳芳用半徑15cm，圓心角120°的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形的生日帽，如圖所示．在不考慮接縫的情況下，這個(gè)圓錐形生日帽的底面圓半徑是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：半徑為15cm、圓心角為120°的扇形弧長(zhǎng)是：＝10πcm，設(shè)圓錐的底面半徑是rcm，則2πr＝10π，解得：r＝5．故選：C．4．（2022?周村區(qū)一模）如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個(gè)扇形，用剩下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），這個(gè)圓錐的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【答案】B【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr＝解得r＝9，所以圓錐的高＝＝12（cm）．故選：B．5．（2022?文山市模擬）如圖，已知由扇形AOB圍成的圓錐的底面周長(zhǎng)為，若∠AOB＝80°，則扇形AOB的面積為（）A． B．2π C．4π D．8π【答案】D【解答】解：∵扇形AOB圍成的圓錐的底面周長(zhǎng)為，∴扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)扇形的半徑為R，則＝，解得：R＝6，所以扇形的面積為××6＝8π，故選：D．6．（2022?禹城市模擬）如圖，斗笠是一種遮擋陽光和蔽雨的編結(jié)帽，它可近似看成一個(gè)圓錐，已知該斗笠的側(cè)面積為550πcm2，AB是斗笠的母線，長(zhǎng)為25cm，AO為斗笠的高，BC為斗笠末端各點(diǎn)所在圓的直徑，則OC的值為（）cm．A．22 B．23 C．24 D．25【答案】A【解答】解：∵側(cè)面積為550πcm2，母線長(zhǎng)為25cm，∴l(xiāng)×25＝550π，解得l＝44π，∵2πr＝44π，∴OB＝OC＝r＝22，故選：A．7．（2022?蘭州）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為（）A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2【答案】D【解答】解：S陰＝S扇形DOA﹣S扇形BOC＝﹣＝2.25πm2．故選：D．8.（2020?攀枝花）如圖，直徑AB＝6的半圓，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C．π D．3π【答案】D【解答】解：∵半圓AB，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，∴S陰影＝S半圓A′B+S扇形ABA′﹣S半圓AB＝S扇形ABA′＝＝3π，故選：D．9．（2022春?大同期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，先以正方形的對(duì)角線AC為直徑畫圓，再以正方形的各邊長(zhǎng)為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．8π C．16π D．8【答案】A【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AC＝4，∴圖中陰影部分的面積＝S正方形ABCD+4×以正方形的各邊長(zhǎng)為直徑的半圓的面積﹣以正方形的對(duì)角線AC為直徑圓的面積＝4×4+4××22π﹣（2）2π＝16，故選：A．10．（2022?涼山州）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（）A．米2 B．米2 C．米2 D．米2【答案】C【解答】解：連結(jié)BC，AO，如圖所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直徑，∵⊙O的直徑為1米，∴AO＝BO＝（米），∴AB＝＝（米），∴扇形部件的面積＝π×（）2＝（米2），故選：C．11．（2021?青海）如圖，一根5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動(dòng)）那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【答案】B【解答】解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5，所以面積＝＝π（m2）；小扇形的圓心角是180°﹣120°＝60°，半徑是1m，則面積＝＝（m2），則小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積＝π+＝π（m2）．故選：B．12．（2020?資陽）如圖，△ABC中，∠C＝90o