【學(xué)霸滿(mǎn)分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專(zhuān)題13 垂徑定理之六大考點(diǎn)（解析版）

專(zhuān)題13垂徑定理之六大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】 1【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 4【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】 7【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】 10【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 13【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 16【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】例題：（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑，為的弦，，垂足為，，，．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接，由垂徑定理可得，由勾股定理可得，最后根據(jù)即可得出答案，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，為的直徑，為的弦，，，，，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)E，，則．【答案】10【分析】本題主要考查垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理得出，連接，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得方程解答．【詳解】解：連接，設(shè)，則，∵，∴，∵是的直徑，弦，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，解得，即的長(zhǎng)為10．故答案為：10．2．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考期中）將半徑為5的如圖折疊，折痕長(zhǎng)為6，C為折疊后的中點(diǎn)，則長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系和勾股定理．延長(zhǎng)交于D點(diǎn)，交于E點(diǎn)，連接，如圖根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由得到，則可判斷垂直平分，則，再利用勾股定理計(jì)算出，所以，然后利用C點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)得到，最后計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交于D點(diǎn)，交于E點(diǎn)，連接，如圖，∵C為折疊后的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，在中，，∴，∵沿折疊得到，垂直，∴C點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴．故答案為：3．【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理以及分類(lèi)討論的思想的運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦與在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過(guò)點(diǎn)O作，垂足為F，交于點(diǎn)E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當(dāng)弦與在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【答案】7cm或17cm．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長(zhǎng)度為．

【答案】5【分析】先設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長(zhǎng)度為．連結(jié)、、、，然后過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得，，即，則，同理得，則，即可作答．【詳解】解：設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長(zhǎng)度為．連結(jié)、、、，然后過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：

由垂徑定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，因?yàn)?，所以，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，解出和是本題解題的關(guān)鍵，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫(huà)出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，則解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2．如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過(guò)O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過(guò)O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】例題：如圖所示，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┦墙忸}的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設(shè)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)將設(shè)計(jì)圖恢復(fù)完整．

【答案】見(jiàn)解析【分析】在弧上任取三點(diǎn)，，，連接，，分別做，的中垂線交于點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓即可．【詳解】解：如圖即為所作的圓．

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖及垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心．2．已知：如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點(diǎn)，且與C點(diǎn)在同側(cè)，畫(huà)出的平分線．并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若，畫(huà)出的平分線．【答案】(1)畫(huà)圖，理由見(jiàn)解析(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）作直徑，作射線即可，理由見(jiàn)解析；（2）連接，交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，作射線即可，由可得，從而得出，從而得出，再由等腰三角形性質(zhì)得出，推出，最后得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖①，即為所求的平分線；

證明：∵M(jìn)是半圓的中點(diǎn)，∴，∴直徑直徑，∴，∴，即平分．（2）如圖2中，射線即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的概念，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【答案】【分析】連接，設(shè)的半徑為R，利用垂徑定理以及勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為R，則，由題意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，則的半徑為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】連接，作于點(diǎn)D，交優(yōu)弧于點(diǎn)C，利用垂徑定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)D，交優(yōu)弧于點(diǎn)C，則厘米．由題意得厘米，在中，厘米，∴厘米，則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是寸．【答案】【分析】連接，依題意，得出，設(shè)半徑為，則，在中，，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，為的半徑，∴，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴直徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點(diǎn)，，根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點(diǎn)B為劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，，但不能證明，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。咀兪接?xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?、鄞怪庇谙业闹本€必過(guò)圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯(cuò)誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對(duì)的?。虎坼e(cuò)誤．垂直于弦且平分弦的直線必過(guò)圓心；④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】注意概念性質(zhì)的語(yǔ)言敘述，有時(shí)是專(zhuān)門(mén)來(lái)混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的習(xí)慣．2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點(diǎn)O，橋下水面寬度為，過(guò)O作于點(diǎn)D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過(guò)這座拱橋（船艙截面為長(zhǎng)方形），請(qǐng)問(wèn)，該貨船能順利通過(guò)嗎？【答案】(1)(2)可以順利通過(guò)，見(jiàn)解析【分析】本題考查垂徑定理及勾股定理，利用半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形，根據(jù)直角三角形中的勾股定理作為相等關(guān)系解方程求線段的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，連接，設(shè)，得：解得：，∴圓弧形拱橋的半徑為；（2）∵，，∴，且，

