專題04勾股定理與幾何圖形的三種考法全攻略(原卷版+解析)

專題04勾股定理與幾何圖形的三種考法全攻略類型一、折疊問題例1．如圖，將等邊折疊，使得點C落在邊上的點D處，是折痕，若，，則的長是（）A．2 B．4 C． D．例2.如圖，在長方形中，，點為邊上的一個動點，把沿折疊，若點的對應(yīng)點剛好落在邊的垂直平分線上，則的長為____________．【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，過點A分別作軸于點B，軸于點C，點D在射線上．將沿直線翻折，使點A恰好落在坐標(biāo)軸上，則點D的坐標(biāo)為____________．【變式訓(xùn)練2】如圖，在中，，點、是邊上的點，點在邊上，連接、，將分別沿直線和折疊，使點、的對稱點重合在邊上的點處．若，，則的長是______．【變式訓(xùn)練3】如圖，將長方形沿著折疊，使得點D恰好落在邊上的處，若，，則的面積為_____．【變式訓(xùn)練4】如圖，紙片中，，，，，點D在邊BC上，以AD為折痕折疊得到，與邊BC交于點E，若為直角三角形，則BD的長是______．【變式訓(xùn)練5】如圖，矩形中，，，點為上一個動點，把沿折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點落在的角平分線上時，的長為______．類型二、勾股弦圖例.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，連接，交于點，如圖所示，若正方形的面積為，，則的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7【變式訓(xùn)練1】閱讀材料：通過整式乘法的學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以對平方差公式給予解釋．圖乙中的是一個直角三角形，，人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊，b，c滿足的關(guān)系，我國漢代“趙爽弦圖”（如圖丙）就巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系．請回答：下列幾何圖形中，可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖有______（直接填寫圖序號）．【變式訓(xùn)練2】我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元年公元年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理如圖2所示的長方形是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，則長方形的面積為______．【變式訓(xùn)練3】如圖，、、、為四個全等的直角三角形，與、、分別交于點、、，且滿足，則兩個陰影部分的面積和與四邊形面積的比值為___________．【變式訓(xùn)練4】如圖，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)，，，取，．(1)填空：正方形的面積為____________，四個直角三角形的面積和為_____________．(2)求的值．類型三、網(wǎng)格問題例．如圖，的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則邊上的高為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，B為格點在如圖所示的網(wǎng)格中求作一點C，使得且的面積等于，則此時的長為______．【變式訓(xùn)練4】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，M，F(xiàn)均在格點上，且與交于點E．(1)與全等嗎？________（填“全等”或“不全等”）；理由是________；(2)與是否垂直？________（填“是”或“否”）；(3)求的長．專題04勾股定理與幾何圖形的三種考法全攻略類型一、折疊問題例1．如圖，將等邊折疊，使得點C落在邊上的點D處，是折痕，若，，則的長是（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：∵將等邊折疊，使得點C落在邊上的點D處，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故選：D．例2.如圖，在長方形中，，點為邊上的一個動點，把沿折疊，若點的對應(yīng)點剛好落在邊的垂直平分線上，則的長為____________．【答案】【詳解】解：∵四邊形為矩形，，是邊的垂直平分線，∴，，，∴四邊形為矩形，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，，∴在中，，∴，設(shè)，則，∴在中，可有，即，解得，∴的長為．故答案為：．【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，過點A分別作軸于點B，軸于點C，點D在射線上．將沿直線翻折，使點A恰好落在坐標(biāo)軸上，則點D的坐標(biāo)為____________．【答案】或或【詳解】解：①如圖，設(shè)翻折之后的A落點點E，作．設(shè)，由題意可得，，，∵與關(guān)于直線對稱，∴，，在Rt中，，∴．在Rt中，，∴，即，解得，∴點D的坐標(biāo)是．②如圖2：翻折之后A點落在y軸上時，即圖中點E，，這時，，可求出D點坐標(biāo)為；③如圖3，當(dāng)翻折之后A點落在x軸負(fù)半軸時，，在Rt中，，則，Rt中，設(shè)，利用勾股定理得到，解得D點坐標(biāo)為故：D的坐標(biāo)為或或．【變式訓(xùn)練2】如圖，在中，，點、是邊上的點，點在邊上，連接、，將分別沿直線和折疊，使點、的對稱點重合在邊上的點處．若，，則的長是______．【答案】【詳解】解：，.

