22.4-22.5梯形等腰梯形

22.422.5梯形等腰梯形一、梯形的概念一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形.在梯形中，平行的兩邊叫做梯形的底，較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高，一腰和底的夾角叫做底角.要點(diǎn)：（1）定義需要滿足三個(gè)條件：①四邊形；②一組對(duì)邊平行；③另一組對(duì)邊不平行.（2）有一組對(duì)邊平行的四邊形有可能是平行四邊形或梯形，關(guān)鍵在于另一組對(duì)邊的位置或者數(shù)量關(guān)系的不同.梯形只有一組對(duì)邊平行，而平行四邊形兩組對(duì)邊都平行；平行四邊形中平行的邊必相等，梯形中平行的一組對(duì)邊必不相等.（3）在識(shí)別梯形的兩底時(shí)，不能僅由兩底所處的位置決定，而是由兩底的長(zhǎng)度來(lái)決定梯形的上、下底.二、等腰梯形的定義及性質(zhì)1.定義：兩腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性質(zhì)：（1）等腰梯形同一個(gè)底上的兩個(gè)內(nèi)角相等.（2）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等.要點(diǎn)：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性質(zhì).（2）由等腰梯形的定義可知：等腰相等，兩底平行.（3）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，這是等腰梯形的重要性質(zhì)，不僅是“下底角”相等，兩個(gè)“上底角”也是相等的.三、等腰梯形的判定1.用定義判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底邊上兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形.（2）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.四、輔助線梯形問(wèn)題常常是通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形及三角形問(wèn)題加以研究，一些常用的輔助線做法是：方法作法圖形目的平移平移一腰過(guò)一頂點(diǎn)作一腰的平行線分解成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形過(guò)一腰中點(diǎn)作另一腰的平行線構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形和一對(duì)全等的三角形平移對(duì)角線過(guò)一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線構(gòu)造出平行四邊形和一個(gè)面積與梯形相等的三角形作高過(guò)一底邊的端點(diǎn)作另一底邊的垂線構(gòu)造出一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形；特別對(duì)于等腰梯形，兩個(gè)直角三角形全等延長(zhǎng)延長(zhǎng)兩腰延長(zhǎng)梯形的兩腰使其交于一點(diǎn)構(gòu)成兩個(gè)形狀相同的三角形延長(zhǎng)頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的連線連接一頂點(diǎn)和一腰的中點(diǎn)并延長(zhǎng)與底邊相交構(gòu)造一對(duì)全等的三角形，將梯形作等積變換題型1：梯形的概念與性質(zhì)1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形B．有兩個(gè)角是直角的四邊形是直角梯形C．只有相鄰的兩個(gè)角是直角的四邊形是直角梯形D．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是等腰梯形【答案】C【分析】根據(jù)梯形，直角梯形，等腰梯形的判定定理依次分析即可.【解析】解：A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.只有相鄰的兩個(gè)角是直角的四邊形是直角梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.只有相鄰的兩個(gè)角是直角的四邊形是直角梯形，本選項(xiàng)正確；D.一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行，但相等的四邊形是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形，直角梯形，等腰梯形，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形，只有相鄰的兩個(gè)角是直角的四邊形是直角梯形，一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行，但相等的四邊形是等腰梯形.2．如圖，在梯形中，，，，那么下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】A、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出A不正確；B、通過(guò)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出∠ADB=90°，從而得出B正確；C、由梯形的性質(zhì)得出AB∥CD，結(jié)合角的計(jì)算即可得出∠ABC=60°，即C正確；D、由平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠DAC=∠CAB，即D正確．綜上即可得出結(jié)論．【解析】A、∵AD=DC，∴AC＜AD+DC=2CD，故A不正確；B、∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠BAD，在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠BAC=∠ABD，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，∵DC=CB，∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，∵∠ACB=90°，∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正確，C、∵AB∥CD，∴∠CDA=∠DBA，∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=∠DBA，C正確．D、∵△DAB≌△CBA，∴∠ADB=∠BCA．∵AC⊥BC，∴∠ADB=∠BCA=90°，∴DB⊥AD，D正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤．本題屬于中檔題，稍顯繁瑣，但好在該題為選擇題，只需由三角形的三邊關(guān)系得出A不正確即可．3．以線段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6為邊作梯形，其中a、c作為梯形的兩底，這樣的梯形能作（