∴，.連接，則，

∴，即：，∴該貨船可以順利通過(guò)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑，垂足為D，設(shè)的半徑為5，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接，再求出，根據(jù)勾股定理得出，最后根據(jù)垂徑定理即可得出．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：B．2．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，直徑于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是垂徑定理．由題意可知為垂直于弦的直徑，根據(jù)垂徑定理即可做出正確的判斷．【詳解】解：根據(jù)為的直徑，且，垂足為，則是垂直于弦的直徑，滿(mǎn)足垂徑定理．所以是的垂直平分線，因而，，，都是正確的．所以選項(xiàng)B、不一定成立．故選：B．3．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為中的兩條弦，．若，，的直徑為，則與之間距離為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理：“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧”．也考查了勾股定理．連接，，過(guò)圓心作直線于，交于，由，根據(jù)垂徑定理得到，，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出，，然后分類(lèi)討論：當(dāng)和在圓心的同側(cè)時(shí)，則；②當(dāng)和在圓心的兩側(cè)時(shí)，則．【詳解】如圖所示，連接，，過(guò)圓心作直線于，交于，，，的直徑為，，，，，，由勾股定理可得：，，①當(dāng)和在圓心的同側(cè)時(shí)，則；②當(dāng)和在圓心的兩側(cè)時(shí)，則．則與間的距離為或．故選：C．4．（2013·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm，AO=8cm，則OC長(zhǎng)為（）cmA．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：O為圓心的兩個(gè)同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，C點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，即AC=BC==6；并且OC⊥AB，在中，由勾股定理得，所以；AO=8cm，所以，所以O(shè)C=故選：【點(diǎn)睛】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質(zhì)，熟悉勾股定理的內(nèi)容.5．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┖贾輥嗊\(yùn)會(huì)開(kāi)幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)），拱高（橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離）約為，則此橋拱的半徑是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．設(shè)圓心為，作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)，設(shè)半徑為，根據(jù)垂徑定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為，作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)，則為優(yōu)弧的中點(diǎn)，設(shè)半徑為，，，，由勾股定理得：，，解得：，故選：B．二、填空題6．（2023上·福建莆田·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，都是的半徑，交于點(diǎn)D．若，則的長(zhǎng)為

【答案】4【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)垂徑定理的推論得，再根據(jù)勾股定理得，即可求出答案．【詳解】解：，，在中，，，．故答案為：4．7．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖方式折疊兩次后展開(kāi)，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是．【答案】/度【分析】過(guò)O作半徑于點(diǎn)F，連，由垂徑定理得到，則有，再根據(jù)題意證明為等邊三角形，得到，則，的度數(shù)可求．【詳解】解：過(guò)O作半徑于點(diǎn)F，連，∴，∴，∴垂直平分，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，∴，則的度數(shù)是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，及軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，熟練根據(jù)垂徑定理作輔助線得到等邊三角形是關(guān)鍵．8．（2023上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑如何？”．問(wèn)題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來(lái)測(cè)得深度為1寸，鋸長(zhǎng)為10寸，則圓材的半徑為寸．【答案】13【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)圓材的圓心為，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，由題意知過(guò)點(diǎn)，且，設(shè)圓形木材半徑為，可知寸，寸，根據(jù)列方程求解可得．【詳解】解：設(shè)圓材的圓心為，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，如圖所示：由題意知：過(guò)點(diǎn)，且，則，設(shè)圓形木材半徑為寸，則寸，寸，∵，∴，解得：，∴的半徑為13寸，故答案為：13．9．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知的直徑為，，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為cm．【答案】2或14【分析】作于E，延長(zhǎng)交于F，連接、，如圖，利用平行線的性質(zhì)，根據(jù)垂徑定理得到，，則利用勾股定理可計(jì)算出，，討論：當(dāng)點(diǎn)O在與之間時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)O不在與之間時(shí)，．【詳解】解：作于E，延長(zhǎng)交于F，連接、，如圖

