2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練：解三角形（單選題）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單選題專(zhuān)題練：解三角形

一、選擇題

1.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為1,血，石，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)是（）

A.90°B.1350C.12O0D.15O0

2.為了發(fā)展旅游業(yè),方便游客觀賞湖面盛開(kāi)的睡蓮和湖里游動(dòng)的錦鯉，唐山南湖公園擬

修建觀景棧橋.規(guī)劃如圖所示,AABC為規(guī)劃區(qū)域,面積為4g萬(wàn)平方米,AB^CA，CB，CD

是四條觀景木棧橋，其中AB^3DB，CP=3PD”AP為觀景玻璃棧橋，則AP的最小值（單

位：百米）為（）

A.2石B.4C-76D.6月

3.在△ABC中，點(diǎn)。是AC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，若NABD=90O，AB=1，BC=V7,

則SAABC=（）

A.走B.-C.空D.-

4444

22c

4.雙曲線c：=1（。>0,b>0）的離心率為|，實(shí)軸長(zhǎng)為4,C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F,,F2.

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P在C上，且cosN-P￡=-；,則|0日=（）

A.2B.用C.20D.2A/3

5.在△OAB中，已知|oq=VL|Aq=l,NAO5=45o，P是△OAB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若

3

0/=%。4+〃。8,滿足4+2〃=2,且/120,〃》0,則。4在00上投影的取值范圍是（）

6.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。力,。,根據(jù)下列條件解三角形：

①。=14,6=7,5=30°；②a=102=9,5=60°?則()

A.①只有一個(gè)解，②有兩個(gè)解B.①有兩個(gè)解,②只有一個(gè)解

C.①②都只有一個(gè)解D.①②都有兩個(gè)解

7.如圖所示，從熱氣球A上測(cè)得地面上點(diǎn)3的俯角為60。,點(diǎn)C的俯角為45。，圖中各點(diǎn)

在同一鉛垂平面內(nèi)，已知3,C兩點(diǎn)間距離為100m,則熱氣球距地面的高度40為()

A.(100+50V3)mB.200^mC.(150+50G)mD.(150-5073)m

8.一艘輪船從A處出發(fā)，以40海里/小時(shí)的速度沿西偏南50。的方向直線航行,30分鐘

后到達(dá)3處.在C處有一座燈塔，輪船在A處觀察燈塔，其方向是東偏南25。,在§處觀察

燈塔，其方向是北偏東85。，則氏C兩點(diǎn)間的距離為()

A.lO(#+0)海里B.10(后―四)海里

Clog海里D.io后海里

9.根據(jù)如圖所示的頻率分布直方圖，可以估計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)，眾數(shù)與平均數(shù)，那么這

A.12.5B.13C.13.5D.14

10.記△ABC中的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積

S=§僅2+。2一4),則tanA=()

214

智B.-C-D.1

343

11.如圖，在三棱錐P-ABC中，異面直線AC與PB所成的角為60。4下分別為棱PA,BC

的中點(diǎn)，若AC=2,Pfi=4,則EF=（）

P

A.V3B.2C.C或#iD.2或近

12.在△ABC中，內(nèi)角A氏C所對(duì)的邊分別為“為了，若人=巴，B」，則

43

y/6b—2d（）

a

A._iB.-C.lD.-

,22

13.已知平面向量°?滿足忖=1,0,。+耳=，則k-的最大值為（）

A.2B.四+iC,73+ID.3

14.在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，口

2s=a-，則包里的取值范圍為（）

sinC

A.目）B.（O,|）C.（O,|）口.仔+oo）

15.在△ABC中,a/,c分別為角A,3,C所對(duì)的邊，已知。=62=*，3=工，若滿足條件的

3

角A有兩個(gè)不同的值，則x的取值范圍為（）

A.（0,3A/3）B.（3"+OO）C.（3A/3,6）D.（0,6）

16.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、6、8,則此三角形為（）

A.等邊三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

17.已知空間三點(diǎn)4(0,1,1),6(-2,1,0),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面

積為()

A.3B.—C.6D.V6

2

18.某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一古建筑物的高度，設(shè)計(jì)了測(cè)算方案.如圖，在該建筑物旁

水平地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得其頂點(diǎn)M的仰角分別為30。，60。，45。，且

AB=BC=5Qm^則該古建筑的高度為()

19.被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)

和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用,0.618就是黃金分割比t=或二1的近視值.有一個(gè)

2

內(nèi)角為36。的等腰三角形中，較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比.則411126。=()

A1B小+1Q^5—1口逐

2寸4~~4~~

20.在△ABC中,2bcosB-acosC+ccosA，則3=()

