2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓

選擇題（共10小題）

1.如圖，己知點(diǎn)。是△ABC的外心，連接。4,OB,OC,若Nl=40°,則NA4c的度數(shù)為（

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，如果N80D的度數(shù)為122。，則/。CE的度數(shù)為（）

3.如圖，正五邊形A8CDE邊長為6,以A為圓心，48為半徑畫圓，圖中陰影部分的面積為（

1854

A.-7TB.4TTC.—7TD.12n

55

4.如圖，。4為半徑，04垂直于弦BC,垂足為。，連接AC,若NB=20°,則NA的度數(shù)為（

5.如圖，是。。的直徑，8是O。的弦，若NAOC=50°,則/BOC的度數(shù)為（）

6.如圖，在菱形A8CZ）中，/。=60°,42=4,以2為圓心、BC長為半徑畫弧AC,點(diǎn)尸為菱形內(nèi)一點(diǎn),

連接B4,PB,PC.當(dāng)△3PC為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為（）

7.如圖，A8為。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，MOD//BC,若N8AC=a,則NBA。的度數(shù)可以表示

為（）

（YCY

A.2aB.90°-aC.450-JD.450+多

8.如圖，在半徑為6的OO中，弦A5LC。于點(diǎn)E,若NA=30°,則弧死的長為（）

B

A.871B.5TTC.4nD.6n

9.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,經(jīng)過A,8兩點(diǎn)的OO與邊AC切于點(diǎn)A,與邊8C交于點(diǎn)

AE為。。直徑，連結(jié)。E,若NC=35°,則/BOE的度數(shù)為（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

10.如圖，A8是。0的直徑，CD為弦,CQLA8于點(diǎn)E,連接AC,AD,則下列結(jié)論正確的是（）

A

B

A.AC=BCB.BC=BDC.OE=BED.ZCAD=ZCDA

填空題（共5小題）

11.如圖，兩個(gè)邊長相等的正六邊形的公共邊為8。，點(diǎn)A,B,C在同一直線上，點(diǎn)Oi,。2分別為兩個(gè)

正六邊形的中心.貝!Jtan/QAC的值為

12.如圖，過OO外一點(diǎn)P作圓的切線尸8,點(diǎn)8為切點(diǎn)，AB為。。直徑，連結(jié)AP交。。于點(diǎn)C,若AC

徑畫弧，兩條圓弧恰好都經(jīng)過點(diǎn)O,則圖中陰影部分的面積為

D

14.如圖，PA,PB分別與O。相切于A,B兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/尸=50°,則NACB

15.如圖，點(diǎn)A、B、C、。都在OO上，OA_L8C,ZCDA=25°,貝i」NAO8=

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在△ABC中,AB^AC,COLBC于點(diǎn)C,交△ABC的外接圓于點(diǎn)。.連接BD于點(diǎn)

E,交BC的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：ZBAF=ZABF；

(2)當(dāng)AE=1,8￡=2時(shí)，求線段EF的長及△ABC的外接圓的半徑長.

17.如圖，AB,C￡＞是O。的兩條弦，AC與3。相交于點(diǎn)E,AB^CD.

(1)求證：AC=BD-,

(2)連接2C,作直線E。，求證：EOLBC.

AJ)

18.如圖，點(diǎn)C是以48為直徑的。。上一點(diǎn)，過AC中點(diǎn)。作。ELA8于點(diǎn)E,延長。E交。。于點(diǎn)尸,

連結(jié)CF交點(diǎn)G,連結(jié)ARBF.

［認(rèn)識(shí)圖形］

求證：X\FDsACE.

［探索關(guān)系］

①求CF與DF的數(shù)量關(guān)系.

②設(shè)段=%,等=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系.

FGEF

［解決問題］

若CG=2短,FG=3?求AE的長.

19.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，。為公的中點(diǎn)，CELAB于E,8。與AC交于點(diǎn)G,與CE

交于點(diǎn)F.

(1)求證：CG=CF；

Q

(2)若cos/ABC=|,AC=16,求E尸的長.

20.如圖，RtZiACB中，ZC=90°,AC=BC,點(diǎn)。在4?邊上，以點(diǎn)。為圓心，04的長為半徑的圓與

BC相切于點(diǎn)。，分別交AC和A8邊于點(diǎn)尸和E,連接AD,FD,ED.

(1)求證：平分NCAB；

(2)求證：ADFCsAADE；

(3)若0=1,求圖中陰影部分的面積.

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，已知點(diǎn)。是△A3C的外心，連接。4,OB,OC,若/1=40°,則N8AC的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果.

【解答】解：：點(diǎn)。為AABC的外心，

：.OB=OC,

.1.ZOCB=Z1=40°,

/.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

i

：.ZBAC=^BOC=5Q°,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心、圓周角定理，熟記圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，如果的度數(shù)為122°,則/。CE的度數(shù)為（）

A.64°B.61°C.62°D.60°

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/A,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/8CQ,根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念求出/。CE

即可.