由翻折可知：

，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：

解得，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】如圖，將長方形沿著折疊，使得點D恰好落在邊上的處，若，，則的面積為_____．【答案】45【詳解】解：過點E作，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理可得，，解得：，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：解得，，∴-故答案為：45．【變式訓(xùn)練4】如圖，紙片中，，，，，點D在邊BC上，以AD為折痕折疊得到，與邊BC交于點E，若為直角三角形，則BD的長是______．【答案】或【詳解】解：∵紙片中，，，∴，∵以為折痕，折疊得到，∴，，．當(dāng)時，如圖1所示，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時，如圖2所示，C與點E重合，∵，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，綜上所述，的長為或，故答案為：或．【變式訓(xùn)練5】如圖，矩形中，，，點為上一個動點，把沿折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點落在的角平分線上時，的長為______．【答案】或【詳解】解：如圖，連接，過作，交于點，于點，作交于點點的對應(yīng)點落在的角平分線上，，設(shè)，則，，又折疊圖形可得，，解得或，即或．在中，設(shè)，當(dāng)時，，，，，解得，即，當(dāng)時，，，，，解得，即．故答案為：或．類型二、勾股弦圖例.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，連接，交于點，如圖所示，若正方形的面積為，，則的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7【答案】B【詳解】∵正方形的面積為，∴，設(shè)，∵，∴，中，由勾股定理得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，則的值是；故選：B．【變式訓(xùn)練1】閱讀材料：通過整式乘法的學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以對平方差公式給予解釋．圖乙中的是一個直角三角形，，人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊，b，c滿足的關(guān)系，我國漢代“趙爽弦圖”（如圖丙）就巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系．請回答：下列幾何圖形中，可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖有______（直接填寫圖序號）．【答案】③④【詳解】解：①長方形的面積：，②，③，整理，得，④，整理，得，故答案為：③④．【變式訓(xùn)練2】我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元年公元年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理如圖2所示的長方形是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，則長方形的面積為______．【答案】【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為x，∵，∴，在中，，即，整理得，，即，而長方形面積為，即該長方形的面積為，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】如圖，、、、為四個全等的直角三角形，與、、分別交于點、、，且滿足，則兩個陰影部分的面積和與四邊形面積的比值為___________．【答案】【詳解】解：∵、、、為四個全等的直角三角形，∴，，四邊形是正方形，，，又，∴，又，∴，∴，設(shè)，，則，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，即，∴或（不符合題意，舍去），∴，，∴兩個陰影部分的面積和與四邊形面積的比值為．故答案為：．【變式訓(xùn)練4】如圖，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)，，，取，．(1)填空：正方形的面積為____________，四個直角三角形的面積和為_____________．(2)求的值．【答案】(1)16；384(2)28【詳解】（1）解：設(shè)，，，取，．正方形面積為：，正方形面積為：，根據(jù)圖形可知：四個直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，即：，故答案為：16；384；（2）解：在（1）中，有：四個直角三角形的面積和又∵，，，∴，整理，可得：，由（1）可知四個直角三角形的面積和為384，∴，解得，∵，∴．∴（負(fù)值舍去），即值為28．類型三、網(wǎng)格問題例．如圖，的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，又∵，∴邊長的高為：，故B正確．故選：B．【變式訓(xùn)練1】如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，連接、，，，設(shè)C點到的距離為h，∵，∴．故選：D．【變式訓(xùn)練2】如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：延長到點，使得，連接，如下圖：由勾股定理得：，，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，故選：B．【變式訓(xùn)練3】如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，B為格點在如圖所示的網(wǎng)格中求作一點C，使得且的面積等于，則此時的長為______．【答案】【詳解】∵，∴∵的面積等于，∴點C所在的位置如圖所示，∴，故答案為：【變式訓(xùn)練4】如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A