專題07改斜歸正妙殺直角類壓軸題（原卷版）

專題07改斜歸正，妙殺直角類壓軸題模型精講模型精講改斜歸正是一線三角在函數(shù)類題中的特殊用法，是指當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，旋轉(zhuǎn)90°時，而直角邊非橫平豎直時，咱們可以過直角三角形的三頂點，分別作x，y軸的垂線，從而構(gòu)造一線三直角。當(dāng)兩直角邊相等時，可以得到一線三等角之全等模型，當(dāng)兩直角邊不相等時，可以得到一線三直線之相似模型，然后利用點線式來解決問題。（點線式秒殺函數(shù)類壓軸題，后面會有專題為大家詳細(xì)講解。）具體作法如下：改斜歸正之全等模型如圖：11，在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AB,∠BAC=90°。咱們可以把它看作斜直角。解決這類題目，只需要:如圖12或13，作萬能垂線，實現(xiàn)改斜正。由一線三直角全等模型，易證△ABD≌△ACE，可得，BD=AE,AD=CE，然后表示出：A,B,C,D,E,坐標(biāo)，利用BD=AE,AD=CE，即可輕松得出方程，妙殺大題。圖圖11圖12圖13改斜歸正之相似模型如圖：21，在平面直角坐標(biāo)系中，AB≠AC(中考數(shù)學(xué)經(jīng)典),∠BAC=90°。咱們一樣可以把它看作斜直角。解決這類題目：同樣只需要如圖22或23，作萬能垂線，實現(xiàn)改斜正。由一線三直角全等模型，易證△ABD∽△CAE，可得：AB與全等方法類似，只需要表示出：A,B,C,D,E,坐標(biāo)，利用ABCA=BDAE圖圖21圖21圖23實戰(zhàn)訓(xùn)練實戰(zhàn)訓(xùn)練1．如圖，已知二次函數(shù)y=49x2﹣4的圖象與x軸交于A，B兩點與y軸交于點C，⊙C的半徑為5，P為⊙（1）點B，C的坐標(biāo)分別為B，C；（2）當(dāng)P點運動到（﹣1，﹣2）時，判斷PB與⊙C的位置關(guān)系，并說出理由；（3）是否存在點P，使得△PBC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值＝．2．如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知B（3，0）．（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）Q為拋物線上一點，若∠ACQ＝45°，求點Q的坐標(biāo)；（3）P為拋物線上一點，若S△PBC＝S△ABC，請直接寫出點P的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交BC的延長線于點H，求點M的坐標(biāo)；（3）點P是y軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P，Q，使得以點P，Q，C，D為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），C（﹣4，0），D是OC中點，E是直線AD上的一動點，以O(shè)E為邊作正方形OFGE（順時針標(biāo)記），連結(jié)FC交AE于點H．（1）當(dāng)D與E重合時，求直線FC解析式；（2）在（1）的條件下，連結(jié)OH，求△AOH的面積；（3）設(shè)E的橫坐標(biāo)為t，若△HFE與△OAD相似，請求出t的值．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標(biāo)；（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，其頂點為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點D的坐標(biāo)；（2）點M是線段BC上方拋物線上的一個動點，點N是線段BC上一點，當(dāng)△MBC的面積最大時，求：①點M的坐標(biāo)，說明理由；②MN+22BN的最小值（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．拋物線y＝ax2+114x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過點B．點P在拋物線上，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為（1）求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點P在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+128．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，BC⊥x軸于點C，且點A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點E是拋物線AB之間的一個動點（不與A，B重合），求S△ABE的最大值以及此時E點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)問題（2）的條件，判斷是否存在點E使得△ABE為直角三角形，如果存在，求出E點的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．9．如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將射線OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點D在第二象限且DEEO=3（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標(biāo)．10．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和B（5，0），與y軸交于點C（0，5）．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與BC交于點F，點D是對稱軸上一點，當(dāng)點D關(guān)于直線BC的對稱點E在拋物線上時，求點E的坐標(biāo)；（3）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．11．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）當(dāng)以P，A，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標(biāo)及△PAC的周長；（3）若點Q是直線BC上方拋物線上一點，當(dāng)△BCQ為直角三角形時，求出點Q的坐標(biāo)．12．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點A（1，0）、B（﹣3，0），與y軸的正半軸交于點C．（1）求a與b的值；（2）點D是線段OB上一動點，過點D作y軸的平行線，與BC交于點E，與拋物線交于點F，連接CF，探究是否存在點D使得△CEF為直角三角形？若存在，求點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．13．如圖①，拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和B（6，0），與y軸交于點C，且OC＝6，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是直線BC下方拋物線上一點，過點M作MN⊥BC于點N，若線段MN=528OA（3）如圖②，若點P是對稱軸右側(cè)拋物線上一點，點Q是x軸下方對稱軸上一點，是否存在點P、Q，使得△CPQ為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PM⊥x軸于點M，連接AC，AP，AP與y軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)∠MPA＝2∠PAC時，求直線AP的函數(shù)表達(dá)式．（3）在（2）的條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使以E，M，C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式．（2）若點M是拋物線上B，C之間的一個動點，線段MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MN，當(dāng)點N恰好落在y軸上時，求點M，點N的坐標(biāo)．（3）如圖2，若點E坐標(biāo)為（2，0），EF⊥x軸交直線BC于點F，將△BEF沿直線BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移動過程中，是否存在使△ACE'為直角三角形的情況？若存在，請直接寫出所有符合條件的點E′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．16．拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于另一點A，B兩點．與y軸交于C，D為拋物線的頂點．（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點P為拋物線上的點，且△PAC是直角三角形，求點P的坐標(biāo)．（3）點M是y軸上一動點，點Q為平面