專題08垂直平分線的性質(zhì)判定與應用（專項培優(yōu)訓練）（教師版）

專題08垂直平分線的性質(zhì)、判定與應用（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，?？?，壓軸類問題進行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2022秋·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ凶锨G中學桃園校區(qū)?？计谥校┤鐖D，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由作法知，可判斷A；由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，可判斷B；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可判斷C；由作法知是的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到，可判斷D．【詳解】解：A．由作法知，∴是等腰三角形，故選項A不符合題意；B．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，∴不能推出和是等腰三角形，故選項B符合題意；C．由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形，故選項C不符合題意；D．∵，，∴，由作法知是的平分線，∴，∴，∴是等腰三角形，故選項D不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的判刑，線段垂直平分線的性質(zhì)，交平分線的定義等知識，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個基本圖形是解決問題的關鍵．2．（本題2分）（2023春·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點E，交于點D，且，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出，然后根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，又∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，作輔助線構(gòu)造出含角的直角三角形是解題的關鍵．3．（本題2分）（2023春·廣東惠州·八年級?？奸_學考試）如圖所示，在中，內(nèi)角與外角的平分線相交于點P，，與交于點H，交于F，交于G，連接CP．下列結(jié)論：①；②；③垂直平分；④．其中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可得，，然后可得①正確；過P作于M，于N，于S，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形面積公式列式，繼而得出②正確；根據(jù)三線合一可知③正確；證明平分，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義可得④正確．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∴，①正確；過P作于M，于N，于S，∵平分，平分，∴，∵，②正確；∵，平分，∴垂直平分（三線合一），③正確；∵，∴，∵，，，∴平分，∴，∴，④正確．綜上，正確的有4個，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊距離相等是解答本題的關鍵．4．（本題2分）（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，銳角按下列步驟圖：①在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作圓弧，交射線與點，連接；②以點為圓心，長為半徑作弧，交弧于點；③連接，．作射線．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】由作法得，則可對選項進行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，則可對B選項進行判斷；由線段垂直平分線的判定可對C選項進行判斷；利用三角形三邊的關系得到，則可對D選項進行判斷．【詳解】解：由作法得，，故選項A正確，不符合題意；又∵，∴∴，故選項B正確，不符合題意；∵，，∴垂直平分，故選項C正確，不符合題意；，，，所以選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟練掌握基本作圖．5．（本題2分）（2023春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，和相交于點，點在邊上，且，若的周長為，則的周長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明得到，再根據(jù)周長公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，又，∴（）∴，∵的周長為，∴，∴的周長為，故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的周長公式，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答的關鍵．6．（本題2分）（2023春·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線相交于點O，于點E，且，若，則矩形的面積為（

）

A．12 B．20 C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得到，，，證明垂直平分，得到，由勾股定理求出，即可得到矩形的面積．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∴矩形的面積為．故選：C【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（本題2分）（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線交于點，交于點，連接．若，，則的長為（

）

A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由作圖可知是的垂直平分線，則，因此.在中，分別求出的度數(shù)都等于，則可得是等邊三角形，于是可得的長度.【詳解】∵中，，，由作圖可知是的垂直平分線，點F在上，是等邊三角形，

.故選：B.【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定.證明是等邊三角形是解題的關鍵.8．（本題2分）（2023春·陜西西安·八年級高新一中校考期末）如圖，在中，點是邊上的一點，，且的面積為，則的周長的最小值是（

）

A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】利用已知條件可以求出邊的長度，再根據(jù)“將軍飲馬”問題，求最短距離即可．【詳解】如圖1，過作，作點關于直線對稱點，交于點，連接，交于點，∴，

由，∴，，∴；∵，即，∴，解得：，∴，要使周長最小，則需點與重合時，即點共線時，如圖2由勾股定理得：，∴的周長的最小值是，故選：．【點睛】本題考查了求線段和最短距離，解題的關鍵是靈活利用軸對稱的有關定理及將軍飲馬數(shù)學模型．9．（本題2分）（2023春·重慶豐都·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形的對角線，交于點，點為上的一點，連接，過點作交的延長線于點，延長交于點，則下列結(jié)論:（1）；（2）；（3）點為的中點；（4）；（5）若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】由四邊形是正方形，得，而則所以因為所以可判斷（1）正確；連接，，，設交于，先證明得再證明，得，再證明，則，可判斷（3）正確；由，，垂直平分得，進而證明得，可判斷（2）正確；當逐漸變小時，則的值逐漸變小，而逐漸變大，可知與不一定相等，可判斷（4）錯誤；作于點，先證明得，即可根據(jù)勾股定理求得，可判斷（5）正確，于是可得到最后答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，故（1）正確；連接，，，設交于，則，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，為中點，故（3）正確；，，垂直平分，，，，在和中，，，，故（2）正確；當逐漸變小時，則的值逐漸變小，而逐漸變大，與不一定相等，故（4）錯誤；作于點，，，，在和中，，，，，，，，，，故（5）正確；綜上所述：（1）（2）（3）（5）這個正確；故選：．【點睛】此題重點考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．10．（本題2分）（2022秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．正確的結(jié)論序號是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用，得到，從而可證明，進而得到，即可判斷①；根據(jù)，，即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可得，即可判斷③，若，根據(jù)可以得到，從而可得是的中點，然后可以推出是的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，故①正確；，，，故②不正確；，，故③正確；，，，為的中點，，為線段的垂直平分線，，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號是：①③④，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關鍵．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，過點作于點，過作于點，，相交于點，為的中點，連接，，，則下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤；其中正確的有．（填上正確的序號）．

