專題04等腰三角形的判定(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題04等腰三角形的判定考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022八上·西湖期末）如圖，在中，運用尺規(guī)作圖的方法在BC邊上取一點P，使，下列作法正確的是（）A． B．C． D．2．（2分）（2021八上·河?xùn)|期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個3．（2分）（2021八上·昌平期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2分）（2021八上·密山期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①5．（2分）（2021八上·濟寧月考）已知：如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC和BC上，與相交于點，給出下面四個條件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，從這四個條件中選取兩個，不能判定是等腰三角形的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④6．（2分）（2021八上·中山期末）如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線BC或AC上取一點P，使得為等腰三角形，則符合條件的點有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個7．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點并且滿足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結(jié)論有（）個A．1 B．2 C．3 D．48．（2分）（2020八上·溫州期中）如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一條邊為邊畫等腰三角形，使它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則這樣的點有（）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個9．（2分）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則P1，O，P2三點所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形10．（2分）（2021八上·桐梓期末）如圖，在中，，是邊上的高，是邊的中線，是的角平分線，交于點G，交于點H，下面說法正確的是（）①的面積是的面積的一半；②；③；④.A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④評卷人得分二．填空題（共9小題，滿分18分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，平分交于點E，若，則.12．（2分）（2021八上·吉林期末）在中，，．用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點D，使為等腰三角形．下列作法正確的有個．13．（2分）（2021八上·冠縣期中）如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），∠AON=45°，當∠A=時，△AOP為等腰三角形．14．（2分）（2021八上·下城期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長為.15．（2分）（2021八上·華容期末）如圖，在中，，點在延長線上，于點，交于點，若，，則的長度為.16．（2分）（2020八上·柯橋月考）如圖，已知點P是射線BM上一動點（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當∠OAP=時，以A、O、B中的其中兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．17．（2分）如圖，點O是△ABC角平分線的交點，過點O作MN∥BC分別與AB，AC相交于點M，N，若，，，則△AMN的周長為.18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是的三邊，且，則的形狀是．19．（2分）（2019八上·長安月考）如圖，∠BOC=60°，點A是BO延長線上的一點，OA=10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間，當t=s時，△POQ是等腰三角形.評卷人得分三．解答題（共7小題，滿分62分）20．（5分）（2021八上·谷城期中）如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD的中點.試探索BM和BN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.21．（10分）（2021八上·平原月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點，CE⊥BD（1）（3分）求證：△ABD≌△BCE；（2）（3分）求證：AC是線段ED的垂直平分線．（3）（4分）△DBC是等腰三角形嗎？請說明理由．22．（10分）（2019八上·淮南期中）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.（1）（3分）圖①中有幾個等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.（2）（3分）如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?（3）（4分）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.23．（7分）（2019八上·南平期中）在中，，點為射線上一個動點（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，過點作，交直線于點，連接．（1）（1分）如圖①，若，則按邊分類：是三角形，并證明；（2）（6分）若．①如圖②，當點在線段上移動時，判斷的形狀并證明；②當點在線段的延長線上移動時，是什么三角形？請在圖③中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出結(jié)論（不必證明）．24．（10分）（2019八上·桐梓期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，點D在線段BC上運動（點D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E.（1）（3分）若DE＝CE，求證：AB∥DE；（2）（3分）若DC＝2，求證：△ABD≌△DCE；（3）（4分）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由；25．（8分）（2021八上·廈門期末）如圖，已知銳角∠APB，M是邊PB上一點，設(shè)∠APB=α.（1）（4分）尺規(guī)作圖：在邊PA上作點N，使得∠ANM=2α；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）（4分）在（1）的條件下，若邊PA上存在點Q，使得∠QMB=3α.①證明△MNQ是等腰三角形；②直接寫出α的取值范圍.26．（12分）（2021八上·武昌期末）如圖1，在中，，分別是和的角平分線，和相交于D點.（1）（4分）求證：平分；（2）（4分）如圖2，過F作于點P，連接，若，，求證：；（3）（4分）如圖3，若，求證：.2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題04等腰三角形的判定考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022八上·西湖期末）如圖，在中，運用尺規(guī)作圖的方法在BC邊上取一點P，使，下列作法正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】解：由作圖可知，選項C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】根據(jù)作圖步驟可得選項A中∠BAP=∠CAP，無法判斷PA+PB=BC；選項B中AC=BC，則AC+BP=BC；選項C中∠C=∠PAC，則PA=PC，PA+PB=BC；選項D中BP=PC，據(jù)此判斷.2．（2分）（2021八上·河?xùn)|期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【答案】C【完整解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA＝MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故答案為：C．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定方法求解即可。3．（2分）（2021八上·昌平期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【完整解答】解：以點A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線BC于兩個點，然后作AB的垂直平分線交直線BC于點，如圖所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等邊三角形，∴點重合，∴符合條件的點P有2個；故答案為：B．【思路引導(dǎo)】先求出，再求出是等邊三角形，最后求解即可。4．（2分）（2021八上·密山期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【答案】A【完整解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①符合題意；∴DE=DF+EF=BD+CE，故②符合題意；∴△ADE的周長為：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；故③符合題意；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF與CF不一定相等，故④不符合題意．故答案為：A．【思路引導(dǎo)】利用角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等對每個結(jié)論一一判斷即可。5．（2分）（2021八上·濟寧月考）已知：如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC和BC上，與相交于點，給出下面四個條件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，從這四個條件中選取兩個，不能判定是等腰三角形的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【完整解答】A.①∠1＝∠2；②AD＝BE，又（AAS）即是等腰三角形故該選項不符合題意；B.①∠1＝∠2，④DF＝EF，又（AAS）即是等腰三角形；故該選項不符合題意；C.②AD＝BE；③不能證明，不能判定，故不能判定是等腰三角形；該選項符合題意；D.③④DF＝EF，又（SAS）即是等腰三角形；故該選項不符合題意；故答案為：C．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定方法，再結(jié)合全等三角形的判定逐項判斷即可。6．（2分）（2021八上·中山期末）如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線BC或AC上取一點P，使得為等腰三角形，則符合條件的點有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【完整解答】解：如圖，當時，為等腰三角形，當時，為等腰三角形，當時，而所以是等邊三角形，當時，為等腰三角形，符合條件的點P有5個，故答案為：B

