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文檔簡介
20222023學年八年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題2.15一次函數(shù)與幾何綜合大題專練(培優(yōu)強化30題)一、解答題1.(2022·江蘇淮安·一模)如圖,已知直線l:y=?12x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,x軸上一點C的坐標為6,0,點P(1)當點P的橫坐標為2時,求△COP的面積;(2)若S△COP=3【答案】(1)9(2)(4,2)或(12,2)【分析】(1)先求出P點的縱坐標,依據(jù)S△COP(2)先求出A、B的坐標,即可得OA、OB,即可求出△AOB的面積,進而可求出△COP的面積,再根據(jù)S△COP=12×OC×(1)∵P點在直線l上,其橫坐標為2,∴當x=2時,y=?1∵C(6,0),∴OC=6,∴S△COP(2)當x=0時,y=?1∴B點坐標為(0,4),∴OB=4,當y=0時,y=?12x+4=0∴A點坐標為(8,0),∴OA=8,∴S△AOB∵S△COP∴S△COP∴S△COP即S△COP=1即yP當yP=2時,y=?1∴此時P點坐標為(4,2),當yP=?2時,y=?1∴此時P點坐標為(12,2),綜上:P點坐標為(4,2)、(12,2).【點睛】本題考查了一次函數(shù)的在幾何問題中的應用,還考查了求解直線與坐標軸交點坐標、三角形面積等知識,熟練掌握一次函數(shù)的性質是解答本題的關鍵.2.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,一次函數(shù)y=?34x+3的圖象與x軸和y軸分別交于點A和點B,將△AOB沿直線CD對折,使點A和點B重合,直線CD與x軸交于點C,與AB(1)求A,B兩點的坐標;(2)求OC的長;(3)設P是x軸上一動點,若使△PAB是等腰三角形,寫出點P的坐標(不需計算過程)【答案】(1)A的坐標為(4,0),點B的坐標為(0,3);(2)78(3)P點坐標為(78【分析】(1)令y=0求出x的值,再令x=0求出y的值即可求出A、B兩點的坐標;(2)OC=x,根據(jù)翻折變換的性質用x表示出BC的長,再根據(jù)勾股定理求解即可;(3)設P點坐標為(x,0),則PA2=x?42,PB2=x2+32【詳解】(1)解:令y=0,則x=4;令x=0,則y=3,∴點A的坐標為(4,0),點B的坐標為(0,3).(2)解:∵點B的坐標為(0,3).∴OB=3,設OC=x,則AC=CB=4﹣x,∵∠BOA=90°,∴OB2+OC2=CB2,32+x2=(4﹣x)2,解得x=78∴OC=78(3)解:∵點A的坐標為(4,0),點B的坐標為(0,3).∴OA=4,OB=3,∴AB=5,設P點坐標為(x,0),則PA2=當PA=PB時,(x?4)2解得x=78當PA=AB時,(x?4)2=5,解得x=9或當PB=AB時,x2+9=5,解得x∴P點坐標為(78【點睛】此題是一次函數(shù)的綜合題,考查的是坐標軸上點的坐標特點、勾股定理及兩點間的距離公式,在解(2)時要注意分類討論,不要漏解.3.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A?3,0,與y軸交于點B,且與正比例函數(shù)y=43(1)求一次函數(shù)y=kx+b的解析式;(2)若點D在第二象限,△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形,直接寫出點D的坐標.【答案】(1)y=(2)(?2,5)或(?5,3)【分析】(1)運用待定系數(shù)法求解即可;(2)分兩種情況,過D作DE⊥x(y)軸于E,求出DE和OE即可得D坐標.【詳解】(1)∵點C(m,4)在直線y=4∴4=4解得m=3;∵點A(?3,0)與C(3,4)在直線y=kx+b上,∴?3k+b=03k+b=4解得k=2∴一次函數(shù)的解析式為y=2(2)①∠DAB=90°,過D作DE⊥x軸于E,如圖:由y=23x+2可得B∴OB=2,∵A(3,0),∴OA=3,∴AB=O∵△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形,∴AD=AB,∠ADE=90°∠DAE=∠OAB,而∠DEA=∠AOB=90°,∴△ADE≌△BAO(AAS),∴AE=OB=2,DE=OA=3,∴OE=OA+AE=5,∴D(5,3),②∠ABD=90°,過D作DE⊥y軸于E,如圖:同①可得:BE=OA=3,DE=OB=2,∴OE=5,∴D(2,5),綜上所述,△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形,D坐標為(5,3)或(2,5)【點睛】本題考查了一次函數(shù)、等腰三角形、等腰直角三角形等綜合知識,解題的關鍵是分類討論.4.(2022·江蘇·八年級專題練習)(1)基本圖形的認識:如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,點E是邊BC上一點,AB=EC,BE=CD,連結AE、DE,求證:△AED是等腰直角三角形.(2)基本圖形的構造:如圖2,在平面直角坐標系中,A(2,0),B(0,3),連結AB,過點A在第一象限內(nèi)作AB的垂線,并在垂線截取AC=AB,求點C的坐標;(3)基本圖形的應用:如圖3,一次函數(shù)y=-2x+2的圖像與y軸交于點A,與x軸交于點B,直線AC交x軸于點D,且∠CAB=45°,求點D的坐標.【答案】(1)見詳解;(2)C5,2【分析】(1)證明△ABE≌△ECD(SAS),由全等三角形的性質得出AE=DE,∠AEB=∠EDC,則可得出結論;(2)過點C作CH⊥x軸于點H,證明△AOB≌△CHA,從而得到AH、CH,則可得到點C的坐標;(3)過點B作BE⊥AB,交AD于點E,過點E作EF⊥OD,交OD于點F,由一次函數(shù)解析式求出OA=2,OB=1,證明△AOB≌△BFE(AAS),由全等三角形的性質得出BF=OA=2,EF=OB=1,求出E點坐標,求出直線AC的解析式,則可得出答案.【詳解】證明:在△ABE和△ECD中,∵AB=EC∴△ABE≌△ECDSAS∴AE=DE,∠AEB=∠EDC∵∠C=90°∴∠EDC+∠DEC=90°∴∠AEB+∠DEC=90°∴∠AED=90°∴△AED是等腰直角三角形;(2)解:過點C作CH⊥x軸于點H,如圖2,則∠AHC=90°.∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°,∴∠OAB=180°?90°?∠HAC=90°?∠HAC=∠HCA.在△AOB和△CHA中,∵∠AOB=∴△AOB≌△CHA(AAS),∴AO=CH,OB=HA,∵A(2,0),B(0,3),∴AO=2,OB=3,∴AO=CH=2,OB=HA=3,∴OH=OA+AH=5,∴點C的坐標為(5,2);(3)解:如圖3,過點B作BE⊥AB,交AD于點E,過點E作EF⊥OD,交OD于點F,把x=0代入y=?2x+2中,得y=2,∴點A的坐標為(0,2),∴OA=2,把y=0代入y=?2x+2,得?2x+2=0,解得x=1,∴點B的坐標為(1,0),∴OB=1,∵AO⊥OB,EF⊥BD,∴∠AOB=∠BFE=90°,∵AB⊥BE,∴∠ABE=90°,∠BAE=45°,∴AB=BE,∠ABO+∠EBF=90°,又∵∠ABO+∠OAB=90°,∴∠OAB=∠EBF,在△AOB和△BFE中,∠OAB=∴△AOB≌△BFE(AAS),∴BF=OA=2,EF=OB=1,∴OF=3,∴點E的坐標為(3,1),設直線AC的解析式為y=kx+b,由題意可得:3k+b=1b=2解得:k=?1∴直線AC的解析式為y=?13令y=0,解得x=6,∴D(6,0).【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)與坐標軸的交點,等腰直角三角形的判定與性質,全等三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.5.(2022·江蘇· 二模)如圖1,在平面直角坐標系中,直線l:y=?33x+43分別與x軸、y軸交于點A點和B點,過O點作OD⊥AB于D點,以OD為邊構造等邊△(1)求A、B點的坐標,以及OD的長;(2)將等邊△EDF,從圖1的位置沿x軸的正方向以每秒1個單位的長度平移,移動的時間為t(s),同時點P從E出發(fā),以每秒2個單位的速度沿著折線EDDF運動(如圖2所示),當P點到F點停止,△DEF也隨之停止.