第14講相似三角形的性質(zhì)與位似（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第14講相似三角形的性質(zhì)與位似（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、相似三角形的性質(zhì)1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）二、利用相似三角形測(cè)高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量河的寬度，計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測(cè)物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則。三、位似的概念及性質(zhì)1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“位似中心的位置：可能位于兩個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)位似中心”的特點(diǎn)確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比。四、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過(guò)位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過(guò)位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形。五、圖形的變換與坐標(biāo)1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個(gè)單位時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個(gè)單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。2）、軸對(duì)稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。3）、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或?？键c(diǎn)考點(diǎn)精講一．相似三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2021秋?青岡縣期末）若兩個(gè)相似三角形的相似之比為1：2，則它們的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：162．（2021秋?威縣期末）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：3．則它們的對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)比為（）A．1：9 B．1：6 C．6：1 D．1：33．（2021秋?秦皇島期末）若兩個(gè)相似三角形的面積比是1：9，則它們對(duì)應(yīng)邊的中線之比為（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：14．（2021秋?梧州期末）若△ABC∽△EFG，并且它們的相似比AB：EF＝2：5，則它們的周長(zhǎng)比C△ABC：C△EFG＝（）A．2：5 B．4：25 C．25：4 D．6：155．（2021秋?滕州市期末）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的長(zhǎng)分別為6cm和12cm，若較大三角形的面積是12cm2，則較小的三角形的面積為（）A．6cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．1cm26．（2021秋?本溪縣期末）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線．若AD＝10，A'D'＝6，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)比是（）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：97．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積．8．（2022?福州模擬）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD有交點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝90°．點(diǎn)E與點(diǎn)C在BD同側(cè)，連接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．（1）求證：DC⊥CE；（2）若，BD＝20，，求△BDE的面積．9．（2021秋?交城縣期末）閱讀理解：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD為△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）10．（2021秋?吉安縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，點(diǎn)D在AB上．（1）當(dāng)△ABC∽△CBD時(shí)，求BD的長(zhǎng)；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，說(shuō)明理由；如果不平分，利用備用圖，畫出∠ACB的平分線CD（CD交AB于D），并求BD的長(zhǎng)．11．（2021秋?新野縣期末）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知AB＝8，BC＝12，求AF的長(zhǎng)．12．（2021秋?宛城區(qū)期末）閱讀與計(jì)算，請(qǐng)閱讀以下材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．任務(wù)一：請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；任務(wù)二：如圖3，△ABC中，E是BC中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接寫出線段FC的長(zhǎng)．13．（2022?南充模擬）如圖，AB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，BC與⊙O交于D，弧CD上一點(diǎn)E，使得點(diǎn)D成為弧AE的中點(diǎn)，連接AE與BC交于F．（1）比較AB與AF的長(zhǎng)度．并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)AB＝6，BC＝10時(shí)，求CF的長(zhǎng)．三．作圖相似變換（共5小題）14．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°．利用尺規(guī)分別在AB、AC邊上求作點(diǎn)D、E，使△ADE∽△ABC，且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)E是AC是的中心．（保留作圖痕跡，不寫作法）15．（2022秋?瑞安市月考）如圖，在6×8的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，請(qǐng)按要求在方格紙內(nèi)作圖．（1）在圖1中作出與△ABC相似的格點(diǎn)△CDE；（2）在圖2中作出與∠C相等的∠AFB，點(diǎn)F為格點(diǎn)且不與點(diǎn)C重合．16．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，連接EF．已知點(diǎn)P在邊CD上，以CP為邊，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)Q，使得△CPQ∽△AEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）17．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一點(diǎn)D，使△ABC∽△CBD（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求△ACD的周長(zhǎng)．18．（2022秋?晉江市校級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)在邊BC上，連接AE．（1）利用尺規(guī)在AE上求作一點(diǎn)F，使得△ABE∽△DFA．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的長(zhǎng)．四．位似變換（共3小題）19．（2021秋?長(zhǎng)子縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，1） C．（1，2） D．（，2）20．（2021秋?建平縣期末）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（4，1） D．（4，4）21．（2022秋?于洪區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到△A'OB．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（2，4） B．（4，2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）五．作圖位似變換（共3小題）22．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)t，將得到的點(diǎn)先向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'．①a＝，b＝；②已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F'與點(diǎn)F重合，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是．23．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（4，0），C（4，6）．以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為1：2，并寫出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)．24．（2022秋?富川縣期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A．（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）作△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)．（2）以點(diǎn)O為位似中心畫△DEF，使它與△ABC位似，且相似比為2：1．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·北京房山·九年級(jí)期中）如圖是測(cè)量河寬的示意圖，測(cè)得，，，則河寬的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于F，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B． C． D．3．（2021·四川·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O與矩形OABC位似，位似中心是原點(diǎn)O，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，已知OB'：OB＝1：3，則△A'B'C'與△ABC的面積比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：95．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）小亮用自制的直角三角板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝30cm，又測(cè)得AM＝10m，邊DF離地面的高度DM＝1.5m，則樹高AB為（）A．7.5m B．9m C．6m D．5.25m二、填空題6．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)期中）AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將AOB縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．7．（2021·四川南溪·九年級(jí)期中）如圖，某小區(qū)車庫(kù)出入口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)8m，當(dāng)短臂外端下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂外端升高_(dá)______________________．8．（2021·廣東高州·九年級(jí)期中）如圖，路燈距地面，身高的小明從點(diǎn)處沿所在的直線行走到點(diǎn)時(shí)，人影長(zhǎng)度變短______．9．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹的樹高．下午課外活動(dòng)時(shí)，她測(cè)得根長(zhǎng)為1m的竹桿的影長(zhǎng)是0.8m．但當(dāng)她馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上．她先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m，又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m，請(qǐng)你幫她算一下，樹高是________m．10．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對(duì)角線，E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)M，連接AF、CE，求的最小值是_____．三、解答題11．（2021·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，并寫出A2，B2，C2的坐標(biāo)．12．（2021·山東高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)·九年級(jí)期中）小強(qiáng)在地面E處放一面鏡子，當(dāng)他垂直于地面AC站立于點(diǎn)C處時(shí)，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，法線FE⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時(shí)EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，請(qǐng)計(jì)算出教學(xué)樓的高度．13．（2021·陜西·西安市第六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，華華同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上、已知紙板的兩條邊DF＝1m，DE＝0.8m，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝24m，求樹高AB．14．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

（1）以點(diǎn)為位似中心在軸的左側(cè)將放大到原圖的倍（即新圖與原圖的相似比為），畫出對(duì)應(yīng)的；

（2）在（1）的條件下，若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______；

（3）求出變化后的面積______．15．（2021·山東章丘·九年級(jí)期中）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．（1）求證：△APQ∽△ABC；（2）若這個(gè)矩形的邊PN：PQ＝2：1，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各是多少？16．（2021·陜西師大附中九年級(jí)期中）大雁塔是西安市的標(biāo)志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所繪制的便是這座著名古塔．我校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量大雁塔的高度AB，在地面上立兩根高為2m的標(biāo)桿CD和GH，兩桿之間的距離米，點(diǎn)G、C、B成一線．從C處退行4米到點(diǎn)E處，人的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A、D、E三點(diǎn)成一線；從G處退行6米到點(diǎn)F處，從F觀察A點(diǎn)，A、F、H也成一線．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)