【思路引導(dǎo)】分三種情況：AP=AB，BP=AB或BP=AP，據(jù)此分別求解即可.7．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點并且滿足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結(jié)論有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【完整解答】解：∵AD平分，DE⊥AC，DF⊥AB，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，又∵，∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；∵AD平分，∴，∵，∴，∵，，∠BDC＝∠BAC，∴，∴∠DAF＝∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④；故答案為：D.【思路引導(dǎo)】由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)HL證明，可得CE=AF，，根據(jù)HL證明，可得，從而得出，據(jù)此判斷①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，據(jù)此判斷③；利用三角形的內(nèi)角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB

，從而得出∠DAF＝∠CBD，據(jù)此判斷④.8．（2分）（2020八上·溫州期中）如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一條邊為邊畫等腰三角形，使它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則這樣的點有（）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【答案】B【完整解答】解：如圖，

共有6種情況.

故答案為：B.

【思路引導(dǎo)】①以B為圓心，以BC為半徑畫弧交AC于D點，△BCD為所求；②以A為圓心，以AC為半徑畫弧交AC于點E，△ACE為所求；③以C為圓心，以BC為半徑畫弧交AC于點F，△BCF為所求；④作AC的垂直平分線交AB于點H，△AHC為所求；⑤作AB的垂直平分線交AC于點G，△AGB為所求；⑥作BC的垂直平分線交AB于點I，△BGI為所求.9．（2分）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則P1，O，P2三點所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【思路引導(dǎo)】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，即可判斷△P1OP2是等邊三角形．【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，∴△P1OP2是等邊三角形．故選：D．10．（2分）（2021八上·桐梓期末）如圖，在中，，是邊上的高，是邊的中線，是的角平分線，交于點G，交于點H，下面說法正確的是（）①的面積是的面積的一半；②；③；④.A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【完整解答】解：∵BE是AC邊的中線，∴AE=CEAC，∵△ABE的面積×AE×AB，△ABC的面積×AC×AB，∴△ABE的面積等于△ABC的面積的一半，故①正確；根據(jù)已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②錯誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故③正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線，∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，∴∠FAG=2∠FCB，故④錯誤；即正確的為①③，故答案為：C.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等底同高的三角形的面積相等進行判斷①，根據(jù)等腰三角形的判定判斷②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判斷④即可.二．填空題（共9小題，滿分2分，每小題18分）11．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，平分交于點E，若，則.【答案】【完整解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵DE=，∴EB=.故答案為：.【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的概念可得∠CBD=∠ABD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BDE=∠CBD，推出∠BDE=∠DBE，則BE=DE，據(jù)此解答.12．（2分）（2021八上·吉林期末）在中，，．用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點D，使為等腰三角形．下列作法正確的有個．【答案】3【完整解答】解：第一個圖以C為圓心，AC長為半徑，∴為等腰三角形，符合題意；第二個圖為作的角平分線，無法得到為等腰三角形，不符合題意；第三個圖以B為圓心，AB長為半徑，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，符合題意；第四個圖為作線段AC的垂直平分線，可得，∴為等腰三角形，符合題意；綜上可得：有三個圖使得為等腰三角形，故答案為：3．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定定理判斷各圖形即可得出答案。13．（2分）（2021八上·冠縣期中）如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），∠AON=45°，當∠A=時，△AOP為等腰三角形．【答案】45°或67.5°或90°【完整解答】解：若△AOP為等腰三角形則有AO=AP、AO=OP和OP=AP三種情況，①當AO=AP時，則有∠O=∠APO=45°，∴∠A=90°；②當AO=OP時，則∠A=∠APO==67.5°；③當OP=AP時，則∠A=∠AON=45°，綜上可知∠A為45°或67.5°或90°，故答案為45°或67.5°或90°．【思路引導(dǎo)】若△AOP為等腰三角形則有AO=AP、AO=OP和OP=AP三種情況：①當AO=AP時，②當AO=OP時，③當OP=AP時，分別利用等腰三角形的兩底角相等可求得∠A的度數(shù)。14．（2分）（2021八上·下城期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長為.【答案】3cm【完整解答】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.