①t=(s)時,直線l恰好經(jīng)過等邊△EDF其中一條邊的中點;②當點P在線段DE上運動,若DM=2PM,求t的值;③當點P在線段DF上運動時,若△PMN的面積為3,求出t的值.【答案】(1)A(12,0);B(0,43);OD(2)①3或6;②t=2411s或83【分析】(1)把x=0,y=0分別代入y=?33x+43,即可求出點A、B的坐標,求出(2)①當直線l分別過DE、DF、EF的中點,分三種情況進行討論,得出t的值,并注意點P運動的最長時間;②分點P在直線l的下方和直線l上方兩種情況進行討論,求出t的值即可;③分點P在DN之間和點P在NF之間兩種情況進行討論,求出t的值即可.(1)解:把x=0代入y=?33x+4∴點B的坐標為0,43把y=0代入y=?33x+43得:∴點A的坐標為12,0,∵tan∴∠BAO=30°,∵OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∴ΔODA∴OD=1(2)①當直線l過DF的中點G時,如圖所示:∵△DEF為等邊三角形,∴∠DFD=60°,∵∠BAO=30°,∴∠FGA=60°?30°=30°,∴∠FGA=∠BAO,∴FA=FG=1∴OF=OA?FA=9,∴OE=OF?EF=9?6=3,∴t=3當l過DE的中點時,如圖所示:∵DE⊥l,DG=EG,∴直線l為DE的垂直平分線,∵△DEF為等邊三角形,∴此時點F與點A重合,∴t=12?6當直線l過EF的中點時,運動時間為t=12?3∵點P從運動到停止用的時間為:6+62∴此時不符合題意;綜上分析可知,當t=3s或6s時,直線l恰好經(jīng)過等邊△EDF其中一條邊的中點;②∵OE=t,AE=12t,∠BAO=30°,∴ME=6t2∴DM=DEEM=t2∵EP=2t,∴PD=62t,當P在直線l的下方時,∵DM=2∴t2解得:t=24當P在直線l的上方時,∵DM=2DP,∴t2=26?2t,解得:t綜上分析可知,t的值為2411s或8③當P在DN之間時,如圖所示:∵∠D=60°,∠DMN=90°,DM=t2∴∠DNM=90°?60°=30°,∴MN=DM×tan60°=3∵DP=6t,∴PN=DN?DP=t?6?t∵∠DNM=30°,∴邊MN的高?=1∵△PMN的面積為3,∴12解得:t=4或t=?1(舍去);當點P在NF之間時,如圖所示:∵∠D=60°,∠DMN=90°,DM=t2∴∠DNM=90°?60°=30°,∴MN=DM×tan60°=3∵DP=6t,∴PN=DP?DN=6?t?t=6?2t,∵∠DNM=30°,∴∠FNA=∠DNM=30°,∴邊MN的高?=1∵△PMN的面積為3,∴12整理得:t2∵Δ=∴此方程無實數(shù)解,∴P在NF間不成立;綜上分析可知,t的值為4s.【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質、等邊三角形的性質、直角三角形的性質、利用三角函數(shù)解直角三角形,熟練掌握含30°的直角三角形的性質并注意進行分類討論是解題的關鍵.6.(2022·江蘇·八年級專題練習)將直線y=?12x+2先向右平移一個單位長度,再向上平移一個單位長度,所得新的直線l與x軸、y軸分別交于A、B(1)求l的解析式;(2)求點A和點B的坐標;(3)求直線y=x+1與直線l以及y軸所圍成的三角形的面積.【答案】(1)y=?(2)A(7,0),B(0,(3)25【分析】(1)利用平移規(guī)則:左加右減,上加下減,進行計算即可;(2)分別令y=0,x=0,求出坐標即可;(3)如圖,將y=?12x+72和y=x+1【詳解】(1)直線y=?12x+2化簡得:y=?1(2)當y=0時,0=?12x+72當x=0時,y=72,(3)解:如圖,D為兩直線的交點,則:y=x+1y=?解得:x=5∴D5當x=0時,y=x+1=1,即y=x+1與y的交點坐標為C0,1∴S△BCD【點睛】本題考查一次函數(shù)的平移以及一次函數(shù)的綜合應用.熟練掌握一次函數(shù)的平移規(guī)則,求出函數(shù)解析式是解題的關鍵.7.(2022·江蘇·八年級專題練習)模型建立:如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點C,過A作AD⊥ED于D,過B作BE⊥ED于E.(1)求證:△BEC≌(2)模型應用:①已知直線l1:y=﹣43x﹣4與y軸交于A點,將直線l1繞著A點逆時針旋轉45°至l②如圖3,矩形ABCO,O為坐標原點,B的坐標為(8,﹣6),A,C分別在坐標軸上,P是線段BC上動點,設PC=m,已知點D在第四象限,且是直線y=?2x+6上的一點,若△APD是不以點A為直角頂點的等腰直角三角形,請求出點D的坐標.【答案】(1)見解析(2)①y=﹣17x﹣4;②(4,﹣2)或(283,﹣383)或(20【分析】(1)先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA,再由AAS定理可知△ACD≌△CBE;(2)①過點B作BC⊥AB于點B,交l2于點C,過C作CD⊥x軸于D,根據(jù)∠BAC=45°可知△ABC為等腰直角三角形,由(1)可知△CBD≌△BAO,由全等三角形的性質得出C點坐標,利用待定系數(shù)法求出直線l2的函數(shù)解析式即可;②分三種情況考慮:如圖3所示,當∠ADP=90°時,AD=PD,設D點坐標為(x,?2x+6),利用三角形全等得到x+6+(?2x+6)=8,得D點坐標;如圖4所示,當∠APD=90°時,AP=PD,設點P的坐標為(8,-m),表示出D點坐標為(14-m,-m-8),列出關于m的方程,求出m的值,即可確定出D點坐標;如圖5所示,當∠ADP=90°時,AD=PD時,同理求出【詳解】(1)證明:∵△ABC為等腰直角三角形,∴CB=CA,又∵AD⊥CD,BE⊥EC,∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180°﹣90°=90°,又∵∠EBC+∠BCE=90°,∴∠ACD=∠EBC,在△ACD與△CBE中,∠D=∠E∠ACD=∠EBC∴△ACD≌△EBC(AAS);(2)解:①過點B作BC⊥AB于點B,交l2于點C,過C作CD⊥x軸于D∵∠BAC=45°,∴△ABC為等腰直角三角形,由(1)可知:△CBD≌△BAO,∴BD=AO,CD=OB,∵直線l1:y=43x∴A(0,-4),B(-3,0),∴BD=AO=4.CD=OB=3,∴OD=4+3=7,∴C(-7,-3)設l2的解析式為y=kx+b(k∴?3=?7k+b∴k=?1∴l(xiāng)2的解析式:y=?②如圖3,當∠ADP=90°時,AD=PD,∵∠APE=90°?∠FPD=∠FDP,∠AEP=∠PFD=90°∴△AEP≌△PFD,∴AE=PF,EP=FD∵點D在第四象限,且是直線y=?2x+6上的一點,∴設D點坐標為(x,-2x+6),∵B的坐標為(8,﹣6),∴ED=x,DF=AE=∴ED+DF=8,即x+6+(?2x+6)=8解得x=4,∴D點坐標(4,-2);如圖4,當∠APD=90°時,AP=PD,同理可得△AEP≌△PFD,過D作x軸的平行線EF,交直線OA于E,交直線BC于F,設點P的坐標為(8,-m),則D點坐標為(14-m,-m-8),由-m-8=-2(14-m)+6,得m=143∴D點坐標(283,-38如圖5,當∠ADP=90°時,AD=PD時,同理可求得D點坐標(203,-22綜上可知滿足條件的點D的坐標分別為(4,-2)或(283,-383)或(203,-【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題,主要考查了點的坐標、矩形的性質、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質以及全等三角形等相關知識的綜合應用,解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形,運用全等三角形的性質進行計算,需要考慮的多種情況,解題時注意分類思想的運用.8.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,在平面直角坐標系中,點O為原點,直線y=?x+4分別交x軸,y軸于點C,A,點B在x軸的負半軸上,且OB=12OC(1)求直線AB的解析式;(2)點P在線段AB上,過點P作PQ∥x軸交AC于點Q,設點P的橫坐標為t,線段PQ的長為d,求d與t之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);(3)在(2)的條件下,在直線AB的右側以線段AP為斜邊作等腰直角△ADP,連接OD,PC,點E在線段PC上,且點E在直線OD的右側,若∠ODE=45°,且CE=52d【答案】(1)直線AB的解析式為y=2x+4(2)d與t之間的函數(shù)關系式為d=?3t(3)D【分析】(1)先由直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標,根據(jù)OB=12OC,求出B(2)過點P作PM⊥x軸于M,過點Q作QN⊥x軸于N,令PQ與y軸的交點為R.