2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（配湘教版）2.7 用坐標(biāo)方法解決幾何問題

2.7用坐標(biāo)方法解決幾何問題A級必備知識基礎(chǔ)練1.一涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓,則該半圓的方程是()A.x2+y2=25B.x2+y2=25(y≥0)C.(x+5)2+y2=25(y≤0)D.隨建立直角坐標(biāo)系的變化而變化2.在平面內(nèi),A,B是兩個定點,C是動點,若AC·BC=2,則點C的軌跡為(A.橢圓 B.射線 C.圓 D.直線3.已知等腰三角形ABC其中一腰的兩個端點分別是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,則另一腰的一個端點C的軌跡方程是()A.x2+y2-8x-4y=0B.x2+y2-8x-4y-20=0(x≠-2,x≠10)C.x2+y2+8x+4y-20=0(x≠-2,x≠10)D.x2+y2-8x-4y+20=0(x≠-2,x≠10)4.當(dāng)點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)相連,線段PQ的中點M的軌跡方程是()A.(x-3)2+y2=1 B.(2x-3)2+4y2=1C.(x+3)2+y2=4 D.(2x+3)2+4y2=45.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A.π B.4π C.8π D.9π6.過點A(8,0)的直線與圓x2+y2=4交于點B,則線段AB中點P的軌跡方程為.

7.已知:四邊形ABCD,|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2.求證:AC⊥BD.B級關(guān)鍵能力提升練8.在直角三角形ABC中,D是斜邊AB的中點,P為線段CD的中點,則|PA|2+A.2 B.4 C.5 D.109.在△ABC中,D為BC邊上任意一點(D與B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,則△ABC為()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不對10.已知圓C:x2+y2-8x-6y+16=0,過點P(4,1)的直線與圓C交于點M,N,線段MN的中點為Q.則點Q的軌跡方程為.

11.正方形ABCD與點P在同一平面內(nèi),已知該正方形的邊長為1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,則|PD|的取值范圍為.

12.如圖,已知點A,B,C共線,△ABD和△BCE是在直線AC同側(cè)的兩個等邊三角形,用坐標(biāo)法證明:|AE|=|CD|.13.(1)已知AD是△ABC邊BC的中線,用坐標(biāo)法證明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).(2)已知動點C與兩個定點A(0,0),B(3,0)的距離之比為22,若△ABC邊BC的中點為D,求動點D的軌跡方程C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報,臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處,受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域,已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響?

2.7用坐標(biāo)方法解決幾何問題1.D由于建立的平面直角坐標(biāo)系不同,因此該半圓的方程也不同,故選D.2.C以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-a,0),B(a,0),C(x,y),則AC=(x+a,y),BC=(x-a,y).由AC·BC=2,得(x-a)(x+a)+y2=2,即x2+y2=a2+2,所以點C3.B設(shè)C(x,y),由|AB|=|AC|,得(4+2)2+(2-0)2=(x-4)2+(y-2)2,即x2+y2-8x-4y-20=0.又點B與點C不重合且B,C,A不共線,所以x≠-2,x≠10.故選B.4.B設(shè)線段PQ的中點M(x,y),點P與定點Q(3,0)相連,則P(2x-3,2y).點P在圓x2+y2=1上變動時,線段PQ的中點M的軌跡方程是(2x-3)2+4y2=1.故選B.5.B設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y),因為兩定點A(-2,0),B(1,0),且動點P滿足|PA|=2|PB|,則(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得(x-2)2+y2=4,所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓,所以點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.故選B.6.(x-4)2+y2=1設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),點B為(x1,y1),由題意,結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化簡得(x-4)2+y2=1.即線段AB中點P的軌跡方程為(x-4)2+y2=1.7.證明如圖,以AC所在的直線為x軸,過點B垂直于AC的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)頂點坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),∵|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,∴a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,化簡得(a-c)x=0.∵a≠c,即a-c≠0,∴x=0,即D在y軸上,∴AC⊥BD.8.D以直角三角形的直角頂點C為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)B(a,0),A(0,b),則Da2,b2,Pa4則|PA|2故選D.9.A如圖所示,作AO⊥BC,垂足為O,以BC所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b<d<c).因為|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,所以b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又因為d-b≠0,所以-b-d=c-d,即-b=c,所以|OB|=|OC|.又AO⊥BC,故△ABC為等腰三角形.10.(x-4)2+(y-2)2=1(1)由圓C:(x-4)2+(y-3)2=9方程可知(4-4)2+(1-3)2=4<9,故點P(4,1)在圓C內(nèi).∵弦MN過點P,Q是MN的中點,則CQ⊥MN,∴點Q的軌跡是以CP為直徑的圓,線段CP的中點為(4,2),故其方程為(x-4)2+(y-2)2=1.11.[2-2,2+2]以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).設(shè)點P(x,y),則由|PA|2+|PB|2=|PC|2,得x2+y2+(x-1)2+y2=(x-1)2+(y-1)2,整理得x2+(y+1)2=2,即點P的軌跡是以點M(0,-1)為圓心,2為半徑的圓.圓心M到點D的距離為|MD|=2,所以|PD|min=2-2,|PD|max=2+2,所以|PD|的取值范圍是[2-2,2+2].12.證明如圖,以點B為坐標(biāo)原點,直線AC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)△ABD和△BCE的邊長分別為a,c,則A(-a,0),C(c,0),D-a2,32a,E∴|AE|=c2-(-a)∴|AE|=|CD|.13.解(1)以BC邊為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)A(x,y),B(-b,0),C(b,0),其中b>0,所以|AB|2+|AC|2=(x+b)2+y2+(x-b)2+y2=2(x2+y2+b2),2(|AD|2+|DC|2)=2(x2+y2+b2),故|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).(2)設(shè)C(m,n),由|AC則點C的軌跡方程為m2+n2+6m-9=0(m≠±32-3或n≠0).設(shè)D(x,y),則C(2x-3,2y),將C(2x-3,2y)代入m2+n2+6m-9=0,可得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-9=0,整理得x2+y2=9214.解以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點,以東西方向為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示),其