27.2相似三角形的判定與性質(zhì)（講練）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重要考點（人教版）（原卷版）

27.2相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.注意：

(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點是B′，點C的對應(yīng)點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩個三角形全等.題型1：相似三角形1.1．如圖，已知△ABC，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是()A． B．C． D．【變式11】下列說法正確的是（）A．有一個角等于100°的兩個等腰三角形相似B．兩個矩形一定相似C．有一個角等于45°的兩個等腰三角形相似D．相似三角形一定不是全等三角形【變式12】已知圖（1）、（2）中各有兩個三角形，其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖（2）中AB、CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（）A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．注意：若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．題型2：平行線分線段成比例2.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)．若ABBC=43A．43 B．34 C．37 【變式21】如圖，l1∥l2∥l3，則下列等式不成立的是（）A．ADDF=BCCE B．AGAF=BGBE【變式22】如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則BEEGA．12 B．13 C．23 【變式23】如圖，已知點E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且EF∥BC，點D是BC邊上的點，AD與EF交于點H，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AEAB=AHAD B．AEAB=EHHF相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.題型3：相似三角形的判定定理13.如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，下列條件不能使△ADE∽△ABC相似的是（）

A．DE∥BC B．AD︰AB=DE︰BCC．AD︰DB=AE︰EC D．∠BDE+∠DBC=180°【變式31】如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.證明：△ADE∽△EFC．

【變式32】如圖，平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，DE=12CD．求證：△ABF∽△CEB相似三角形的判定定理（二）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.題型4：相似三角形的判定定理24.依據(jù)下列各組條件，說明△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．（1）AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm．（2）AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12.8cm，A′C′＝25.6cm．【變式41】如圖，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，AD＝4，DC＝2．求證：△ABC∽△ACD．【變式42】一個三角形三邊的長分別為6cm，9cm，7.5cm，另一個三角形三邊的長分別為8cm，10cm，12cm，這兩個三角形相似嗎？為什么？相似三角形的判定定理（三）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.注意：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.題型5：相似三角形的判定定理35.如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，且AD＝1，AB＝3，．求證：△ACD∽△ABC．【變式51】已知：如圖，AD，BC交于點O，AO?DO＝CO?BO，求證：△ABO∽△CDO．【變式52】如圖，AB?AE＝AD?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△ADE．相似三角形的判定定理（四）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.注意：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.題型6：相似三角形的判定定理46.如圖，在△PAB中，點C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC與△BPD相似嗎？為什么？【變式61】如圖，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△ADE．【變式62】如圖，O是△ABC的三條角平分線的交點，過點O作AO的垂線交AB于點D，求證：△OBD∽△CBO．【變式63】如圖，⊙O中的弦AB，CD相交于點E，求證：△AED∽△CEB．題型7：直角三角形相似的判定方法7.已知：如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上高，找出圖中的相似三角形．并說明理由．【變式71】如圖，在等腰△ABC中，AD是頂角∠BAC的角平分線，BE是腰AC邊上的高，垂足為點E．求證：△ACD∽△BCE．【變式72】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一點，已知CD＝1，AD＝，AB＝2．求證：Rt△ADC∽Rt△BAC．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2.相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.相似三角形的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比等于相似比.3.相似三角形周長的比等于相似比4.相似三角形面積的比等于相似比的平方題型8：相似三角形的性質(zhì)8.如圖，已知△ACE∽△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18．求AE和DE的長．【變式81】已知△ABC的三邊長分別為6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最長邊長30，求△A′B′C′的另兩條邊的長、周長及最大角的大小．【變式82】如圖，已知△ADE∽△AFG∽△ABC，且△ABC的面積被線段DE、FG三等分，其中BC＝12cm，求線段DE和FG的長度．題型9：相似三角形的性質(zhì)與判定9.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【變式91】如圖，E為AB上一點，∠A＝∠CED＝∠B，連接CD．（1）求證：△CAE∽△EBD；（2）若CE平分∠ACD，CD＝6，BD＝3，求ED的長．【變式92】如圖，已知，在銳角△ABC中，BD和CE分別是邊AC、AB上的高．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)AF，求證：AF?BE＝BC?EF．【變式93】如圖，等邊三角形△ACB的邊長為3，點P為BC上的一點，點D為AC上的一點，連接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求證：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的長．題型10：相似三角形的應(yīng)用10.《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的辦法，如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀測井水水岸D，視線BD與井口的直徑CA交于點E，若測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，則水面以上深度CD為（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【變式101】小軍想出了一個測量建筑物高度的方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．【變式102】如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.9米，小愛站在F處，其中眼睛E，標(biāo)桿頂A，樹頂C在同一條直線上（人，標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點F，B，D在同一條直線上）．已知BD＝6米，F(xiàn)B＝2米，EF＝1.6米，求樹高CD．題型10：相似三角形的探究性/存在性問題11.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．現(xiàn)在有動點P從點B出發(fā)，沿線段BA向終點A運動，動點Q從點A出發(fā)，沿折線AC—CB向終點運動．如果點P的速度是1cm/s，點Q的速度是1cm/s．它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．（1）如圖1，Q在AC上，當(dāng)t為多少秒時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？（2）如圖2，Q在CB上，是否存著某時刻，使得以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【變式111】如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，點P由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點Q由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△BPQ的面積為cm2；（2）在點P，Q的運動中，是否存在時間t，使△BPQ為等腰三角形．若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．【變式112】如圖，在矩形ABCD中，AB＝10m，BC＝24m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向B點移動．設(shè)P、Q兩點移動的時間為t（0＜t＜13）秒．（1）t為多少時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ABC相似？（2）探究：在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．題型12：正方形網(wǎng)格中相似三角形的判定12.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格紙中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上．（1）求證：△ABC∽△DEF；（2）直接寫出△ABC和△DEF的周長比．【變式121】如圖，在7×4方格紙中，點A，B，C都在格點上（△ABC稱為格點三角形，即格點△ABC），用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中的線段AC上找一個點D，使CD＝AC；（2）在圖2中作一個格點△CEF，使△CEF與△ABC相似．【變式122】我們把頂點在正方形網(wǎng)格格點上的三角形叫做格點三角形．在7×4網(wǎng)格中，格點△ABC和格點△DEF如圖所示．（1）求證：△ABC∽△DEF；（2）求∠A+∠E的度數(shù)．題型13：相似三角形的綜合應(yīng)用13.如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點P在OC上，聯(lián)結(jié)BP，延長BP交CD于點Q，過點P作PE⊥BP分別交AD、BD于點E、F．（1）求證：△APE∽△DBQ；（2）求證：DE?CP＝CQ?DF．【變式131】如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點F、E在邊AC上，且DF∥BE，．（1）求證：DE∥BC；（2）如果＝，S△ABC＝12，求S△ADE的值．【變式132】已知在△ABC中，∠C＝90°，以AC上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AB于點D，交AC于點F．（1）求證：AB?AD＝AC?AF；（2）如果CD是⊙O的切線，D是切點，F(xiàn)是OC的中點，當(dāng)BC＝3時，求AB的長．一、單選題1．如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．AD