由點P在直線AB:y=2x+4上,點P的橫坐標為t,得出Pt,2t+4.根據(jù)PQ∥x軸,Q在直線AC上,得到Q?2t,2t+4,進而得出線段PQ的長d(3)過點O作OH⊥OD交DE延長線于H,連接CH,過點P作GK⊥x軸于K,過點D作DG⊥KP交KP的延長線于G,交y軸于F.先根據(jù)SAS證明△AOD≌△COH,得出AD=CH,∠ADO=∠CHO,再根據(jù)AAS證明△PDE≌△CHE,得出PE=CE,那么PC=2CE=2×52d=5d=?35t.然后在Rt△PKC中,利用勾股定理得出PK2+KC2=PC2,即(2t+4)2+(4?t)2=(?35t)2,求出t,得到P?【詳解】(1)解:∵y=?x+4,∴當x=0時,y=4,∴A0,4當y=0時,0=?x+4,解得x=4,∴C4,0∴OB=1∴B?2,0設直線AB的解析式為y=kx+b,則b=4?2k+b=0解得k=2b=4∴直線AB的解析式為y=2x+4.(2)解:過點P作PM⊥x軸于M,過點Q作QN⊥x軸于N,令PQ與y軸的交點為R.∵點P在直線AB:y=2x+4上,點P的橫坐標為t,∴Pt,2t+4∵PQ∥x軸,∴∠PQN=∠QNC=90°,∴PQ⊥y軸,∴OR=2t+4,∴點Q的縱坐標為2t+4.∵直線AC的解析式為y=?x+4,∴當y=2t+4時,2t+4=?x+4,解得x=?2t,∴Q?2t,2t+4∵∠PMO=∠MNQ=∠PQN=90°,∴四邊形PMNQ是矩形,∴PQ=MN=OM+ON=?t?2t=?3t,即d與t之間的函數(shù)關系式為d=?3t.(3)解:過點O作OH⊥OD交DE延長線于H,連接CH,過點P作GK⊥x軸于K,過點D作DG⊥KP交KP的延長線于G,交y軸于F.∴∠DOH=∠AOC=90°,∴∠AOC?∠DOC=∠DOH?∠DOC,即∠AOD=∠COH.∵∠ODE=45°,∴∠OHD=∠ODH=45°,∴OD=OH,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COH(SAS),∴AD=CH,∠ADO=∠CHO,又∵AD=DP,∴CH=DP.設∠PDO=α,∴∠CHO=∠ADO=90°+α,∴∠PDE=45°+α=∠CHE,又∵∠PED=∠CEH,∴△PDE≌△CHE(AAS),∴PE=CE,CE=52d∴PC=2CE=2×∵Pt,2t+4∴PK=2t+4,CK=4?t.在Rt△PKC中,PK∴(2t+4)解得t1=?45,∴P設點D的橫坐標為n.∵∠AFD=∠DGP=∠ADP=90°,∴∠FAD+∠ADF=90°,∠ADF+∠GDP=90°,∴∠FAD=∠GDP,又∵AD=DP,∴△AFD≌△DGP(AAS),∴PG=DF=n,AF=DG=n+4∵四邊形GKOF為矩形,∴OF=GK=PG+PK=n+12∵AF+OF=OA,∴n+4∴n=2∴D【點睛】本題是綜合題,其中涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,全等三角形、矩形的判定與性質,等腰直角三角形的性質,勾股定理等知識,綜合性較強,有一定難度.準確作出輔助線構造三角形全等,利用數(shù)形結合與方程思想是解題的關鍵.9.(2022·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校八年級期末)如圖1,在矩形OACB中,點A,B分別在x軸、y軸正半軸上,點C在第一象限,OA=8,OB=6.(1)請直接寫出點C的坐標;(2)如圖②,點F在BC上,連接AF,把△ACF沿著AF折疊,點C剛好與線段AB上一點C′重合,求線段CF的長度;(3)如圖3,動點P(x,y)在第一象限,且點P在直線y=2x﹣4上,點D在線段AC上,是否存在直角頂點為P的等腰直角三角形BDP,若存在,請求出直線PD的的解析式;若不存在,請說明理由.【答案】(1)(8,6)(2)CF=3(3)存在,y=3x+26【分析】(1)根據(jù)矩形性質和坐標與圖形性質可求解;(2)由折疊性質得CF=C′F,AC=AC′,∠C=∠A(3)分兩種情況:點P在BC上方和點P在BC下方兩種情況,利用全等三角形的判定與性質求得PF=BE,EP=DF即可求解.(1)解:∵四邊形OACB是矩形,OA=8,OB=6,∴AC=OB=6,BC=OA=8,∠OAC=90°,∴點C坐標為(8,6);(2)解:由折疊性質得:CF=C′F,AC=A∵OA=8,OB=6,∠AOB=90°,∴AB=OA2+OB在Rt△BC′F中,BF=8CF解得:CF=3;(3)解:存在,設P(a,2a-4),當點P在BC上方時,如圖,過點P作EF∥BC交y軸于E,交DC延長線于F,則∠BEP=∠PFD=90°,EF=BC=8,∵∠BPE+∠EBP=90°,∠BPE+∠DPF=90°,∴∠EBP=∠DPF,又BP=PD,∴△BEP≌△PFD(AAS),∴BE=PF=2a46=2a10,DF=PE=a,∴EF=PE+PF=3a10=8,解得:a=6,∴P(6,8),D(8,2),設直線PD的解析式為y=kx+b,則6k+b=88k+b=2,解得:k=?3∴直線PD的解析式為y=-3x+26;當點P在BC下方時,如圖,過點P作EF∥BC交y軸于E,交AC于F,則∠BEP=∠PFD=90°,EF=BC=8,同理可得△BEP≌△PFD(AAS),∴BE=6(2a4)=102a,DF=PE=a,∴EF=PE+PF=10a=8,解得:a=2,∴P(2,0),這與點P在第一象限不符,故舍去,綜上,直線PD的解析式為y=3x+26.【點睛】本題考查求一次函數(shù)的解析式、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形、勾股定理等知識,熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用,利用數(shù)形結合和分類討論思想解決問題是解答的關鍵.10.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(4,0)和點D(2,1.5),與y軸交于點B,將△AOB沿直線CD對折,使點A與點B重合,直線CD與x軸交于點C,與AB交于點D.(1)求一次函數(shù)解析式;(2)求DC的長;(3)點P是x軸上一動點,若△PAB是等腰三角形,直接寫出點P的坐標.【答案】(1)y=?34(2)DC的長為15(3)P點坐標為(78【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可;(2)設點C的坐標為(c,0),可得OC=c,BC=AC=4?c,在Rt△BOC中,用勾股定理列方程求出c的值,再用兩點間距離公式求解即可;(3)求出AB=5,然后分PA=PB,PA=AB和PB=AB三種情形分別求解即可解決問題.【詳解】(1)解:設一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,∵點A(4,0),D(2,1.5)在一次函數(shù)圖象上,∴4k+b=02k+b=1.5,解得:k=?∴一次函數(shù)的解析式為y=?3(2)由(1)知,一次函數(shù)的解析式為y=?3令x=0,則y=3,∴B(0,3),∴OB=3,由折疊知,BC=AC,設點C的坐標為(c,0),∴OC=c,BC=AC=4?c,在Rt△BOC中,根據(jù)勾股定理得,OB∴32∴c=78∴C(78∵D(2,1.5),∴DC=2?7(3)∵A(4,0),B(0,3),∴AB=42當PA=PB時,點P與點C重合,此時P(78當PA=AB=5時,∵A(4,0),∴P(?1,0)或(9,0);當PB=AB時,可得PO=AO=4,∴P(?4,0),綜上所述,若△PAB是等腰三角形,P點坐標為(78【點睛】此題是一次函數(shù)的綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,勾股定理,翻折的性質,等腰三角形的性質等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考常考題型.11.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=?12x+5的圖像l1分別與x,y軸交于A,B兩點,正比例函數(shù)的圖像l2(1)填空:m=___________;正比例函數(shù)l2的表達式為___________;△BOC(2)若點M是直線y=?12x+5上一動點,連接OM,當△AOM的面積是△BOC(3)一次函數(shù)y=kx+1的圖像為l3,且l1,l2,【答案】(1)2,y=2x,5(2)M的坐標為9,(3)32或2或【分析】(1)把m,4代入l1中求得m的值;運用待定系數(shù)法即可得到l2的解析式;求出B0,5(2)根據(jù)題意得點M坐標,根據(jù)△AOM的面積可得x的根,即可求出點M的坐標.