A.-B.-C.-D.—

6433

參考答案

1.答案：B

解析：因?yàn)?.ABC的三邊長(zhǎng)分別為1,行，石，

所以邊長(zhǎng)為、六的邊所對(duì)的角最大，其余弦值為仔+（行）一（右）：&

2x1x02

所以最大內(nèi)角的度數(shù)是135。

故選:B

2.答案：C

OO

解析：ZVIBC中，設(shè)AC=Z?,A5=c，由NC4B=60，SZA/U“JC=4V、L

可得gbcsin6C?o=46,即乎兒=4"所以次=6

9

因?yàn)樗訟D=—AB,

3

由CP=3PD,得CP=3PD^AP-AC=3（AD-AP），整理得

1311

AP=-AC+-AD=-AC+-AB,

4442

因?yàn)锳C?AB=|AC|?|AB|cosN3AC=Acos60°=gbc=8,

2222

所以|”|2=（以。+以3）2=—|AC|+-|AB|+-ACAB=—（b+4c+2bc）,

42164416

而b-+4c2+2bc>4bc+2bc=6Z?c，所以IAP|2>—x6Z?c=6,當(dāng)且僅當(dāng)Z?=2c時(shí)，即

16

b=4-72，c=2.72時(shí)，等號(hào)成立.

因此，當(dāng)b=472，c=272時(shí)，|API的最小值為卡，即AP的最小值為卡百米.

故選：C.

3.答案：C

解析：設(shè)C￡）=a，則AD=2a，

BD=y/AD2-AB2=1，

22

由余弦定理得典=_BD+CD-BC\

AD2BDCD

J4a2一14/一i+/—7

，解得Q=1，J5￡＞=5

2a2ad4a2-1

所以的＞=2。＞，5△八ABD.=-2ABxJBD=—2，

_3_3A/3

'△ABC—2—4

4.答案：B

解析：由題意可得2a=4,e=f=g，所以a=2，c=5，〃=y/c2-a2-^21，

在△耳尸鳥(niǎo)中,由余弦定理得4閨閭之=閨殲+優(yōu)邛_2"斗閨P|cosN片尸耳，

23

??.4°2=(閨”—怩耳)+2寓P眄尸|+萬(wàn)山P眄目，

2

由于帆尸|—優(yōu)P|=2a,所以4c=4a2+g眄耳，故山P眄8=24,

由于。是耳耳的中點(diǎn)，所以尸耳+尸8=2尸O，

2

則(S+P￡)2=4「。2,即|PF^+\PF21+21PT^IIPF2\cosZF^=4|尸Of,

222

即|P與I+\PF21-||P^||P^|=4|PG>|

2

而歸片q=2a,兩邊平方并整理得,|Pf；?+\PF21-21PFX||%|=44,②

聯(lián)立①②可得|P。|=近.

故選：B.

5.答案：A

解析：由0P=404+〃。8,且X+2〃=2,

可得040P=04XOA+11—?08

=AOA+[\-^OA-OB,

又103卜行,|45卜1,403=45,

e/口<9A+\OB-\AB\./?II

由余弦定理得:cos450=J_II....-L=L，解得:OA=1,

2|(9A|-OB\211

所以04.8=2+11—]b1><小等=1+1,

當(dāng)X<—2時(shí),

0(2+2)2_啦1+^

上式=---------------------4I.....................................----------------------

222+422梏苫。

2

當(dāng)彳＞_1時(shí)，上式=后J（2+2）,

2V22+4

綜上,OA在OP上投影的取值范圍是［號(hào),11

故選:A.

6.答案：A

解析：對(duì)于①：由正弦定理可知旦，14x?,,

sinAsin30°sinA=---=1

因?yàn)锳w(0,兀)，所以A=巴，則①只有一個(gè)解；

2

百

對(duì)于②：由正弦定理可知旦=_2_,10xV5A/3,

sinAsin60°sinA=——^-=^-<1

99

且a>。,則A有兩解，因此②有兩個(gè)解；

故選：A.

7.答案：C

解析：在RtAAOB中,NQ4B=30°，所以05=OAtanZOAB=—OA，

3

在Rt^Q4C中,NQ4c=45。，所以O(shè)C=Q4,

因?yàn)?,C兩點(diǎn)間距離為100m，

所以O(shè)C—03=04-/04=100，解得。4=(150+506)111.

故選：C.

8.答案：A

解析：如圖，由題意矢口A3=40x』=20,ZABC=85°-(90°-50°)=45°

2

ABAC=180°-(50°+25°)=105°,ZACB=180°-(105°+45°)=30°

由正弦定理,一^=B_,

sin105°sin30°

則BC=40sinl05=40xsin（60+45）=40x（咚x等+：義曰）=10（遙+應(yīng)）?

故選：A.