2．下列四組圖形中不一定相似的是。A．有一個角等于400B．有一個角為500C．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形D．有一個角是6003．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（）A． B．C． D．4．某塊面積為4000m2的多邊形草坪，在嘉興市政建設(shè)規(guī)劃設(shè)計圖紙上的面積為250cm2，這塊草坪某條邊的長度是40m，則它在設(shè)計圖紙上的長度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm5．如圖所示，△ABC是等邊三角形，若被一邊平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，則圖中陰影部分的面積是△ABC面積的()A．19 B．29 C．13 6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm．則BC等于()

A．10cm B．16cm C．12cm 二、填空題7．如圖，△ABC中，DE∥BC，DEBC=23，△ADE的面積為8，則△ABC8．如圖所示，線段AB與CD都是⊙O中的弦，其中弧AB=108°，AB=a，弧CD=36°，CD=b，則⊙O的半徑R=9．如圖，某一時刻一根2米長的竹竿EF影長GE為1.2米，此時，小紅測得一棵被風(fēng)吹斜的楊樹與地面成30o角，樹頂端B在地面上的影子點D與B到垂直地面的落點C的距離是3.6米，則樹長AB等于米。三、計算題10．已知：如圖，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的長．四、解答題11．如圖，AB//CD//EF，AF與BE相交于點G，且AG=2，GD=1，DF=512．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AD＝3，BD＝6，求CD的長．∴CD＝18=3213．如圖，為了測量水平地面上一棵直立大樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