(3)不能圍成三角形,即l1//l【詳解】(1)∵點Cm,4在直線l1上,將其代入l1得:∴點C的坐標為2,4設直線l2的解析式為:將C2,4代入得:4=2a,解得:∴直線l2的解析式y(tǒng)=2x如圖,過C作CD⊥AO于D,CE⊥BO于E,則CD=4,CE=2,y=-12x+5∴B∴BO=5∴S△BOC故答案是:2,y=2x,5;(2)由題意可得:A(10,0),OA=10,設Mx,?∵S則有:1解得:x1=11,或故M的坐標為9,1(3)∵一次函數(shù)y=kx+1的圖像為l3,且l∴當l3經(jīng)過點C(2,4)時,k=當l2、l當l1、l故k的值是32或2或?【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像及性質,以及三角形面積的求解,熟練掌握函數(shù)解析式的求法,直線平行的條件是解題的關鍵.12.(2022·江蘇鹽城·八年級期末)如圖,直線y=?13x+2與x軸、y軸分別交于點A(1)求點A、B的坐標;(2)以線段AB為直角邊作等腰直角△ABC,點C在第一象限內(nèi),∠BAC=90°,求點C的坐標.【答案】(1)A6,0,(2)C【分析】(1)令x=0,令y=0,分別代入y=13x(2)過C作CD⊥x軸于點D,則可證得△AOB≌△CDA(AAS),則可求得CD和AD的長,進而可求得C點坐標.(1)根據(jù)題意,直線與x軸、y軸分別交于A、B,令x=0,則y=2;令y=0,則x=6,∴A6,0,B(2)由(1)可知:OA=6,OB=2,如圖,過C作CD⊥AO于D,∠ADC=∠BOA=90°,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAC=90°,∴∠BAO+∠CAD=∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BAO=∠ACD,∴△ABO≌△CADAAS,∴AD=BO=2,CD=AO=6,∴OD=8,∴C【點睛】本題屬于一次函數(shù)與幾何圖形的綜合,主要考查了一次函數(shù)的圖象,全等三角形的性質以及等腰直角三角形的性質,添加合適的輔助線,構造全等三角形是解題的關鍵.13.(2022·江蘇·八年級專題練習)(1)問題解決:如圖1,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=14x+1與x軸交于點A,與y軸交于點B,以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,點A、B、C(2)綜合運用:①如圖2,在平面直角坐標系xOy中,點A坐標(0,﹣6),點B坐標(8,0),過點B作x軸垂線l,點P是l上一動點,點D是在一次函數(shù)y=﹣2x+2圖像上一動點,若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形,請求出點D的坐標.②如圖2,在⑵的條件中,若M為x軸上一動點,連接AM,把AM繞M點逆時針旋轉90°至線段NM,ON+AN的最小值是______.【答案】(1)A(﹣4,0),B(0,1),C(﹣5,4)(2)①D(0,2)或(163,?【分析】(1)利用坐標軸上點的特點可得出A、B的坐標,過點C作CD⊥x軸于D,構造出△ADC≌△BOA,求出AD,CD,即可得出結論;(2)①過點D作DF⊥y軸于F,延長FD交BP于G,設點D(m,﹣2m+2),求出AF,證明△AFD≌△DGP,根據(jù)DF+DG=DF+AF=8列式計算即可;②設M(t,0)過點N作NH⊥x軸交x軸于H,易證△AOM≌△MHN,可得ON+AN=t+62+t2+t+62+t?62=S,故S可以看作點(t,t)到(﹣6,0)和(﹣6,6)兩點距離之和,(t,t)在y=x上,如圖,F(xiàn)(﹣6,0),E(﹣6,6),作F關于y=x的對稱點為P,可知當E、【詳解】(1)解:對于一次函數(shù)y=14x令x=0,y=1,∴B(0,1),令y=0,則14x∴x=﹣4,∴A(﹣4,0),∴OA=4,OB=1,即A(﹣4,0),B(0,1),過點C作CD⊥x軸于D,∴∠ADC=∠BOA=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠CAD+∠BAO=90°,∴∠ACD=∠BAO,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=AB,在△ADC和△BOA中,∠ADC=∠BOA∠ACD=∠BAO∴△ADC≌△BOA(AAS),∴CD=OA=4,AD=OB=1,∴OD=OA+AD=5,∴C(﹣5,4);故答案為:(﹣4,0),(0,1),(﹣5,4);(2)解:①如圖,過點D作DF⊥y軸于F,延長FD交BP于G,∵點A坐標(0,﹣6),點B坐標(8,0),∴DF+DG=OB=8,∵點D在直線y=﹣2x+2上,∴設點D(m,﹣2m+2),∴F(0,﹣2m+2),OF=|2m﹣2|,AF=|2m﹣2﹣6|=|2m﹣8|,∵BP⊥x軸,B(8,0),∴G(8,﹣2m+2),同(1)的方法得,△AFD≌△DGP(AAS),∴AF=DG,DF=PG,∵DF+DG=DF+AF=8,∴m+|2m﹣8|=8,∴m=163或m∴D(0,2)或(163,?(3)設M(t,0),過點N作NH⊥x軸交x軸于H,根據(jù)旋轉的性質易證△AOM≌△MHN,∴OM=HN,OA=HM,∴N(t+6,t),∴ON+AN=t+62+t故S可以看作點(t,t)到(﹣6,0)和(﹣6,6)兩點距離之和,(t,t)在y=x上,如圖,∵D(t,t)是y=x上的動點,F(xiàn)(﹣6,0),E(﹣6,6),∴S=DE+DF,∵F關于y=x的對稱點為P(0,﹣6),DF=DP,∴當E、D、P三點共線時,S取得最小值為EP=?6?02即ON+AN的最小值是65故答案為:65【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質,全等三角形的判定和性質,坐標與圖形的性質,方程的思想,勾股定理等,構造全等三角形是解本題的關鍵.14.(2022·江蘇·八年級專題練習)【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,若點C在直線DE上,且AD⊥DE,BE⊥DE,則△BEC?△CDA.我們稱這種全等模型為“k型全等”.
【遷移應用】設直線y=kx+3(k≠0)與x軸,y軸分別交于A,B兩點.(1)若k=?32,且△ABE是以B為直角頂點的等腰直角三角形,點①直接填寫:OA=______,OB=______;②求點E的坐標.(2)如圖3,若k>0,過點B在y軸左側作BN⊥AB,且BN=AB,連接ON.當k變化時,△OBN的面積是否為定值?請說明理由.【拓展應用】(3)如圖4,若k=?2,點C的坐標為(3,0).設點P,Q分別是直線y=?2和直線AB上的動點,當△PQC是以CQ為斜邊的等腰直角三角形時,求點Q的坐標.【答案】(1)①2,3;②E(3,5)(2)是,理由見解析(3)點Q的坐標為(4,?5)或(【分析】(1)①若k=?32,則直線y=?32x+3與x軸,y軸分別交于A(2,0),B(②作ED⊥OB于D,則△BED≌△ABO.由全等三角形的性質得DE=OB=3,BD=OA=2,即可求解;(2)過點N作NM⊥OB于M,則△BMN≌△AOB.由全等三角形的性質得MN=OB=3,根據(jù)三角形的面積公式即可求解;(3)過點P作PS⊥x軸于S,過點Q作QT⊥PS于T,證明△PCS≌△QPT.分兩種情況,由全等三角形的性質得QT=PS,PT=SC,可得點Q的坐標,將點Q的坐標代入y=﹣2x+3求得n的值,即可求解.【詳解】(1)解:①若k=?32,則直線y=kx+3(k≠0)為直線y=?3當x=0時,y=3,當y=0時,x,2,∴A(2,0),B(0,3),∴OA=2,OB=3,故答案為:2,3;②作ED⊥OB于D,∴∠BDE=∠AOB=90°,∵∠ABO+∠EBD=90°=∠ABO+∠BAO,∴∠BAO=∠EBD,又∵△ABE是以B為直角頂點的等腰直角三角形,∴AB=BE,∴△BED≌△ABO(AAS),∴DE=OB=3,BD=OA=2,∴OD=OB+BD=5,∴點E的坐標為(3,5);(2)解:當k變化時,△OBN的面積是定值,S△OBN=92過點N作NM⊥OB于M,∴△BMN≌△AOB(AAS).∴MN=OB=3,∴S△OBN=12OB?MN=12×3×3=∴k變化時,△OBN的面積是定值,S△OBN=92(3)解:n<3時,過點P作PS⊥x軸于S,過點Q作QT⊥PS于T,∴△PCS≌△QPT(AAS).