2024-2025學年高二數學選擇性必修第一冊（配湘教版）3.5 圓錐曲線的應用

3.5圓錐曲線的應用A級必備知識基礎練1.開普勒發(fā)現了行星運動三大定律,其中開普勒第一定律又稱為軌道定律,即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運動的軌道為橢圓C,在地球繞太陽運動的過程中,若地球與太陽的最遠距離與最近距離之比為λ,則C的離心率為()A.λ2-1λC.λ-1λ2.若某衛(wèi)星運行的軌道是以地心為一個焦點的橢圓,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為mkm,遠地點離地面的距離為nkm,地球的半徑為Rkm,則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于()A.2(mB.(C.2mn D.mn3.如圖所示,沿直線y=-2發(fā)出的光線經拋物線y2=2px(p>0)反射后,與x軸相交于點A(2,0),則p=.

4.某校興趣小組運用計算機對輪船由甲地海灣行駛入乙地海灣進行了一次模擬試驗.如圖,乙地海灣的入口處有暗礁,其中線段AA1,B1B,CC1,D1D分別關于坐標軸或原點對稱,線段B1B的方程為y=x,x∈[a,b],b>a>0,過O有一條航道.有一艘正在甲地海灣航行的輪船準備進入乙地海灣,在點M-52a,0處測得該船發(fā)出的汽笛聲的時刻總比在點N52a,0處晚1s(設海面上聲速為am/s).若該船沿著當前的航線航行(不考慮輪船的體積),則興趣小組觀察到輪船當前航線所在的軌跡是什么?B級關鍵能力提升練5.如圖所示,一圓柱被與底面成θ0<θ<π2角的平面所截,其截口是一個橢圓,則這個橢圓的離心率為()A.sinθ B.cosθ C.1-sinθ D.1-cosθ6.如圖為一個拋物線型拱橋,當水面經過拋物線的焦點時,水面的寬度為36m,則此時欲經過橋洞的一艘寬12m的貨船,其船體兩側的貨物距離水面的最大高度應不超過()A.6m B.6.5m C.7.5m D.8m7.某市進行科技展覽,其中有一個展品的一個截面由一條拋物線C1和一個“開了孔”的橢圓C2構成(小孔在橢圓的左上方).如圖,橢圓與拋物線均關于x軸對稱,且拋物線的頂點和橢圓的左頂點都在坐標原點,F1,F2為橢圓C2的焦點,同時F1也為拋物線C1的焦點,其中橢圓的短軸長為23,在F2處放置一個光源,其中一條光線經過橢圓兩次反射后再次回到F2經過的路程為8.由F2處的光源照射的某些光線經橢圓反射后穿過小孔,再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.(1)求拋物線C1的標準方程;(2)若由F2處的光源發(fā)出的一條光線經由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔,再經拋物線上的點Q反射后剛好與橢圓相切,求此時的線段QF1的長;(3)在(2)的條件下,求線段PQ的長.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練8.某學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設計方案如圖,航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為x2100+y225=1,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M0,647為頂點的拋物線的實線部分,降落點為D(8,0).觀測點A(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程;(2)試問:當航天器在x軸上方時,觀測點A,B測得離航天器的距離分別為多少時,應向航天器發(fā)出變軌指令?

3.5圓錐曲線的應用1.C設橢圓C的焦距為2c,長軸長為2a,根據題意可得地球與太陽的最遠距離為a+c,最近距離為a-c,則a+ca-c=λ,易知λ≠-1,解得ca故選C.2.A由題意得n+R=a+c,m+R=a-c,可得a=m+n+2R2,c=n-m2,則2b=23.4∵沿直線y=-2發(fā)出的光線經拋物線反射后的光線經過拋物線的焦點,∴拋物線的焦點坐標是(2,0),∴p=2×2=4.4.解設輪船所在的位置為點P,由題意可得|PM|-|PN|=a.∵a<|MN|=5a,∴點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支.設所求雙曲線的標準方程為x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),則故興趣小組觀察到輪船當前航線所在的曲線方程是x2a24-y2a2所以興趣小組觀察到輪船當前航線所在的軌跡是雙曲線的一支.5.A設圓柱的底面直徑為d,∵截面與底面成θ角,∴橢圓的短軸長2b=d,橢圓的長軸長2a=dcos根據c=a2-b2得,橢圓的半焦距c=dsinθ2cosθ,則橢圓的離心率e=c6.D根據題意,畫出拋物線如圖所示:設寬度為36m時與拋物線的交點為A,B,寬度為12m時與拋物線的交點為C,D.當水面經過拋物線的焦點時,寬度為36m,由拋物線性質可知2p=36,則拋物線的標準方程為x2=-36y,則A(18,-9).當寬度為12m時,設C(6,a),代入拋物線方程可得62=-36a,解得a=-1.所以直線AB與直線CD之間的距離為h=(-1)-(-9)=8,即船體兩側的貨物距離水面的最大高度應不超過8m,故選D.7.解(1)設橢圓C2的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,由題可知,2b=23,4a=8,則b=3,a=2,所以c=1.故拋物線C1的焦點F1(1,0),所以拋物線C1的標準方程為y2=4x.(2)由題可設Q(m,3),代入拋物線的方程可得m=34,即Q34,所以|QF1|=(3(3)由(2)可知直線QF1的斜率為kQF1=即tan∠QF1F2=-43,由∠QF1F2+∠PF1F2=π,得tan∠PF1F2=43.又∠PF1F2∈(0,π),所以cos∠PF1F2=17設|PF1|=m,則|PF2|=4-m,易知|F1F2|=2,所以由余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2,即(4-m)2=m2+4-2m·2·17解得m=2113故線段PQ的長為21138.解(1)由題意,設拋物線的方程為y=-ax2+647(a>因為拋物線經過點D(8,0),所以-64a+647=0,解得a=1聯(lián)立x得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-94(舍去)