∵，，∴，∴，，在中，，在中，，當(dāng)點(diǎn)O在與之間時(shí)，如圖1，，當(dāng)點(diǎn)O不在與之間時(shí)，如圖2，，故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。⒁夥诸?lèi)討論．10．（2023上·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）圖1是某奢侈品牌的香水瓶．從正面看上去（如圖2），它可以近似看作割去兩個(gè)弓形后余下的部分與矩形組合而成的圖形（點(diǎn)B、C在⊙O上），其中；從側(cè)面看，它是扁平的，厚度為，已知的半徑為，，香水瓶的高度為，現(xiàn)用一張矩形硬紙板做成如圖3所示的香水瓶包裝盒，則這個(gè)香水瓶包裝盒的表面積是【答案】6【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算，作于，延長(zhǎng)交于，連接、，根據(jù)垂徑定理求出、，解直角三角形求出，，根據(jù)即可解決問(wèn)題，再求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，利用長(zhǎng)方體表面積公式求出答案即可．【詳解】解：如圖，作于，延長(zhǎng)交于，連接、．，，，，，，，∴香水瓶的高度為；根據(jù)題意可知長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為，寬為，高為，∴該這個(gè)香水瓶包裝盒的表面積是，故答案為：2；．三、解答題11．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，且經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)的長(zhǎng)度．

【答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理、余弦的定義，連接，由垂徑定理可得，由余弦的定義計(jì)算出，由勾股定理可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，求解即可得出答案，熟練掌握垂徑定理、勾股定理、余弦的定義，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，

，是的直徑，且經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，解得：，．12．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．(1)若，則弧的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出可求解．（2）作于，利用面積法求出，再利用勾股定理求出，利用垂徑定理即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：連接．，，，，，，弧的度數(shù)為，（2）如圖，作于．在中，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，弧與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．13．（2023上·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某村為了促進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如圖是蔬菜大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為，跨度（弧所對(duì)的弦）的長(zhǎng)為8米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為2米．

(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建過(guò)程中，在距蔬菜大棚的一端（點(diǎn)）1米處將豎立支撐桿，求支撐桿的高度．【答案】(1)該圓弧所在圓的半徑為5米(2)支撐桿的高度為1米【分析】此題考查了矩形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理的應(yīng)用：（1）根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心在的延長(zhǎng)線上，設(shè)的半徑為米，則米．由垂徑定理得到米．在中，由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出該圓弧所在圓的半徑；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連，先求出，證明四邊形為矩形，則．在中，，求出．根據(jù)四邊形為矩形即可得到答案．【詳解】（1）垂直平分，圓心在的延長(zhǎng)線上．設(shè)的半徑為米，則米．，（米）．在中，由勾股定理得：，即，解得．即該圓弧所在圓的半徑為5米；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．

，．∵，∴四邊形為矩形，，在中，．，．．即支撐桿的高度為1米．14．（2023上·北京·九年級(jí)期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）由垂徑定理，得到，進(jìn)而得到，三線合一，得到，等邊對(duì)等角，得到，即可得出；（2）先求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，垂徑定理得到即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵的半徑為5，，∴，∵，∴，∵是的直徑，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，中垂線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)．

(1)與相等嗎？為什么？(2)若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)與相等，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理可得，即可；（2）連接，則，分別在和中，根據(jù)勾股定理求出，即可．【詳解】（1）解：與相等，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)O為兩個(gè)同心圓的圓心，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，則，

由（1）得：，，在中，，在中，，∴．16．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，以為直徑作，分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，垂足為，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)24【分析】本題考查了垂徑定理，掌握定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出，根據(jù)垂徑定理可得，從而求出的度數(shù)；（2）連接，已知，則，則，已知，則，在中利用勾股定理求出，即可求出．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）連接，，，，，，，，，，在中，，，即弦的長(zhǎng)為24．17．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是一個(gè)半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底藏線，弦是水位線，米，于點(diǎn)E，此時(shí)測(cè)得．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖，陰影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面圖，若其長(zhǎng)為10米，高為2米，當(dāng)點(diǎn)E恰在中點(diǎn)時(shí)，①畫(huà)出半圓O最高點(diǎn)H，并直接寫(xiě)出點(diǎn)H到線段的距離；②若該箱子隨水面上升1米，請(qǐng)判斷此木箱能否通過(guò)該橋洞