∴QT=PS=2,PT=SC=3﹣n,∴ST=5﹣n,∴點Q的坐標為(2+n,n﹣5),∵k=﹣2,∴直線y=﹣2x+3,將點Q的坐標代入y=﹣2x+3得,n﹣5=﹣2(2+n)+3,解得:n=43∴點Q的坐標為(103,?n>3時,過點P作PS⊥x軸于S,過點Q作QT⊥PS于T,∴△PCS≌△QPT(AAS).∴QT=PS=2,PT=SC=n﹣3,∴ST=n﹣1,∴點Q的坐標為(n﹣2,1﹣n),∵k=﹣2,∴直線y=﹣2x+3,將點Q的坐標代入y=﹣2x+3得,1﹣n=﹣2(n﹣2)+3,解得:n=6,∴點Q的坐標為(4,﹣5).綜上,點Q的坐標為(103,?【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了一次函數(shù)的圖像及性質,等腰直角三角形的性質,全等三角形的判定與性質,熟練掌握一次函數(shù)的圖像及性質,構造全等三角形解題是關鍵.15.(2022·江蘇泰州·八年級期末)(1)操作思考:如圖1,在平面直角坐標系xOy中,等腰RtΔACB的直角頂點C在原點,將其繞著點O旋轉,若頂點A恰好落在點(2,3)處.則:①OA的長為;②點B的坐標為.(2)感悟應用:如圖2,在平面直角坐標系xOy中,將等腰RtΔACB如圖放置,直角頂點C(2,0),點A(0,5),試求直線AB的函數(shù)表達式.(3)拓展研究:如圖3,在平面直角坐標系xOy中,點B(5,4),過點B作BA⊥y軸,垂足為點A,作BC⊥x軸,垂足為點C,P是線段BC上的一個動點,點Q是直線y=3x10上一動點.問是否存在以點P為直角頂點的等腰RtΔAPQ,若存在,請求出此時點P的坐標,若不存在,請說明理由.【答案】(1)①13,②(﹣3,2)(2)直線AB的函數(shù)表達式y(tǒng)=37(3)存在,P的坐標為:(5,1)或(5,3).【分析】(1)由A(2,3)可得,OF=2,AF=3,OA=13,由“AAS”可證△BEO≌△OFA,BE=OF=2,OE=AF=3(2)同(1)可證△BHC≌△COA,可得HC=OA=5,BH=CO=2,可得點B(﹣7,2).利用待定系數(shù)法可求一次函數(shù)解析式;(3)分兩種情況討論①當點Q在x軸下方時,②當點Q在x軸上方時.根據(jù)等腰Rt△APQ構建一線三直角,從而求解.(1)解:如圖1,作BE⊥x軸于點E,AF⊥x軸于點F,∴∠BEO=∠AFO=∠AOB=90°,∴∠AOF+∠BOE=90°=∠AOF+∠FAO,∴∠BOE=∠FAO,∵A(2,3),∴OF=2,AF=3,OA=OF∵∠BEO=∠AFO,AO=OB,∠BOE=∠FAO,∴△BEO≌△OFA(AAS),∴BE=OF=2,OE=AF=3,∴B(﹣3,2).故答案為:13,(﹣3,2);(2)如圖2,過點B作BH⊥x軸于點H,∴∠BHO=∠AOC=90°=∠ACB,∴∠ACO+∠CAO=90°=∠ACO+∠BCH,∴∠CAO=∠BCH,又∵∠AOC=∠BHC=90°,AC=CB,∴△BHC≌△COA(AAS),∴HC=OA=5,BH=CO=2,OH=HC+CO=5+2=7,∴B(﹣7,2),設直線AB的表達式為y=kx+b,b=5?7k+b=2解得k=3∴直線AB的函數(shù)表達式y(tǒng)=37x(3)如圖3,設Q(t,3t﹣10),分兩種情況:①當點Q在x軸下方時,Q1M∥x軸,與BP的延長線交于點Q1.∵∠AP1Q1=90°,∴∠AP1B+∠Q1P1M=90°,∵∠AP1B+∠BAP1=90°,∴∠BAP1=Q1P1M,在△AP1B與△P1Q1M中,∠Q1∴△AP1B≌△P1Q1M(AAS),∴BP1=Q1M,P1M=AB=5,∵B(5,4),Q(t,3t﹣10),∴MQ1=5﹣t,BP1=BM﹣P1M=[4﹣(3t﹣10)]﹣5=﹣3t+9,∴5﹣t=﹣3t+9,解得t=2,∴BP1=﹣3t+9=3,∴P1(5,1);②當點Q在x軸上方時,Q2N∥x軸,與PB的延長線交于點Q2.同理可證△ABP2≌△P2NQ2.∴BP2=NQ2,NP2=AB=5,∵B(5,4),Q(t,3t﹣10),∴NQ2=t﹣5,BP2=P2N﹣NB=5﹣(3t﹣10﹣4)=19﹣3t,∴t﹣5=19﹣3t,解得t=6,即BP2=1,∴P2的坐標為(5,3).綜上,P的坐標為:(5,1)或(5,3).【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了一次函數(shù)性質,全等三角形的判定和性質,等腰直角三角形的性質,熟練掌握一次函數(shù)的性質與三角形全等判定是解題的關鍵.16.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖①,已知直線y=?2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C,以OA、(1)求點A、(2)將△ABC對折,使得點A的與點C重合,折痕B'D'交AC于點B',交AB于點D,求直線CD的解析式(圖②);(3)在坐標平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得△APC與△ABC全等,若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由.【答案】(1)A(2,0)(2)y=?(3)存在,P【分析】(1)對于直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C,即可求得A和C的坐標;(2)根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形,算出AD長即可求得D點坐標,最后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式即可;;(3)分三種情況,根據(jù)翻折的性質以及勾股定理、等面積法,即可求得符合題意的點P的坐標.【詳解】(1)對于直線y=2x+4,當x=0時,y=4;當y=0時,x=2∴A(2,0),C(0,4),故答案是:(2,0),(0,4);(2)∵四邊形OABC是矩形,∴AO//BC,且BC=AO=2;AB//OC,且AB=OC=4,∵則B(2,4).由折疊知:CD=AD.設AD=x,則CD=x,BD=4x,根據(jù)題意得:(4x)2+22=x2,解得,x=5此時,AD=5∴D(2,52設直線CD為y=kx+b,把D(2,52),C2k+b=5解得,k=?∴直線CD解析式為y=?(3)情形1:如圖①,由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB,AB=CP,AP=BC=2則點P在直線CD上.過P作PQ⊥AD于點Q,在Rt△ADP中,AD=52,PD=BD=452=由12×AD×PQ=12∴PQ=65∴xP=2+65=16把x=165代入y=34x+4,得y=此時P(165,8情形2:∵四邊形OABC是矩形,∴OA=BC,AB=OC,∠AOC=∠B=90°∴△AOC≌△CBA當點P與點O重合時,△APC≌△CBA,此時P(0,0).情形3:如圖②,由△APC≌△CBA得PC=BC=2,AP=AB=4,∠APC=∠ABC=過點P作PG⊥OC于點G,AP與OC交于點H,設PH=x,則AH=4?x,在RtΔPCH∵CO=4,∴OH=CO?CH=4?在RtΔAOH∴(4?解得,x=經(jīng)檢驗,x=3∴CH=∴OH=4?設GH=y,則CG=在RtΔPGH在RtΔPGC∴9解得,y=910∴OG=GH+OH=∴PG=∴P綜上,點P的坐標為P【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題,主要考查了折疊的性質,一次函數(shù)圖象及其性質,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,等腰三角形的性質,全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識,分類討論思想的運用是解題的關鍵.17.(2022·江蘇·八年級專題練習)在平面直角坐標系xOy中,直線y=x?b與y=kx+4的交點為點A3,1(1)求k,b的值;(2)已知點Pn,n,經(jīng)過P作平行于x軸的直線,交直線y=x?b于點M,過P點作平行于y軸的直線,交直線y=kx+4于點N①當n=1時,判斷線段PM與PN的數(shù)量關系,并說明理由;②若PN≥PM,結合函數(shù)的圖象,直接寫出n的取值范圍.【答案】(1)b=2,k=?1.