）.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】D【分析】首先若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，易得四邊形ABED是平行四邊形，然后由三角形的三邊關(guān)系，可判定這樣的梯形不存在．【解析】如圖：若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE=AD=10，DE=AB=6，∴CE=BCBE=1610=6，∵CE+DE=12<CD，∴不能組成三角形，即以線段a=16，b=13，c=10，d=6為邊不能作梯形．故選D．故答案為D.【點(diǎn)睛】此題考查梯形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是利用三角形三邊關(guān)系判定是否能構(gòu)成三角形.題型2：等腰梯形的性質(zhì)與判定4．下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是（

）A．等腰梯形的兩底平行且相等B．等腰梯形的兩條對(duì)角線相等C．等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等D．等腰梯形是軸對(duì)稱圖形【答案】A【分析】本題考查對(duì)等腰梯形性質(zhì)的理解.等腰梯形的性質(zhì)如下:等腰梯形兩腰相等;等腰梯形兩底平行;等腰梯形的兩條對(duì)角線相等;等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等;等腰梯形是軸對(duì)稱圖形.【解析】由等腰梯形的性質(zhì)可知,等腰梯形的對(duì)角線相等,其在同一底上的兩個(gè)角相等,可知B、C不符合題意;同時(shí)等腰梯形關(guān)于兩底中點(diǎn)的連線成軸對(duì)稱,即可得到D不符合題意,而等腰梯形兩底平行但不相等,因此A符合題意.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對(duì)性質(zhì)的掌握.5．下列命題中，假命題有（

）①有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；②一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是等腰梯形；③一組對(duì)角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形；④等腰梯形是軸對(duì)稱圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等腰梯形的判定方法對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對(duì)③④進(jìn)行判斷．【解析】解：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形，所以①錯(cuò)誤；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行且相等的四邊形是等腰梯形，所以②錯(cuò)誤；一組對(duì)角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形，所以③正確；等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，所以④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．6．下列命題中，是真命題的是（

）A．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形B．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是等腰梯形C．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是等腰梯形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形，等腰梯形的判定，逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，故A是假命題，不符合題意；B．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形不一定是等腰梯形，故B是假命題，不符合題意；C．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，故C是真命題，符合題意；D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，故D是假命題，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形，等腰梯形的判定．題型3：利用等腰梯形的性質(zhì)、判定求長(zhǎng)度、角度、面積等7．如圖,等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，則梯形ABCD的面積是（

）.

A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面積．解：過(guò)D，C分別作高DE，CF，垂足分別為E，F(xiàn)∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6∴DC=EF=6，AE=BF=2∴DE=2∴梯形ABCD的面積=（6+10）×2÷2=16故選A．8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，則∠BAD的大小是A．40°. B．45°.C．50°. D．60°.【答案】C【解析】分析：由已知AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，可得出∠CDB=∠DBC=25°，所以能得出∠ABC=50°，由AD=CB得等腰梯形，從而求出∠BAD的大?。獯穑航猓骸逜B∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，又梯形ABCD中，AD=DC=CB，∴為等腰梯形，∴∠BAD=∠ABC=50°，故選C．9．等腰梯形的下底是上底的3倍，高與上底相等，這個(gè)梯形的腰與下底所夾角的度數(shù)為(

)．A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【解析】分別過(guò)A，B作高AE，BF∵CD=3AB∴DE=CF=AB∵AE=AB∴DE=AE∴∠D=45°，故選B.10．等腰梯形的兩底之差等于腰長(zhǎng)，則腰與下底的夾角為（）A．120° B．60° C．45° D．135°【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交AB于點(diǎn)E，則易得四邊形BCDE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)及已知條件，可得△ADE是等邊三角形，從而問(wèn)題解決．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交AB于點(diǎn)E．

∵AB//CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE=CB，CD=BE，∵AD=BC，∴DE=AD，又∵AD=ABCD，AE=ABBE，∴AD=AE，∴AD=AE=DE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠A=60°，∴腰與下底的夾角為60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，輔助線的作法，梯形中常作的輔助線：作底邊上的高，作腰的平行線等．11．如圖，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，則這個(gè)梯形的周長(zhǎng)是（

）A．16cm B．20cm C．24cm D．18cm【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，得出，推出，過(guò)作交于，推出四邊形是平行四邊形，得出，，，證是等邊三角形，求出即可．【解析】解：，，平分，，，，過(guò)作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，是等邊三角形，，這個(gè)梯形的周長(zhǎng)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．12．．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，則梯形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【解析】先判斷△AMB≌△DMC，從而得出AB=DC，然后代入數(shù)據(jù)即可求出梯形ABCD的周長(zhǎng)．解：∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵M(jìn)C=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC∴△AMB≌△DMC，∴AB=DC，四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=24．故選B．13．如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】過(guò)作交于，得出四邊形是平行四邊形，推出，，證出是等邊三角形，得到，即可求出答案．【解析】解：過(guò)作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，∵，是等邊三角形，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵．14．如圖，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，則梯形的周長(zhǎng)（