故答案為：3cm.【思路引導(dǎo)】由角平分線的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行線的性質(zhì)可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，則BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，據(jù)此計算.15．（2分）（2021八上·華容期末）如圖，在中，，點在延長線上，于點，交于點，若，，則的長度為.【答案】4【完整解答】證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP，又∵∠BFP=∠AFE，∴∠E=∠AFE，∴AF=AE=3，∴△AEF是等腰三角形.又∵CE=10，∴CA=AB=7，∴BF=AB-AF=7-3=4，故答案為：4.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠C，再根據(jù)等角的余角相等得出∠E=∠BFP，再根據(jù)對頂角相等得出∠E=∠AFE，最后根據(jù)等角對等邊即可得出答案.16．（2分）（2020八上·柯橋月考）如圖，已知點P是射線BM上一動點（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當∠OAP=時，以A、O、B中的其中兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．【答案】75°或120°或90°【完整解答】解：如圖，

∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=30°，

①當AOP1是等腰三角形時，

∵OA=OP1，

∵∠AOB=30°，

∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；

②當△ABP2是等腰三角形時，

∵∠ABM=60°，

∴△ABP2是等邊三角形，

∴∠BAP2=60°，

∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；

③當△OAP3是等腰三角形，

∵OA=AP3，

∴∠AOB=∠AP3O，

∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.

綜上，∠OAP為75°或120°或90°

故答案為：75°或120°或90°.

【思路引導(dǎo)】分三種情況討論，即當OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠OAP的度數(shù).17．（2分）如圖，點O是△ABC角平分線的交點，過點O作MN∥BC分別與AB，AC相交于點M，N，若，，，則△AMN的周長為.【答案】12【完整解答】解：∵O是△ABC角平分線的交點∴∠OBC=∠MBO,∠OCB=∠NCO∵MN∥BC∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB∴∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO,∴MO=MB,NO=NC,∵△AMN的周長=AN+AM+MN=AN+AM+MB+NC=AB+AC又∵，，∴△AMN的周長=5+7=12故答案為12.【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，可得出∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO,進而得出MO=MB,NO=NC,△AMN的周長可以表示為AB+AC，即可解決問題.18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是的三邊，且，則的形狀是．【答案】等腰三角形【完整解答】∵，∴，即：，∵，，是的三邊，∴，，都是正數(shù)，∴與都為正數(shù)，∵，∴，∴，∴△ABC為等腰三角形，故答案為：等腰三角形.【思路引導(dǎo)】將等式兩邊同時加上得，然后將等式兩邊因式分解進一步分析即可.19．（2分）（2019八上·長安月考）如圖，∠BOC=60°，點A是BO延長線上的一點，OA=10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間，當t=s時，△POQ是等腰三角形.【答案】或10【完整解答】當PO=QO時，△POQ是等腰三角形，如圖1所示當點P在AO上時，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t當PO=QO時，解得當PO=QO時，△POQ是等腰三角形，如圖2所示當點P在BO上時∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t當PO=QO時，解得故答案為：或10【思路引導(dǎo)】根據(jù)△POQ是等腰三角形，分兩種情況進行討論：點P在AO上，點P在BO上，分別計算，即可得解.三．解答題（共7小題，滿分62分）20．（5分）（2021八上·谷城期中）如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD的中點.試探索BM和BN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∵M、N分別是AE、CD的中點，∴AM＝DN，在△ABM和△DBN中，，∴△BAM≌△BDN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，∴∠MBE+∠DBN＝90°，即：BM⊥BN，∴BM＝BN，BM⊥BN.【思路引導(dǎo)】易證△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根據(jù)線段中點的概念可得AM＝DN，證明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，據(jù)此解答.21．（10分）（2021八上·平原月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點，CE⊥BD（1）（3分）求證：△ABD≌△BCE；（2）（3分）求證：AC是線段ED的垂直平分線．（3）（4分）△DBC是等腰三角形嗎？請說明理由．【答案】（1）解：如圖證明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CBE中，，∴△BAD≌△CBE（ASA），（2）證明：∵E是AB中點，∴EB＝EA，∵AD＝BE，∴AE＝AD，∵AD∥BC，∴∠7＝∠ACB＝45°，∵∠6＝45°，∴∠6＝∠7，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE，且EM＝DM，即AC是線段ED的垂直平分線；（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．理由如下：∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，∴CD＝BD．∴△DBC是等腰三角形．【思路引導(dǎo)】（1）利用ASA證明三角形全等即可；