(2)①PM=PN;②n≥3【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得相應值;(2)①代入后分別求得PM和PN的長度,比較即可;②結合Pn,n的坐標特點可知P點在直線y=x上運動,PM恒等于2,由此即可得出n(1)解:∵直線y=x?b與y=kx+4的交點為點A3,1,∴1=3?b,1=3k+4,解得b=2,k=?1(2)①如下圖所示,當n=1時,P(1,1),1=x?2,解得x=3,M(3,1),y=?x+4=?1+4=3,N(1,3),∴PM=3?1=2,PN=3?1=2,∴當n=1時,PM=PN,②如下圖所示,可知P點在直線y=x上運動,∴PM恒等于2,PN=|?n+4?n|=|2n?4|,當PN≥PM,2n【點睛】本題考查求一次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)的應用等.(1)中掌握待定系數(shù)法是解題關鍵;(2)中能得出PM的長度恒不變是解題關鍵.18.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸、y軸分別交于點A10,0,B0,5.點F是線段AB上的一個動點(不與A,B重合),連接(1)求一次函數(shù)的解析式:(2)求△OAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;(3)當△OAF的面積S=1①判斷此時線段OF與AB的數(shù)量關系并說明理由;②第一象限內(nèi)是否存在一點P,使△PAF是以AF為直角邊的等腰直角三角形,若存在,請直接寫出點P的坐標,若不存在,請說明理由.【答案】(1)y=?(2)S=?(3)①OF=12AB,理由見解析;②存在,點P的坐標為15【分析】(1)將點A,B的坐標代入一次函數(shù)解析式求出k,b的值即可;(2)寫出F點的坐標,然后根據(jù)三角形面積公式列函數(shù)關系式;(3)①根據(jù)三角形面積列方程求點F的坐標,然后利用勾股定理求得OF與AB的長,從而求解;②根據(jù)全等三角形的判定和性質求解.【詳解】(1)解:將點A10,0,點B10k+b=0b=5,解得:k=?∴一次函數(shù)的解析式為y=?1(2)解:∵點F是線段AB上的一個動點(不與A,B重合),設點F的橫坐標為x,過點F作FE⊥x軸,∴F點坐標為x,?1∴△OAF的面積:S=1∴△OAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式為S=?5(3)解:①OF=1當△OAF的面積S=1?5解得:x=5,∴F點坐標為5,5∵FE⊥x軸,∴在Rt△OEF中,OF=∵在Rt△AOB中,AB=∴OF=1②存在,點P的坐標為152,15詳解如下:過點F作NG⊥x軸,過點P1作P1N⊥NE,過點P情況一:∵△AFP∴AF=P1∴∠NF∴∠N在△FNP1和∠P∴△FNP∴P1N=EF=5∴NE=EF+NF=15∴P15+5情況二:∵△AFP∴AF=AP2,∴∠P∴∠P在△P2MA∠AMP∴△P∴AM=EF=52,∴OM=OA+AM=25∴P2綜上所述,點P的坐標為152,15【點睛】本題考查一次函數(shù)解析式的確定和一次函數(shù)的應用,勾股定理,全等三角形的判斷和性質,三角形的面積等知識.掌握相關性質定理并利用分類討論思想解題是關鍵.19.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,在平面直角坐標系中,長方形OABC的兩個頂點坐標為A(3,0),B(3,2).(1)求對角線AC所在直線對應的函數(shù)解析式;(2)若點P在x軸上,且S△CAP=2【答案】(1)y=?(2)y=?2x+2或y=?【分析】(1)確定C點的坐標,可以根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.(2)確定P的坐標,可以根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.(1)解:設直線l對應的函數(shù)解析式為y=kx+b,依題意A(3,0),B(3,2),得C(0,2),由A(3,0),C(0,2)在直線l上,得{3k+b=0解得{k=?故直線l對應的函數(shù)解析式為y=?2(2)解:∵S∴AP=2∵A(4,0),∴P(1,0)或(5,0)設直線CP的解析式為y=mx+2,把P的坐標代入得,0=m+2或0=5m+2解得m=?2或m=?2∴直線CP所對應的函數(shù)解析式為y=?2x+2或y=?2【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,矩形的性質,熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵.20.(2022·江蘇·八年級專題練習)如圖,一次函數(shù)y1=13x+1的圖象分別與x軸,y軸交于點A,B,以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.設直線BC的解析式為(1)求A,B兩點的坐標,并直接寫出y2(2)若射線BC上存在一點P,使得四邊形AOBP的面積為4,求點P的坐標.(3)若點M為x軸上的動點,點N為直線BC上的動點,直接寫出CM+MN的最小值.【答案】(1)A?3,0,B0,1(2)(2,2)(3)12【分析】(1)分別將x=0,y=0代入y1=13x+1(2)連接AP,過點P作PE⊥AD于點E,四邊形AOBP的面積為S△APD?S△OBD=4(3)作點C關于x軸的對稱點C',過點C'作C'N⊥CB于點N,交x軸于點M,連接C'D,根據(jù)勾股定理C'C2?CN2【詳解】(1)解:將y=0代入y1=1將x=0代入y1=1∴A?3,0,B如圖1,過點C作CE⊥x軸于點E∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC,∠BAC=90°∵∠CAE+∠BAO=90°,∠BAO+∠ABO=90°∴∠CAE=∠ABO∵AB=AC,∠CAE=∠ABO,∠CEA=∠A0B∴△CEA≌△A0B∴AE=BO=1,CE=A0=3則C(4,3)把C(4,3),B0,1代入y?4k+b=3b=1解得k=?1∴y2(2)解:連接AP,過點P作PE⊥AD于點E,如圖2,令y2=0,∴x=2,∴D2,0∵四邊形AOBP的面積為4,∴S△APD設點Pm,?∴PE=?1∴12∴m=?2,?1∴點P的坐標為(2,2).(3)解:如圖3,作點C關于x軸的對稱點C',過點C'作C'N⊥CB于點N,交x軸于點M.,∵C(4,3)∴C'(4,3)∴CC'=6當y=0時,0=?12x+1,解得xCD=(2+4)2設CN=x,則DN=3連接C'D,則C'D=CD=3∵C'6解得:x=∴C'N=∵CM+MN=C'M+MN=C'N∴CM+MN最小是12【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質與直角三角形相結合,熟練的掌握一次函數(shù)的圖像和性質,能夠用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式,根據(jù)函數(shù)表達式設出未知點,以及會用勾股定理求解線段的長度是解題的關鍵.21.(2022·江蘇南通·八年級期末)定義:在平面直角坐標系中,點Mx1,y1,Nx2,y2,若x1?在平面直角坐標系xOy中,A1,2,Bm,n,A(1)當m=?1時,求n的值;(2)若點B在直線y=kx上,且A,B兩點的正等距等于3,求k的值;(3)若S△AOB=3,求點【答案】(1)0(2)12或(3)7,8或?5,?4【分析】(1)根據(jù)互為正等距點的定義,可得1?m=2?n,即m?n=?1,把m=?1代入即可求得n的值;(2)由正等距的定義可得出與A(1,2)的正等距等于3的點為(4,5)或(?2,?1),分別代入直線解析式即可得出結論;(3)由(1)可知n=m+1,即可得出A(1,2),B(m,n)在直線y=x+1上,利用三角形面積公式得到12×1×|m?1|=3,解得m=7或m=?5,即可求得點B的坐標為(7,8)或(1)解:當m=?1時,B?1,n,∵A,B互為正等距點,∴(2)將Bm,n代入y=kx得,n=km,∴Bm,km∴1?m=3當1?m=3時,m=?2,則2+2k=3,解得:k=12;當m?1=3時,m=4,則4k?2=3(3)由(1)可知n=m+1,∴A(1,2),B(m,n)在直線y=x+1上,設直線y=x+1與y軸的交點為C,則C(0,1),如圖,∵SΔAOB=3,∴SΔAOC+SΔBOC=12×1×|m?1|=3,【點睛】本題屬于新定義類問題,涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式,一次函數(shù)的圖象和性質,坐標與圖形性質,理解互為正等距點的定義是解題的關鍵.22.