專題36和反比例函數(shù)有關(guān)的最值問題（原卷版）

專題36和反比例函數(shù)有關(guān)的最值問題1．（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，雙曲線y＝上有一動點A，連接OA，以O(shè)為頂點、OA為直角邊，構(gòu)造等腰直角三角形，則三角形面積的最小值為（

）A． B． C．1 D．2．（2021春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）對于反比例函數(shù)，如果當(dāng)≤≤時有最大值，則當(dāng)≥8時，有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值= D．最小值=3．（2022春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）反比例函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值之差為4，則______．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，點A（a，2）、B（﹣2，b）都在雙曲線y=上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當(dāng)四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ所在直線的解析式是y=x+，則k=__．5．（2022春·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B兩點，點C在x軸上運動，連接AC，點Q為AC中點，若點C運動過程中，的最小值為2，則_______________．6．（2021春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖像如圖所示，有以下結(jié)論：①當(dāng)時，都隨x的增大而增大；②當(dāng)時，；③的圖像的兩個交點之間的距離是2；④函數(shù)的最小值為2；則所有正確的結(jié)論是_________．三、解答題7．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）（1）【閱讀理解】對于任意正實數(shù)、．∵，∴，∴，只有當(dāng)時，．結(jié)論：在均為正實數(shù)中，若為定值，則只有當(dāng)時，有最小值，根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：問題：若，當(dāng)______時，有最小值為______．問題：若函數(shù)，則當(dāng)______時，函數(shù)有最小值為______．（2）【探索應(yīng)用】如圖，已知、，為雙曲線上的任意一點，過點作軸于點，軸于點，求四邊形面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．8．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）閱讀下列材料，回答問題：對任意的實數(shù)a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知當(dāng)a＝b時，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，則（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[類比論證]對于任意正實數(shù)a、b，∵≥0，∴a+b______2（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）[結(jié)論應(yīng)用]若a＞0，則當(dāng)a＝_____時，代數(shù)式a+有最小值為_____[問題解決]①某汽車零件生產(chǎn)公司為提高工作效率，購進了一批自動化生產(chǎn)設(shè)備，已知每臺設(shè)備每天的運營成本包含以下三個部分：一是固定費用，共3600元；二是材料損耗費，每個零件損耗約為5元（元），三是設(shè)備折舊費（元），它與生產(chǎn)的零件個數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為0.0001x2，設(shè)該設(shè)備每天生產(chǎn)汽車零件x個．當(dāng)x為多少時，該設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運營成本最低？最低是多少元？②如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣4與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，點M為反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的任意一點，過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D．則四邊形ABCD面積的最小值為____．9．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：_________，_________，_________（2）由（1）中各式猜想：對于任意正實數(shù)a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：若a＞0，則當(dāng)a＝_________時，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值為_________；（4）問題解決：如圖，已知點A在反比例函數(shù)的圖像上，點B在反比例函數(shù)的圖像上，且AB∥x軸，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C．四邊形ABCD的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并寫出此時點A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由10．（2022春·江蘇泰州·八年級校考期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝﹣x+2及雙曲線y＝（k＞0，x＞0）．直線交y軸于A點，x軸于B點，C、D為雙曲線上的兩點，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+m（m＞0）．(1)如圖①連接AC、DB、CD，當(dāng)四邊形CABD為平行四邊形且a＝2時，求k的值．(2)如圖②過C、D兩點分別作軸交直線AB于C'，D'，當(dāng)CDAB時，①對于確定的k值，求證：a（a+m）的值也為定值．②若k＝6，且滿足m＝a﹣4+，求d的最大值．11．（2022春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)反比例函數(shù)后，小華在同一個平面直角坐標(biāo)系中畫出了（x＞0）和y＝﹣x+10的圖象，兩個函數(shù)圖象交于A（1，9），B（9，1）兩點，在線段AB上選取一點P，過點P作y軸的平行線交反比例函數(shù)圖象于點Q（如圖1）．在點P移動的過程中，發(fā)現(xiàn)PQ的長度隨著點P的運動而變化．為了進一步研究PQ的長度與點P的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，小華提出了下列問題：(1)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，PQ的長度為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（1＜x＜9）；(2)為了進一步研究（1）中的函數(shù)關(guān)系，決定運用列表，描點，連線的方法繪制函數(shù)的圖象：①列表：x123469y0m4n0表中m＝，n＝；②描點：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在圖2中描出各點．③連線：請在圖2中畫出該函數(shù)的圖象．觀察函數(shù)圖象，當(dāng)x＝時，y的最大值為．(3)應(yīng)用：①已知某矩形的一組鄰邊長分別為m，n，且該矩形的周長W與n存在函數(shù)關(guān)系，求m取最大值時矩形的對角線長．②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，點M為反比例函數(shù)（x＞0）上的任意一點，過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值．12．（2022春·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．(1)【理解】如圖①，，垂足分別為是的中點，連接，已知，（）．①已知可以用表示，請用含的代數(shù)式表示CE的長；②比較大小：（填“”“”或“”），并用①中的結(jié)論證明該大小關(guān)系．(2)【應(yīng)用】如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點在反比例函數(shù)（）的圖像上，橫坐標(biāo)分別為．設(shè)，，記．①當(dāng)時，，當(dāng)時，；②通過歸納猜想，可得的最小值是．請利用圖②構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．13．（2021春·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點為原點，點的坐標(biāo)為，正方形的頂點在軸的負半軸上，點在第二象限．現(xiàn)將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形．(1)如圖2，若，求直線的函數(shù)表達式．(2)若，當(dāng)取得最小值時，求過正方形的頂點的反比例函數(shù)解析式．14．（2021春·江蘇宿遷·八年級?？计谥校鹃喿x理解】對于任意正實數(shù)a、b，∵，∴，∴，只有當(dāng)時，等號成立．【數(shù)學(xué)認識】在（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值k，則，只有當(dāng)時，有最小值(1)【解決問題】若時，有最小值為___________，此時x＝___________(2)如圖，已知點A在反比例函數(shù)的圖像上，點B在反比例函數(shù)的圖像上，軸，過點A作AD上y軸于點D，過點B作BC上y軸于點C，求四邊形ABCD周長的最小值．15．（2021春·江蘇連云港·八年級連云港市新海實驗中學(xué)?？计谀閱讀理解]對于任意正實數(shù)a、b．,只有當(dāng)a=b時，等號成立．[數(shù)學(xué)認