）cm．A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案．【解析】解：四邊形是等腰梯形，，，，平分，，，，，，，梯形的周長(zhǎng)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出和是解此題的關(guān)鍵．一、單選題1．一組對(duì)邊平行，且對(duì)角線相等的四邊形是(

)A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形或矩形【答案】D【分析】已知一組對(duì)邊平行，則對(duì)這組對(duì)邊是否相等進(jìn)行分類討論，分別判斷其形狀．【解析】解：分為兩種情況：①當(dāng)，且時(shí)，四邊形是矩形；②當(dāng)，且時(shí)，四邊形是等腰梯形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊四邊形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．2．在下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．等邊三角形； B．菱形； C．等腰梯形； D．直角三角形．【答案】B【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．【解析】解：A、等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B、菱形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、等腰梯形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D、直角三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長(zhǎng)方形等等．3．我們把梯形下底與上底的差叫做梯形的底差，梯形的高與中位線的比值叫做梯形的縱橫比．如果一個(gè)腰長(zhǎng)為的等腰梯形，底差等于，面積為，那么這個(gè)等腰梯形的縱橫比等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根據(jù)BCAD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的長(zhǎng)，利用梯形面積公式求出AD的長(zhǎng)，由此得到梯形中位線的長(zhǎng)，即可得到答案．【解析】解：如圖，由題意得：AB=CD=5，BCAD=6，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴BE=CF=3，∴，∵梯形面積，∴，∴BC=9，∴梯形的中位線=，∴這個(gè)等腰梯形的縱橫比=，故選：C．．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，梯形面積公式及中位線公式，正確理解題意確定各線之間的數(shù)量及關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．如果一個(gè)四邊形四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是1：2：2：3，那么這個(gè)四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】C【分析】先根據(jù)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比分別求出四個(gè)內(nèi)角，根據(jù)直角梯形的特點(diǎn)判定這個(gè)四邊形的形狀．【解析】解：設(shè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為x，2x，2x，3x，則2x+2x+x+3x=360°，解得x=45°．則2x=90°，3x=135°．∴這個(gè)四邊形的形狀是直角梯形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題用比的形式考查了多邊形內(nèi)角和的公式，同時(shí)考查了直角梯形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．5．下列命題中：①有兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形；

②順次聯(lián)結(jié)矩形的各邊中點(diǎn)所成四邊形是菱形；③兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形；

④對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形．其中真命題有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定逐個(gè)判斷即可．【解析】同一底邊上兩底角相等的梯形是等腰梯形，則命題①是假命題如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)連接AC、BD由中位線定理得：，四邊形EFGH是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形平行四邊形EFGH是菱形，則命題②是真命題由等腰梯形的判定定理可知，兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，則命題③是真命題由矩形的判定可知，對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，則命題④是真命題綜上，真命題的有②③④，共3個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定，熟記各判定方法是解題關(guān)鍵．6．下列命題中正確的有(

)①有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；②有兩條邊相等的梯形是等腰梯形；③兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形；④等腰梯形上、下底中點(diǎn)連線，把梯形分成面積相等的兩部分.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】可以采用排除法對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行分析，從而確定最后答案．【解析】根據(jù)等腰梯形的判定與性質(zhì)可判斷：①錯(cuò)，應(yīng)該是同一底邊上兩角相等的梯形是等腰梯形.②錯(cuò)，兩腰相等的梯形是等腰梯形.③對(duì)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì).④對(duì)，等腰梯形是軸對(duì)稱圖形.所以正確的命題有兩個(gè).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的判定條件.7．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四邊形 D．等腰梯形或平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)，分析所給條件，選擇正確答案．【解析】解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故A不正確；B、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故B不正確；C、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故C不正確；D、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì)．考慮問(wèn)題時(shí)應(yīng)該全面考慮，不能漏掉任何一種情況，要求培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度．8．已知四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AC與BD相交于點(diǎn)O，那么下列條件中能判定四邊形ABCD是等腰梯形的是（）A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD【答案】D【解析】解：如圖，A、AC=BD=BC，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯(cuò)誤；B、AB=AD=CD，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯(cuò)誤；C、OB=OC，AB=CD，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯(cuò)誤；D、∵OB=OC，OA=OD，∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，在△AOB和△DOC中，OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，同理：∠OAB=∠ODC，∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴，∴四邊形ABCD是梯形，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形．故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰梯形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等.9．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB=60°，AB=AD=2cm，則梯形ABCD的周長(zhǎng)為()A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】解：∵等腰梯形ABCD中，AD//BC，AE//DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AE=CD，AD=CE．∵AB=CD，∴AB=AE．∵∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB=AE=BE=2cm．∵AD=AB=2cm，∴BC=BE+CE=4cm，∴梯形ABCD的周長(zhǎng)=AB+AD+CD+BC=2+2+2+4=10（cm）．故選C．10．等腰梯形的下底是上底的3倍，高與上底相等，這個(gè)梯形的腰與下底所夾角的度數(shù)為(