(2022·江蘇揚州·八年級期末)(1)如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,點E是邊BC上一點,AB=EC,BE=CD,連接AE、DE.判斷△AED的形狀,并說明理由;(2)在平面直角坐標系中,已知點A(2,0),點B(5,1),點C在第一象限內(nèi),若△ABC是等腰直角三角形,求點C的坐標;(3)如圖2,在平面直角坐標系中,已知點A(0,1),點C是x軸上的動點,線段CA繞著點C按順時針方向旋轉90°至線段CB,連接BO、BA,則BO+BA的最小值是.【答案】(1)等腰直角三角形,見解析;(2)(1,3),(4,4),(3,2);(3)5【分析】(1)證明△ABE≌△ECD(SAS),即可求解;(2)分三種情況:當∠CAB=90°時,AC=BA;當∠ABC=90°,AB=BC時;當∠ACB=90°,AC=BC時;分別構造三角形全等,由(1)的結論求解即可;(3)在x軸上取D(1,0),在y軸上截取AE=CD,連接EC,BD,通過證明△AEC≌△CDB(SAS),確定B點在直線y=x﹣1上運動,作A點關于直線BD的對稱點A',連接A'G,A'O,A'B,當O、B、A'三點共線時,AB+OB有最小值,求出A'(2,﹣1),在求出OA'=5【詳解】解:(1)△AED是等腰直角三角形,理由如下:在△ABE和△ECD中,AB=EC∠B=∠C∴△ABE≌△ECD(SAS),∴∠AEB=∠EDC,∠BAE=∠DEC,∴∠AEB+∠DEC=∠AEB+∠BAE=90°,∴∠AED=90°,∴△AED是等腰直角三角形;(2)①如圖1,當∠CAB=90°時,AC=BA,過點B作BH⊥x軸交于H點,過點C作GC⊥x軸交于點G,由(1)可得△ACG≌△BAH(AAS),∴CG=AH,AG=BH,∵A(2,0),點B(5,1),∴BH=AG=1,AH=3,∴C(1,3);②如圖2,當∠ABC=90°,AB=BC時,過點B作LK⊥x軸交x軸于點L,過點C作CK⊥LK交于點K,由(1)可得△ABL≌△BCK(AAS),∴AL=BK,BL=CK,∵點A(2,0),點B(5,1),∴BL=CK=1,AL=BK=3,∴C(4,4);
③如圖3,當∠ACB=90°,AC=BC時,過點C作EF∥x軸,過點A作AE⊥x軸交EF于點E,過點B作BF⊥x軸交EF于點F,由(1)可得△EAC≌△FCB(AAS),∴EC=BF,AE=CF,∵點A(2,0),點B(5,1),∴EF=3,CE=BF,AE=CF,設C(x,y),∴BF=y(tǒng)﹣1,AE=y(tǒng),∴y﹣1+y=3,∴y=2,∴AE=2,EC=1,∴C(3,2);綜上所述:C點坐標為(4,4)或(1,3)或C(3,2);(3)如圖4,在x軸上取D(1,0),在y軸上截取AE=CD,連接EC,BD,∵∠ACB=90°,∴∠DCB=90°+∠OCA,∵∠EAC=90°+∠OCA,∴∠DCB=∠EAC,∵EA=CD,AC=BC,∴△AEC≌△CDB(SAS),∴∠ECA=∠DBC,∵∠ECA+∠ECB=90°,∴∠DBC+∠ECB=90°,∴BD⊥EC,∵OC=OE,∴∠ECO=∠BDC=45°,∴∠ODG=45°,∴G(0,﹣1),設直線BD的解析式為y=kx+b,∴k+b=0b=?1∴k=1b=?1∴y=x﹣1,∴B點在直線y=x﹣1上運動,作A點關于直線BD的對稱點A',連接A'G,A'O,A'B,∴OB=BA',∴AB+OB=AB+BA'≥OA',∴當O、B、A'三點共線時,AB+OB有最小值,∵GD垂直平分AA',GA=GA',AD=GD,∴A'G⊥AG,∴A'(2,﹣1),∴OA'=5∴AB+OB的最小值為5,故答案為:5.【點睛】本題是四邊形的綜合題,熟練掌握三角形全等的判定與性質,軸對稱求最短距離的方法是解題的關鍵.23.(2022·江蘇南通·八年級期中)如圖,直線y=kx+4分別與x,y軸交于點A,B,與直線y=12x(1)n=________,k=________;(2)若P為線段BC上一點,且SΔPOC=(3)將直線y=kx+4位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,直線的其他部分保持不變,組成一個“V”形圖象,Q是“V”形圖象上一點,若ΔQOC的面積為m(m為常數(shù)且m>0),試結合m的取值范圍確定Q點的個【答案】(1)n=1,k=?3(2)P(5(3)當0<m<43時,滿足條件的點Q有4個;當m=43時,滿足條件的點Q有3個,當【分析】(1)把點C(2,n)代入解析式y(tǒng)=12x中,可直接求出n的值;再把點C的坐標代入y=kx+4(2)先根據(jù)解析式y(tǒng)=?32x+4可求出點A和點B的值,進而可求出ΔAOC的面積,則可求出ΔPOC(3)根據(jù)題意先畫出圖形,可知需要分三種情況,當0<m<43,m>4(1)解:把點C(2,n)代入解析式y(tǒng)=12x∴C(2,1),把點C的坐標代入y=kx+4中,則1=2k+4,解得k=?3故答案為:1,?3(2)解:設P(x,∵直線y=?32x+4分別與x,y軸交于點A當y=0時,?3解得:x=8∴A(∵C(2,∴S∵S∴S∴S∴y=3∴?3解得x=5∴P(5(3):解:函數(shù)y=|?3當點Q和點A重合時,SΔ即m=4由圖可知,當m=43時,滿足條件的點當m>4當0<m<2時,滿足條件的點有4個,故當0<m<43時,滿足條件的點Q有4個;當m=43時,滿足條件的點Q有3個,當【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形的面積等知識,還包括數(shù)形結合思想等內(nèi)容,解題的關鍵是運用數(shù)形結合及分類討論的思想求解.24.(2022·江蘇·八年級專題練習)在平面直角坐標系xOy中,給出以下定義:對于x軸上點M(a,0)(其中a為正整數(shù))與坐標平面內(nèi)一點N,若y軸上存在點T,使得∠MTN=90°,且MT=NT,則稱點N為a寶點,如示例圖,我們可知點N(?1,0)為1寶點,理由如下:在x軸上取點M(1,0),以MN為斜邊作等腰直角三角形MNT,可以算得一個點T(0,1),它是在y軸上的,因此點N(?1,0)為1寶點.(1)如圖①,在點A(2,0),B(2,?2),C(0,1),D(?2,0)中,2寶點是點________;(填“A”“B”“C”或“D”)(2)如圖②,若一次函數(shù)y=3x?2的圖象上存在2寶點,求這個2寶點的坐標;(3)若一次函y=kx+b(k≠0)的圖象上存在無數(shù)個3寶點,求該一次函數(shù)的解析式.【答案】(1)D(2)這個2寶點的坐標為(2,4)或(0,?2)(3)y=x+3或y=?x?3【分析】(1)取點T(0,2),連接DT,AT,可得△ADT是等腰直角三角形,即知2寶點是點D;(2)設2寶點為點A′;①當A′在x軸上方時,過A′作A′F⊥y軸于F,證明△A'FE≌△EOA(AAS),得EF=AO=2,A′F=OE,設OE=A′F=m,則OF=OE+EF=m+2,則A′(m,m+2),將A′(m,m+2)代入y=3x?2可得A′2,4;②當A′在(3)設直線y=x+3上任意一點E′(t,t+3),連接EE′,作EE′的垂直平分線交y軸于R,交EE′于P,過P作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N,可得RE=RE′,PE=PE′,Pt+32,t+32,從而可得△PRN≌△PAM(ASA),PR=PE=PE′,即知∠ERE【詳解】(1)解:取點T(0,2),連接DT,AT,如圖:∵D(?2,0),A(2,0),T(0,2),∴OT=OD=OA=2,∴AT=22+22∴AT2+D∴△ADT是等腰直角三角形,∴D是2寶點,∵A點在x軸上且在(2,0)處,∴A點不可能為2寶點,∵在y軸上不能找出一點與B和(2,0)構成一個頂點在y軸上的等腰直角三角形,∴B點不可能為2寶點,∵點C的坐標為(0,1),在y軸上不能找出一點與C和(2,0)構成一個頂點在y軸上的等腰直角三角形,∴C點不可能為2寶點,∴在點A(2,0),B(2,?2),C(0,1),D(?2,0)中,2寶點是點D.故答案為:D.(2)設2寶點為點A′①當A′在x軸上方時,過A′作A′F⊥y∵A′∴∠A′EA=90°,A′E=∴∠A′EF=90°?