9.答案：B

解析：眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則眾數(shù)是125

中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于縱軸的直線的橫坐標(biāo)，第

一個(gè)矩形的面積是0.2,第二個(gè)矩形的面積是0.5,故將第二個(gè)矩形分成3:2即可，則

中位數(shù)是13.

平均數(shù)為7.5x0.2+12.5x0.5+17.5x0.3=13.

三個(gè)數(shù)由小到大排列為12.5,13,13,因?yàn)閿?shù)0.6=1.8,由百分位數(shù)的定義可得60%

分位數(shù)為13,

故選：B.

10.答案：A

解析：因?yàn)镾=g僅②+°2-a2）=gbcsinA,

又由余弦定理步+02_標(biāo)=2bccosA，

2]

所以一x2/JCCOSA=—bcsinA,

32

4

所以'cosA=-sinA，貝UtanA==號(hào)=§.

32cosAJ_3

2

故選：A.

11.答案：C

解析：取AB的中點(diǎn)a

連接切、EH,

P

因?yàn)镋/分別為棱力,的中點(diǎn)，

則FH〃AC,EH〃PB,

又異面直線AC與尸3所成的角為60。，

則NEHF=60°或ZEHF=120°,

5LFH=-AC=l,EH=-PB=2,

22

由余弦定理EF2EH2+FH2-2xEHxFHxcosZEHF可

^t：EF2=22+l2-2x2xlx1=3^EF2=22+l2-2x2xlx^-1^|=7,

即ER=后或EP=5.

故選:C.

12.答案：C

.71

解析：由2=跡=學(xué)8="，得b力a，

asi"sin2E22

4

所以瘋-2a—2a6cl.

aa2

故選：C.

13.答案：C

解析：設(shè)a=OR,匕=03，a+b=OC如圖，

由題意，即在平行四邊形Q4CB中,Q4=1,NOCA=P,

6

求AB的最大值.

延長(zhǎng)Q4至。。，使Q4=AD,則CD=,

由正弦定理,。,AC三點(diǎn)所在外接圓的直徑2R=———=2,

sinZOCA

所以R=l，設(shè)圓心為G,如圖,

G,

所以可知NGOD=^，又OG=1，OD=2,

3

所以由余弦定理可得DG=^12+22-2X1X2XCOS|-=石，

則由圖象可知CD<DG+R=I+G，

故選：C.

14.答案：A

解析：因?yàn)?s=/_屹一切2，所以可得

2x—bcsinA=b2+c2-2bccosA-伊+c2-2bc），

2

化間得sinA+2cosA=2，又,sin2A+cos2A=1?聯(lián)立得5sin2A-4sinA=0,

解得sinA=3或sinA=0（舍去），

5

所以sinB二sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC43

--------------=-----1-9

sinCsinCsinC5tanC5

為△ABC為銳角三角形，所以0<C（工，B=TI-A-C<->所以烏—A<C（工,

一「2222

所以tanOtan但一A1=」一=3,所以」-』0,勺，所以」-』0,更］,

（2）tanA4tanC（315tanC115J

.43<35^

"5tanC+5

故選A.

15.答案:C

j6_x

解析：由正弦定理，1_=上,可得==一^

sinAsin5sin-

所以sinA=之叵,

X

若△ABC滿足條件的角A有兩個(gè)不同的值，即三角形有兩解,

因?yàn)槎?lt;A<@,所以立

<sinA<B

332

即3<還<1解得38<x<6.

2x

故選：C.

16.答案：D

解析：三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、6、8,

不妨設(shè)A,3,C所對(duì)的邊分別為a,O,c,且a=4,/?=6,c=8，

因?yàn)閏=8是最大邊,所以角C是最大角，

根據(jù)余弦定理，得cosC=片+"―'=16+36-64<。，

2ab2x4x6

因?yàn)镃e(0,7i)

所以角C是鈍角，可得△ABC是鈍角三角形.

故選：D.

17.答案：D

解析：AB=(-2,0-1),AC=(1,1,0),則

|AB|=75,|AC|=V2,cos<45,AC〉=?叱弋=］「=--^=,即

1111ABAC

\\\\小義正Vw

5由<4氏4?！?、鳥(niǎo),所以以4民4。為鄰邊的平行四邊形的面積為6乂0><在=6.

vioJio

18.答案：C

解析：設(shè)0M=xm，

在RtAOMA中，=tanAOAM-tan30，OA-y/3x，

OA

在RtaOMB中，=tanZOBM=tan600-OB=—x^

OB3

在中，—=tanZOCM=tan45°>Q4=x，

OA

222

。加+432-042-X+50-3X

在鉆中，由余弦定理得:cosAOBA=_3

20B-AB

2x——x-50

3

222

222-X+5Q-X

OB+BC-0C3

在△06。中，由余弦定理得:cosZOBC=二

20BBC06力

2x—50

3

因?yàn)閆OBA+ZOB