【答案】個【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由余角的性質(zhì)可得故①正確；通過證明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，故②正確；由可證，可得，由，可得，故③錯誤；由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可求可得，可得，故④正確；通過證明，可得，故⑤正確，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，故①正確；∵，，，，是等腰直角三角形，為的中點，，故②正確；在和中，，，，，，，故③錯誤；，，，，，，，，故④正確；是等腰直角三角形，為的中點，，，，故⑤正確綜上所述①②④⑤正確，正確的有個．故答案為：個．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．12．（本題2分）（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，是的垂直平分線，，則．

【答案】25【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，即，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．13．（本題2分）（2023春·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，對角線，相交于點，過點作交于，若，，，則的長為．【答案】【分析】先證明，再根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴．∵，∴是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，證明是解答本題的關鍵．14．（本題2分）（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形中，，，，E為的中點，連結(jié)，若，則的度數(shù)為．

【答案】52【分析】連接，延長、交于點F，作于G，得出，由平行線的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，證出，得出，證明得出，，得出，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，延長、交于點F，作于G，如圖所示：

∵，，∴，∵E為的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：52．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．15．（本題2分）（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，的垂直平分線分別交于點的垂直平分線分別交于點，若，則【答案】或【分析】當為銳角時，如圖1，設，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：，，再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．當為鈍角時，如圖2，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【詳解】解：當為銳角時，如圖1，設，，∵，∴，，，

∵分別垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴；當為鈍角時，如圖2，

∵分別垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；綜上所述，．故答案為：或．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．16．（本題2分）（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，斜邊，，的垂直平分線分別交、于點E、點D，連接，點M，N分別是和上的動點，則的最小值是．

【答案】【分析】連接，過點作交于點，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)角平分線的判定可得平分，根據(jù)等邊三角形的判定可得是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，推得點于點關于對稱，，即可推得故的最小值為線段的長，根據(jù)垂線段最短可得當時，的值最小，根據(jù)30度所對的邊是斜邊的一半和勾股定理求得,即可求得的最小值為．【詳解】連接，過點作交于點，如圖：

在中，，∴，∵的垂直平分線分別交、于點E、點D，∴，∴，即平分，又∵，，∴，，∴是等邊三角形，又∵平分，故垂直平分，即點于點關于對稱，∴，則，故的最小值為線段的長，故當時，的值最小，在中，，，故，,即的最小值為，故答案為；．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定可，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一，垂線段最短，30度所對的邊是斜邊的一半，勾股定理等，確定出點M、N的位置是解題的關鍵．17．（本題2分）（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點為上一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，點在射線上，當?shù)拇怪逼椒志€經(jīng)過一邊中點時，的長為．

【答案】2或3或5【分析】本題需考慮經(jīng)過各邊中點，共三種情況，依次討論即可．【詳解】解：，，，，，的垂直平分線經(jīng)過一邊中點，可分為以下三種情況：經(jīng)過的中點；經(jīng)過的中點；經(jīng)過的中點．當經(jīng)過的中點時，交于點，如圖：，

繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，是的外角，，垂直平分，，是等邊三角形，，，；當經(jīng)過的中點時，交于點，如圖：，

，垂直，，，在中，，，，點在上，，，是的外角，，，，在中，，∴，由勾股定理得：；當經(jīng)過的中點時，交于點（），如圖：，

同理可證：，在中，，，．綜上：的長為：2或5或3．故答案為：2，3或5．【點睛】本題綜合考查了垂直平分線，含角的直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點．分類討論思想是解題的關鍵，同時也是本題的易錯點．18．（本題2分）（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿在上，在上折疊，點與點恰好重合，則為度．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，證明，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可．【詳解】解：如圖，連接、，

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，點在的垂直平分線上，，，將沿在上，在上）折疊，點與點恰好重合，，，

在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知相關知識是解題的關鍵．19．（本題2分）（2023春·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D，、，在第一象限內(nèi)作，其中且，點是直線上的動點，點是直線上的動點，的最小值是