∠AEO=∠EAO∵∠A′FE=∠EOA∴△A′FE≌△EOA∴EF=AO=2,A′F=OE設OE=A′F=m,則OF=OE+EF=m∴A′(m,m將A′(m,m+2)代入y=3xm+2=3m?2,解得m=2,∴A′②當A′在x軸下方時,過A′作A′H⊥y同①可證明△AOG≌△GHA′∴A′H=OG,GH=OA設A′H=OG=n,則OH=GH?OG=2?n∴A′(?n,n將A′(?n,n?2)代入y=3xn?2=?3n?2,解得n=0,∴A′綜上所述,A′點的坐標為(2,4)或(0,(3)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象上存在無數(shù)個3寶點,該一次函數(shù)的所有表達式為y=x+3或y=?x?3,理由如下:當一次函數(shù)為y=x+3時,設直線y=x+3上任意一點E′(t,t+3),連接EE′,作EE′的垂直平分線交y軸于R,交EE′于P,過P作PM⊥x軸于M∵PR是線段EE∴RE=RE′,PE=P∴∠RPE=∠RPE∵E(3,0),E′(t,t∴Pt+32∵PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N,∴PM=PN=t+32而∠RPN=90°?∠NPE=∠APM,∠PNR=∠PME=90°,∴△PRN≌△PEM(ASA),∴PR=PE,∴PR=PE=PE∴△PRE與△PRE∴∠ERP=∠E'RP=45°,∴∠ERE根據(jù)寶點定義,E′是3的寶點,即直線y=x∴一次函數(shù)y=x+3的圖象上存在無數(shù)個3的寶點,同理可證一次函數(shù)y=?x?3的圖象上存在無數(shù)個3的寶點.故答案為:y=x+3或y=?x?3.【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合應用,涉及新定義、全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形的性質及應用等知識,解題的關鍵用含字母的代數(shù)式表示相關點的坐標,掌握函數(shù)圖象上點坐標特征及應用.25.(2022·江蘇宿遷·八年級期末)如圖,已知直線y=?43x+4分別與x,y軸交于點A、B,與直線y=kx相交于點C2,n,點(1)n=______,k=______;(2)若點P在射線CA上,且S△POC=2S(3)若△POC的面積為1,求點P的坐標.(4)點Q在函數(shù)y=?43x+4的圖像上,若△QOC的面積為m(m為常數(shù)且【答案】(1)43,(2)P(3)P32(4)當0<m<2時,點Q有4個,當m=2時,點Q有3個;當m>2時,點Q有2個【分析】(1)根據(jù)題意,將點C2,n代入到y(tǒng)=?43(2)根據(jù)題意,推導得S△AOP=S△AOC,根據(jù)坐標和一次函數(shù)的性質,得點P縱坐標絕對值(3)根據(jù)三角形面積關系、一次函數(shù)的性質,分點P在BC上、點P在AC上、在x軸下側、y軸左側四種情況分析,即可得到答案;(4)過點A作AD⊥y軸,根據(jù)一次函數(shù)圖象和絕對值的性質,得函數(shù)y=?43x+4的圖象關于直線AD對稱;結合(3)的結論,分0<m<2、m=2、(1)解:∵直線y=?43x+4與直線∴n=?4∴C2,∴2k=4∴k=2故答案為:43,2(2)如圖,∵S△POC=2S∴S△AOP∴點P和點C的縱坐標絕對值相等,符號相反,∵C2,43,點P和點C∴點P縱坐標絕對值?4設Pp,?∴?4∴p=4,∴P4,?(3)當點P在BC上,如圖:∵直線y=?43x+4與y∴當x=0時,y=4,即B0,4∴OB=4,∵C2,∴S△BOC∵S△POC∴S△POB設點P橫坐標為xP∴S△POB∴xP把xP=3得y=2,∴P3若點P在AC上,如圖,∵直線y=?43x+4與x∴當y=0時,?4∴x=3,即A3,0∴OA=3,∵C2,∴S△AOC∵S△POC∴S△POA設點P縱坐標為yP∴S△POA∴yP把yP=2得x=5∴P5∵S△BOC=4∴點P在x軸下側、或y軸左側時,△POC的面積為1不成立,∴P32,2(4)根據(jù)(3)的結論,得:S△AOC如圖,過點A作AD⊥y軸,函數(shù)y=?43當0<m<2時,S△QOC∴點Q分別在線段BC和線段AC上,如下圖:∵函數(shù)y=?43∴點Q有4個;當m=2時,得:S△QOC∴點Q在線段BC上或點Q和點A重合,如下圖:∵函數(shù)y=?43∴點Q有3個;當m>2時,得:S△QOC∴點Q在點C左側,∵函數(shù)y=?43∴點Q有2個,綜上,當0<m<2時,點Q有4個,當m=2時,點Q有3個;當m>2時,點Q有2個.【點睛】本題考查了絕對值、軸對稱、一次函數(shù)、一元一次方程、直角坐標系的知識;解題的關鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖象、軸對稱的性質,從而完成求解.26.(2022·江蘇揚州·八年級期末)如圖,已知一次函數(shù)y=2x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,點D為平面內(nèi)一點,(1)點D(?4,?2)_______一次函數(shù)(2)若一次函數(shù)y=?12x+b的圖象經(jīng)過點D(?4,?2)①求BC的長;②求證:AB平分∠OBC;③若正比例函數(shù)y=mx的圖象與一次函數(shù)y=2x+6的圖象交于點P,且點O、點P到一次函數(shù)y=?12x+b的圖象的距離相等,則符合條件的m【答案】(1)在(2)①BC=10;②見解析;③?12【分析】(1)將點D坐標代入解析式可求解;(2)①分別求出點B,點C坐標,由勾股定理可求解;②由“SSS”可證△ABE≌△ABC,可得∠ABE=∠ABC,可得結論;③分兩種情況討論,利用全等三角形的性質和平行線的性質可以求解.(1)解:在,理由如下:∵當x=?4時,y=2×(?4)+6=?2,∴點D(?4,?2)在一次函數(shù)故答案為:在;(2)解:①∵一次函數(shù)y=?12x+b∴?2=?1∴b=?4,∴y=?1當y=0時,x=?8,∴點C(?8,0),∴OC=8,∵一次函數(shù)y=2x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,∴點A(?3,0),點B(0,6),∴OB=6,OA=3,∴BC=OB2+O②如圖1,取點E(0,﹣4),連接AE,∴BE=BO+OE=10=BC,∵AO=3,∴AC=8﹣3=5,AE=OA2+O∴AE=AC,在△ABE和△ABC中,AB=ABAE=AC∴△ABE≌△ABC(SSS),∴∠ABE=∠ABC,∴AB平分∠OBC;③當點O,點P在直線DC的同側時,∵O、P到一次函數(shù)y=?1∴OP與直線y=?1∴m=?1當點O,點P在直線DC的異側時,過點O作OH⊥CD于H,連接PD,∵yAB=2x+6,∴k∴AB⊥CD,∴PD⊥CD,即點P到一次函數(shù)y=?12x+b∵O、P到一次函數(shù)y=﹣12x+b∴OH=PD,又∵∠PFD=∠OFH,∠PDF=∠OHF,∴△PDF≌△OHF(AAS),∴PF=OF,∵直線y=mx的圖象與直線y=2x+6的圖象交于P點,∴y=mxy=2x+6解得x=6∴點P(6m?2,6m∴點F坐標為(3m?2,3m∵點F在一次函數(shù)y=?1∴3mm?2=?12∴m=13故答案為:?12或【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題,考查了一次函數(shù)的性質,全等三角形的判定和性質,勾股定理,學會利用分類討論思想是解第二問第3小問的關鍵.27.(2022·江蘇揚州·八年級階段練習)如圖,在平面直角坐標系中,已知直線PA是一次函數(shù)y=x+m(m>0)的圖象,直線PB是一次函數(shù)y=﹣3x+n(n>m)的圖象,點P是兩直線的交點,點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標軸的交點.(1)用m、n分別表示點A、B、P的坐標及∠PAB的度數(shù);(2)若四邊形PQOB的面積是112,且CQ=12AO,試求點P的坐標,并求出直線(3)在(2)的條件下,是否存在一點D,使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)點A(﹣m,0),點Bn3,0(2)PA的函數(shù)表達式為y=x+4,PB的函數(shù)表達式為y=-3x+6(3)存在一點D,使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形,點D的坐標為132,92【分析】(1)已知直線解析式,令y=0,求出x的值,可求出點A,B的坐標.聯(lián)立方程組求出點P的坐標.推出AO=QO,可得出∠PAB=45°.(2)先根據(jù)CQ=12AO得到m、n的關系,然后求出S△AOQ,S△PAB并都用字母m表示,根據(jù)S四邊形PQOB=S△PABS△AOQ積列式求解即可求出m的值,從而也可求出n的值,繼而可推出點P的坐標以及直線PA(3)由
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