【解答】解：：/臺(tái)。。的度數(shù)為122。，

1

/.ZA=^ZBOD=61°,

:四邊形A8CD內(nèi)接于O。，

.?.ZBCD=180°-ZA=119°,

.,.ZDCE=180°-ZBCD=6l°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，正五邊形ABCDE邊長為6,以A為圓心，AB為半徑畫圓，圖中陰影部分的面積為（）

1854

A.—nB.4TTC.一兀D.12n

55

【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算.

【專題】正多邊形與圓；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：：正五邊形的外角和為360°,

每一個(gè)外角的度數(shù)為360。4-5=72°,

...正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°-72°=108°,

?.?正五邊形的邊長為6,

2

.c_108-7TX6_54

?4陰影=-360-二虧歷

故選：C.

【點(diǎn)評】考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)并

牢記扇形的面積計(jì)算公式，難度不大.

4.如圖，。4為半徑，0A垂直于弦BC,垂足為連接OB,AC,若/8=20°,則乙4的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)垂直定義可得NOr>8=NADC=90°,然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得

=70。，從而利用圓周角定理可得NC=35°,最后再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可

解答.

【解答】W：VOAXBC,

：.ZODB=ZADC=90°,

VZB=20°,

；./BOD=90°-ZB=70°,

1

：.ZC=^ZBOD=35°,

：.ZA=90°-ZC=55°,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，是。。的直徑，8是O。的弦，若NAOC=50°,則乙BDC的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

1

【分析】由平角定義求出/BOC=180°-50°=130°,由圓周角定理得到/2。。=*/2。。=65°.

【解答】解：VZAOC=50°,

.\ZBOC=180°-50°=130°，

1

：.ZBDC=^ZBOC=65°.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到

6.如圖，在菱形A8C。中，ZD=60°,AB=4,以B為圓心、8C長為半徑畫弧AC,點(diǎn)P為菱形內(nèi)一點(diǎn),

連接B4,PB,PC.當(dāng)△BPC為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為（）

A.~7T-2-^3+2B.~7T—2^3^—2C.81tD.87r—6y—6

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】B

【分析】連接AC,延長AP,交BC于E,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而通過三角形

全等證得AE±BC,從而求得AE、PE,利用S陰影=S扇形ABC-S^PAB-S^PBC即可求得.

【解答】解：連接AC,延長AP,交BC于E,

在菱形ABC。中，ZD=60°,AB=4,

：.ZABC=ZD=60°,AB=BC=4,

：.^ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,

在△APB和△APC中，

AB=AC

AP=AP，

BP=CP

：.AAPB^AAPC(SSS),

ZB4B=ZB4C,

：.AELBC,BE=CE=2,

,/ABPC為等腰直角三角形，

1

：.PE=*C=2,

在中，AE=^AB=2V3,

.'.AP=2V3-2,

2

二S陰影=S扇彩ABC-SAPAB-SAPBC=60二4一：x(2V3-2)X2-1x4X2=^Tt-2V3-2,

DOU乙乙。

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求得必、尸￡是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，為。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，且OO〃BC,若N8AC=a,則NBA。的度數(shù)可以表示

為()

CY(Y

A.2aB.90°-aC.45°-色D.450+j

【考點(diǎn)】圓周角定理；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】由圓周角定理得到NAC2=90°,求出NB=90°-a,由平行線的性質(zhì)推出/B=90°

-a,由等腰三角形的性質(zhì)推出/。42=/。。4,由三角形外角的性質(zhì)求出/胡。=45°-1a.

【解答】解：為。。的直徑，

；.NACB=90°,

VZBAC=a,

：.ZB=90°-a,

OD//CB,

：.ZBOD=ZB=9Q°-a,

???00=04

：.ZOAB=ZODA,

???NB0D=NOAD+NODA=2NBAD,

ZBAD=x(90°-a)=45°-^a.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓周

角定理得到NACB=90°,由平行線的性質(zhì)推出NBOD=N8=9()°-a,由三角形外角的性質(zhì)即可求

出NA4O的度數(shù).

8.如圖，在半徑為6的。。中，弦A3LCQ于點(diǎn)E,若NA=30°,則弧衣的長為()

B

A.8冗B.5nC.4nD.6ir

【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】c

【分析】連接04、0C,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NAOC,根據(jù)圓周角定理求出NA0C,再根據(jù)弧長

公式計(jì)算嗎，得到答案.

【解答】解：連接。4、OC,

,：AB1CD,NA=30°,

：.ZADC=90°-ZA=60°,

由圓周角定理得：ZAOC=2ZADC=12Q°,

1207TX6

死的長為:=4ir,

180

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式、圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,經(jīng)過A,8兩點(diǎn)的。。與邊AC切于點(diǎn)A,與邊BC交于點(diǎn)D,

AE為。。直徑，連結(jié)。E,若/C=35°,則/8DE的度數(shù)為（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】由A3=AC,得/B=/C=35°,則NR4c=180°-ZB-ZC=110°,由切線的性質(zhì)得AC

LAE,則NCAE=90°,所以NA4C-NCAE=20°,于是得到問的答案.