【答案】【分析】利用勾股定理得出，，延長至點，使，連接，，根據(jù)，可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短可得：當、、三點共線且時，，此時的長即為的最小值，再根據(jù)，即可得解．【詳解】解：∵、，∴、，∵且，∴，，延長至點，使，連接，，∴，∵，∴垂直平分，即點與點關于對稱，∴，，當、、三點共線且時，，此時的長即為的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．

【點睛】本題考查勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短，垂線段最短，等積法．通過作輔助線得出點的對稱點，確定的長即為的最小值是解題的關鍵．20．（本題2分）（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對角線、交于點，將沿著對角線翻折得到，連接．若，，，則到的距離為．

【答案】【分析】連接交于，過點作于點，由翻折性質(zhì)可證，得出為的垂直平分線，由平行四邊形的性質(zhì)求出，由中位線性質(zhì)求出，由勾股定理求出，的長，再利用即可求出的長，得出最后結(jié)論．【詳解】解：連接交于，過點作于點，

由翻折性質(zhì)可知，，，又，，，為的垂直平分線，，四邊形為平行四邊形，，，分別為，的中點，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線性質(zhì)，正確作出輔助線，利用中位線性質(zhì)求出的長度，是解答本題的關鍵．三、解答題：本大題共7小題，2125題每小題8分，2627題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2022秋·天津東麗·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，過點作于點，作于點，連接，．(1)求證：≌；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）利用證明和全等；（2）和全等，可證明，再證明和全等，可得，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，在和中，≌；（2）≌，，，，≌，，，，垂直平分．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定．掌握全等的證明方法以及垂直平分線的判定定理是解題的關鍵．22．（本題8分）（2023春·貴州黔西·八年級校考階段練習）如圖，四邊形的對角線相交于點O，，過點O且與，分別相交于點E，F(xiàn)，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，若，的周長是15，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)30【分析】(1)由可證，可得，由可證，可得，即可證四邊形是平行四邊形；(2)由線段中垂線的性質(zhì)可得，可得，即可求四邊形的周長．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，

∴，∴，即，的周長．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．23．（本題8分）（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，垂直平分，，．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再證明得到，進而推出得到，進一步證明，由此即可證明四邊形是平行四邊形；（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得到，再由勾股定理建立方程，解方程求出，進而求出即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴，∵垂直平分，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定定理是解題的關鍵．24．（本題8分）（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，按下列要求作圖，使得所畫圖形的頂點均在格點上．

(1)在圖1中所在直線上方找到一個格點D，連接，使．(2)在圖2中確定一點E，使四邊形為正方形．(3)在圖3中所在直線下方有______個格點到兩點距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)同底等高，確定點位置即可；（2）勾股定理逆定理得到為等腰直角三角形，將沿翻折，點的對應點即為點；（3）根據(jù)題意，可得，找到在線段的中垂線上的格點即可得解．【詳解】（1）解：如圖1所示，D點即為所求．(答案不唯一)

（2）如圖2所示，E點即為所求；

由勾股定理，得：，∴四邊形為菱形，∵，∴，∴四邊形為正方形；（3）如圖，

所在直線下方有4個格點到兩點距離相等；故答案為：4．【點睛】本題考查格點作圖．熟練掌握正方形的判定，勾股定理，中垂線的性質(zhì)，是解題的關鍵．25．（本題8分）（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形和正方形（其中點在的延長線上），與相交于點．

(1)若是的中點，求證：；(2)如備用圖1，連接，求的度數(shù)；(3)如備用圖2，連接，相交于點，求證：點在直線上．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）過點作于點，則，，得到，，則，即，則，由得到是等腰直角三角形，即可得到的度數(shù)；（3）連接，，由四邊形是正方形得到，，則直線垂直平分，，，得到，由四邊形是正方形得到，則，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是的中點，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：過點作于點，則，

∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，，∴∴即，∴，∵∴是等腰直角三角形∴；（3）證明：連接，，，

∵四邊形是正方形，∴，，∴直線垂直平分，∵，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴點在的垂直平分線上，即點在直線上．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．26．（本題10分）（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐(1)如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1，四邊形為兩個正方形重疊部分．正方形可繞點轉(zhuǎn)動．則下列結(jié)論正確的是_________（填序號即可）．①；②；③四邊形的面積總等于；④連接，總有．

(2)如圖2，矩形的對角線中點是矩形的一個頂點，與邊相文于點與邊相交于點，連接，矩形可繞著點旋轉(zhuǎn)．①猜想之間的數(shù)量關系，并進行證明；②直接寫出線段之間的數(shù)量關系為_________．

(3)如圖3，在中，，直角的頂點在邊的中點處，它的兩條邊和分別與直線相交于點