立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題專題講義高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題專題講義圖形與幾何是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，立體幾何是高中圖形與幾何中的主要組成部分，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要地位。學(xué)習(xí)立體幾何對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力以及空間想象能力的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用，高考中對(duì)立體幾何的考查分值穩(wěn)定，基本形成兩小題一大題的命題格局，題型一、空間位置關(guān)系的判定圖1例1.如圖1，在矩形中，，和交于點(diǎn)，將沿直線翻折，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）圖1A．存在，在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得B．存在，在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得C．存在，在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得平面D．存在，在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得平面解析:考慮把矩形特殊化，當(dāng)時(shí)，此時(shí)矩形為正方形，則，將沿直線翻折，若使得平面平面時(shí)，由，平面，,得，又，所以，故A正確；又，，且，所以，又，所以，故B正確；在矩形中，，，所以將沿直線翻折時(shí)，總有，取，當(dāng)將沿直線翻折到時(shí)，有即，且，則此時(shí)滿足平面，故C正確；若平面，又，則，所以在中，為斜邊，這與相矛盾，故D不正確，選D.方法點(diǎn)睛：對(duì)于翻折問題中的動(dòng)態(tài)，要注意始終在同一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)線關(guān)系“不變”；異面直線垂直要轉(zhuǎn)化到線面垂直去解決；要有利用特殊化研究探路的思維，例如把矩形特殊化為正方形，等腰三角形特殊化為等邊三角形等。圖2例2如圖2，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則下列結(jié)論中正確的有（）圖2A．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立B．當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C．二面角的最小值為D．三棱錐的體積為定值解析：對(duì)于A：因?yàn)?所以，因?yàn)槠矫妫?，同理可證，因?yàn)?所以，因?yàn)椋钥偝闪?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：平面即平面，而平面即平面，所以當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角大小不變，選項(xiàng)B不正確；圖3對(duì)于C：建立如圖3圖3則，，因?yàn)樵谏?，且，故可設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，取，則，平面的法向量為，所以，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值即取最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?點(diǎn)到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故選項(xiàng)D正確．故選ACD.方法點(diǎn)睛：對(duì)于動(dòng)態(tài)變化的問題，因關(guān)注變化中不變的量或位置關(guān)系；對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題，具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證。題型二、軌跡問題圖4例3如圖4，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡為()圖4A．圓B．橢圓C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分解析:建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系，圖5設(shè)，則圖5則，圖6，整理得，即所以點(diǎn)的軌跡是橢圓．圖6例4如圖6，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足,則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（）A． B．C． D．圖圖7解析：如圖7，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，，則，，，，則，．由,得，所以點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為一條線段，故選A方法點(diǎn)睛：立體幾何中點(diǎn)的軌跡問題是立體幾何與解析幾何的交匯題，主要考查如何將空間問題轉(zhuǎn)化為平面的軌跡問題，例3、例4考查代數(shù)方法（坐標(biāo)法）研究幾何軌跡的基本思想。圖8例5如圖8，在棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，長為的線段的一個(gè)端點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（）圖8A．B．C．D．圖9解析：如圖9，連接因?yàn)椋?，圖9且分別為的中點(diǎn)，故且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，，則，因?yàn)?所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故,所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為球心，半徑長為的球面，如圖所示：所以，線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體為球的，故所求幾何體的體積為，故選D.方法點(diǎn)睛：本題考查定義法求軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于球的定義解決。題型三、最值、范圍問題例6已知點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則直線與所成角的余弦值范圍是（）A． B． C． D．圖10解析：如圖10，由題意知：的軌跡是過中點(diǎn)且垂直于的平面與正方體表面的交線，由圖知：的軌跡為依次連接中點(diǎn)所成的正六邊形，圖10當(dāng)是的中點(diǎn)，易知：，所以直線與所成角，即為與所成角，所以當(dāng)在處時(shí)所成角最小，此時(shí)余弦值為；當(dāng)時(shí)所成角最大，此時(shí)余弦值為；所以與所成角的余弦值范圍.圖11方法點(diǎn)睛：求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題時(shí)，應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍圖11例7已知正方體棱長為，若是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為________.解析：如圖11，連接，易知，平面，所以，又，，故，平面，所以，即點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為以為直徑的圓（除去點(diǎn)），又，故與平面所成角即為，圖12