（2）先求出EB＝EA，再求出EM＝DM，最后證明求解即可；

（3）先求出CD＝BD，再求解即可。22．（10分）（2019八上·淮南期中）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.（1）（3分）圖①中有幾個等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.（2）（3分）如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?（3）（4分）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.【答案】（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）當AB≠AC時，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【思路引導(dǎo)】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．（2）由（1）的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關(guān)系，故這兩個等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．（3）思路與（2）相同，只不過結(jié)果變成了EF=BE-FC．23．（7分）（2019八上·南平期中）在中，，點為射線上一個動點（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，過點作，交直線于點，連接．（1）（1分）如圖①，若，則按邊分類：是三角形，并證明；（2）（6分）若．①如圖②，當點在線段上移動時，判斷的形狀并證明；②當點在線段的延長線上移動時，是什么三角形？請在圖③中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出結(jié)論（不必證明）．【答案】（1）等邊（2）①△CEF為等腰三角形，證明：如圖2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，∴△EAC≌△DAB，∴∠ECA=∠B，∴∠ACE=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFC=∠ACB，∴∠EFC=∠ACE，∴CE=FE，∴△EFC為等腰三角形；②如圖③，△EFC為等腰三角形．當點D在BC延長線上時，以AD為一邊在AD的左側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作BC的平行線EF，交直線AC的延長線于點F，連接DE．證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，∴△EAC≌△DAB，∴∠ECA=∠DBA，∴∠ECF=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ECF，∴EC=EF，∴△EFC為等腰三角形．【完整解答】解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，∴△DAB≌△EAC，∴∠ECA=∠B=60°，∵EF∥BC，∴∠EFC=∠ACB=60°，∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，∴△EFC為等邊三角形，故答案為：等邊；【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通過求證△EAC≌△DAB，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可推出△EFC為等邊三角形；（2）①根據(jù)（1）的推理方法，即可推出△EFC為等腰三角形；②根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過求證△EAC≌△DAB，推出等量關(guān)系，即可推出△EFC為等腰三角形．24．（10分）（2019八上·桐梓期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，點D在線段BC上運動（點D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E.（1）（3分）若DE＝CE，求證：AB∥DE；（2）（3分）若DC＝2，求證：△ABD≌△DCE；（3）（4分）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由；【答案】（1）證明：∵DE＝CE，∠C＝50°，∴∠C＝∠EDC＝50°.∵∠B＝∠C＝50°，∴∠B＝∠EDC，∴AB∥DE（2）證明：∵AB＝AC＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，∴∠BDA+∠CDE＝130°，∠CED+∠CDE＝130°，∴∠BDA＝∠CED，∴△ABD≌△DCE（AAS）（3）解：可以.有以下三種可能：①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE，則有∠DAE＝∠DEA＝65°.∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；②由（2）得∠BDA＝∠CED.∵點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），∴AD≠AE；③當EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°.故答案為：(1)見解析；(2)見解析；(3)可以，115°或100°，理由見解析.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等邊對等角得出∠C＝∠EDC＝50°，又∠B＝∠C＝50°，故∠B＝∠EDC，根據(jù)同位角相等，二直線平行得出AB∥DE；

（2）根據(jù)平角的定義及三角形的內(nèi)角和得出∠BDA+∠CDE＝130°=∠CED+∠CDE，故∠BDA＝∠CED，根據(jù)等量代換得出AB=DC，又∠B＝∠C，故利用AAS判