)．A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【解析】分別過(guò)A，B作高AE，BF∵CD=3AB∴DE=CF=AB∵AE=AB∴DE=AE∴∠D=45°，故選B.二、填空題11．如果某個(gè)等腰梯形的一個(gè)底角為60°，它的上、下底長(zhǎng)分別為3和5，那么這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是_____．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出AE的長(zhǎng)度，在Rt△ABE中可求出腰長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，由題意得，AD=3，BC=5，∴BE=（BC—AD）=1，∵∠B=60°，∴AB=2BE=2，故這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)度．12．如圖，等腰梯形中，，點(diǎn)M是腰的中點(diǎn)，且，則梯形的面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】用作輔助線的方法把梯形的上底移到下底上，從而梯形的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積來(lái)解決．【解析】解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴．∵，∴，∴，即，過(guò)作于于，則，∵，∴，∴∵，∴∴∴∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形和勾股定理，解直角三角形，需要用到梯形的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積．13．等腰梯形的一個(gè)銳角等于，腰長(zhǎng)為，下底為，則上底為_(kāi)______．【答案】/【分析】先畫(huà)出圖形，再過(guò)上底一個(gè)點(diǎn)作腰的平行線，將等腰梯形拆分成一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)平行四邊形，從而得解．【解析】根據(jù)題意作出如下等腰梯形，則有∠B=∠C=，，，ADBC，過(guò)點(diǎn)A作AECD交BC于E，∵AECD，∠B=∠C=∴∠B=∠AEB=，∴△ABE是等腰直角三角形，∴，∴．∵ADBC，AECD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴，即：上底為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．已知梯形，，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)角線______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于，在中，，則，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．等腰梯形的對(duì)角線互相垂直，兩底之和為16，那么這個(gè)梯形的面積是______．【答案】64【分析】對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積可以用BD2=BE2求出其面積．【解析】解∶延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是等腰梯形，且對(duì)角線互相垂直梯形兩底之和為16cm，∴AD+BC=16cm，AC⊥BD，AC=BD，∴∠BMC=90°，∵，，∴四邊形ACED是平行四邊形，∠BDE=∠BMC=90°，∴AC=DE，AD=CE，∴BE=AD+BC=20cm，∵∠BDE=∠BMC=90°，∴BD2+DE2=BE2=256，∴BD2=BE2=128，∴梯形的面積∶（cm2），故答案是∶64cm2．【點(diǎn)睛】考查了對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積計(jì)算，得出BD=DE是解題關(guān)鍵．16．若等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直，則一條對(duì)角線與底邊的夾角是________．【答案】【分析】在等腰梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明四邊形ADEC為平行四邊形，推出，利用等腰梯形對(duì)角線相等得出，進(jìn)而得出，利用，得出，從而得出是等腰直角三角形，可知．【解析】解：如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，其中，，過(guò)點(diǎn)D作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，∴四邊形ADEC為平行四邊形，∴，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即一條對(duì)角線與底邊的夾角是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記等腰梯形的對(duì)角線相等是解題的關(guān)鍵．17．在梯形ABCD中，ADBC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，則梯形ABCD的面積是________．【答案】20或8或16【分析】分三種情況進(jìn)行討論，先根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系求出下底，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解．【解析】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，∵AH是高，AH=4，∴DE=4，∵CD=5，∴，∵，∴，∵，∴HE=AD=3，如圖①梯形ABCD的面積=（3+1+3+3）×4÷2=20；如圖②梯形ABCD的面積=（3+1+33）×4÷2=8；如圖③梯形ABCD的面積=（3+3+31）×4÷2=16．故梯形ABCD的面積是20或8或16．故答案為：20或8或16．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形，關(guān)鍵是求出梯形的下底，注意分類思想的應(yīng)用．18．用長(zhǎng)為1cm、4cm、4cm、5cm的線段為邊作梯形，其中面積最小的那個(gè)梯形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和等于______cm．【答案】/【分析】先以梯形的底邊長(zhǎng)為依據(jù)進(jìn)行分類，再分類討論，舍去兩種情況，再分別由梯形常見(jiàn)的輔助線進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】根據(jù)題意作圖：過(guò)A作AEDC，則四邊形ADCE為平行四邊形．如果梯形的上下底分別為4cm和5cm，即AD＝4cm，BC＝5cm，則BE＝BC－AD＝1cm，AE＝DC，△ABE的三邊分別是1cm、1cm、4cm，但不可能構(gòu)成三角形，因此梯形的上、下底只可能是1cm和5cm或1cm和4cm．若AD＝1cm，BC＝5cm，則AB＝DC＝4cm，所以梯形ABCD為等腰梯形．由BE＝4cm，AE＝CD＝4cm，知△ABE為等邊三角形．因此梯形的高cm，梯形的面積為．若AD＝1cm，BC＝4cm，不妨設(shè)腰AB＝4cm，DC＝5cm，則BE＝BC－AD＝3cm，AE＝DC＝5cm，，所以△ABE是直角三角形，且AB⊥BC．所以梯形ABCD為直角梯形，面積為，于是面積最小的梯形是直角梯形（AD＝1cm，BC＝4cm），兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別是，，所以，對(duì)角線長(zhǎng)度之和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的定義及常見(jiàn)的輔助線，涉及平行四邊形、等邊三角形、直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，梯形的輔助線核心在于轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形，并借助二者相關(guān)定理解決問(wèn)題．三、解答題19．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分別為兩個(gè)底角的平分線．求證：四邊形BCDE是等腰梯形．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分線，利用等邊對(duì)等角，角平分線定義，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而B(niǎo)C＝CB，利用ASA可證△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性質(zhì)可證BE＝CD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AED＝∠ABC得到DE∥BC，于是得到結(jié)論．【解析】證明：如圖所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分線．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BE＝CD，∴AE＝AD，∴∠AED＝（180°﹣∠A），∵∠ABC＝（180°﹣∠A），∴∠AED＝∠ABC，∴DE∥BC，∴四邊形BCDE是等腰梯形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的判定，等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，點(diǎn)P、Q分別是AD、BC上的點(diǎn)，BQ＝2DP，設(shè)DP＝t厘米．(1)求梯形ABQP的面積；(2)求梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時(shí)t的值．【答案】(1)（10+2t）平方厘米(2)3【分析】（1）根據(jù)題意用t表示出AP、BQ，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)梯形的面積公式列出方程，解方程即可得到答案．(1)解：∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，設(shè)DP＝t厘米，∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；(2)解：當(dāng)梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時(shí)，梯形ABQP的面積等于梯形ABCD的面積的一半，則10+2t＝×（5+11）×4×，解得：t＝3，∴當(dāng)t＝3時(shí)，梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是梯形的面積計(jì)算，列代數(shù)式，一元一次方程的解法，掌握梯形的面積公式是解題的關(guān)鍵．21．已知：如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．求：(1)求∠A的度數(shù)；(2)當(dāng)AD＝4時(shí)，求梯形ABCD的面積．【答案】(1)60°(2)【分析】（1）首先根據(jù)，求出的度數(shù)是多少；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出的度數(shù)是多少即可．（2）首先判斷出是直角三角形，進(jìn)而利用三角形的面積公式和梯形的面積公式解答即可．【解析】（1）解：，，平分，．（2）解：，，，，，梯形的高，平分，．，，．【點(diǎn)睛】此題考查梯形的問(wèn)題，平行線的性質(zhì)、角平分線，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，求出的度數(shù)．22．如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結(jié)BF、CF、AC．(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形．(2)聯(lián)結(jié)BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝FB，從而得到AC＝BF，然后證得ACBF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形；（2）先證明△BDF是等邊三角形，再證明∠ABF＝90°，即可得到結(jié)論．（1）證明：連接BD．∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC．又∵DE⊥BC，EF＝DE，∴△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，∴ACBF，∴四邊形ABFC是平行四邊形；（2）∵BC垂直平分DF，∴BD＝BF，∠BED＝90°，∵BD＝DF，∴△BDF是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵ADBC，∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠ABF＝90°，∵四邊形ABFC是平行四邊形，∴四邊形ABFC是矩形【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的定義、等邊三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握平行四邊形的判定和矩形的定義是解題的關(guān)鍵．23．已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)BD，當(dāng)∠A＝60°時(shí)，求BD的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)∠D＝2∠B時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）過(guò)A作DE⊥AB，垂足為E，利用直角三角形的性質(zhì)得到AE，利用勾股定理求出DE2，再次利用勾股定理求出BD即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC，交AB于F，證明四邊形BCDF是平行四邊形，得到BF=CD，根據(jù)角的關(guān)