【解答】?：-：AB=AC,NC=35°,

AZB=ZC=35°,

/ft4c=180°-ZB-ZC=180°-35°-35°=110°,

是。。的直徑，且。。與AC相切于點(diǎn)A,

：.AC±AE,

AZCAE=90°,

：.ZBDE=ZBAE=ZBAC-ZCAE=110°-90°=20°,

故選：C.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、切線的性質(zhì)定理、圓周角定理等知識(shí),

正確地求出的度數(shù)并且證明ACLAE是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，是。。的直徑，CD為弦,于點(diǎn)E,連接AC,AD,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC=BCB.BC=BDC.OE=BED.ZCAD=ZCDA

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：TAB是OO的直徑，CD為弦,于點(diǎn)E,

：.AC=AD,BC=BD,

錯(cuò)誤，2正確；

:無法證明點(diǎn)E是半徑。2的中點(diǎn)，

???。￡與8E的長無法判斷，

，C錯(cuò)誤；

與8不一定相等，

/.無法判斷ZCAD與ZCDA的關(guān)系，

錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知垂直于弦的直徑平分這條

弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵.

填空題（共5小題）

11.如圖，兩個(gè)邊長相等的正六邊形的公共邊為8。，點(diǎn)4B,C在同一直線上，點(diǎn)02分別為兩個(gè)

正六邊形的中心.則tan/QAC的值為主

^Y--or'VB""c

【考點(diǎn)】正多邊形和圓；解直角三角形.

【專題】正多邊形與圓；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接。2C,過02點(diǎn)作。2EL8C,垂足為E,設(shè)正六邊形的邊長為a,則OiA=OiB

—OiC—a,

在Rtz!\02CE中，02c=a,NCO2E=30°,

：.EC=1c>2C=^a=BE,SE=^SC=濟(jì)，

??AE=2Q+2〃=々a，

E

?+/c=°2-B

??tanNOiAC人口-=

AE5

……V3

故答案為：—.

【點(diǎn)評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定

義是正確解答的關(guān)鍵.

12.如圖，過OO外一點(diǎn)P作圓的切線尸8,點(diǎn)8為切點(diǎn)，為。。直徑，連結(jié)AP交。。于點(diǎn)C,若AC

B

\/O/\

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力.

…上、V5-1

【答案】----.

2

【分析】連接BC,根據(jù)圓周角定理得到BCLAP,求得/A+NABC=90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NA8P

=90°,求得/A8C+/P8C=90°,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接BC,

為O。直徑，

J.BCLAP,

：.ZACB=ZPCB=90°,

AZA+ZABC=90°,

是。。的切線，

ZABP=90°,

AZABC+ZPBC=9Q°,

/A=/PBC,

：.△ABPsgCP,

.PBPC

??=,

APPB

:?P$=AP,PC,

*：AC=PB,

.9.AC2=(AC+PC)PC,

：.PC=三'AC,

.CPV5-1

??—，

AC2

V5-1

故答案為:

2

B

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的

關(guān)鍵.

13.如圖，在矩形ABC。中，AB=陋,對角線AC,8D的交點(diǎn)為O,分別以A、。為圓心，A8的長為半

徑畫弧，兩條圓弧恰好都經(jīng)過點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為

14.如圖，PA,PB分別與。。相切于A,B兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/尸=50°,則NACB

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】65.

【分析】連接。4、。2,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。2，尸8,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出NA08,

再根據(jù)圓周角定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：連接。4、OB,

,.'PA,尸8分別與。。相切于A,8兩點(diǎn)，

：.OA±PA,OB1PB,

VZP=50°,

AZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

11

Z.ZACB=^ZAOB=-X13O0=65°,

故答案為：65.

c?>p

B

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)A、B、。、。都在上，OALBC,ZCDA=25°,則N495=50°.

0

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】50.

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到公=而，再根據(jù)圓周角定理得到/4。2=50°.

【解答】解：?..OALBC,

：.AC=AB,

：.ZAOB=2ZCDA=2X25°=50°.

故答案為：50.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,COLBC于點(diǎn)C,交△ABC的外接圓于點(diǎn)。.連接于點(diǎn)

E,交BC的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：ZBAF=ZABF；

(2)當(dāng)AE=1,3E=2時(shí)，求線段EF的長及AABC的外接圓的半徑長.

A

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】(1)證明見解析；

35

(2)成的長為；，△ABC的外接圓的半徑長為一.

【分析】(1)先證得N3AE+NA8E=90°,ZBG4+ZACD=90°,由圓周角定理的推論得出NA8E=

ZACD,于是推出NA4E=N5CA,根據(jù)等邊對等角得出NBC4=NA3C,問題得證；

(2)過點(diǎn)A作AG_L3C于G,設(shè)所=%,在RtZkBEF中根據(jù)勾股定理即可求出EF的長；設(shè)5G=機(jī),

分別在RtZVIBG和RtZXA/G中根據(jù)勾股定理表示出AG?,即可求出機(jī)的值，再證△BC。之△3ER即

可求出AD的長，根據(jù)圓周角定理的推論得出8。為直徑，從而得出半徑長.

【解答】(1)證明：KE，50,

ZAEB=90°,

AZBAE-^ZABE=90°,

VCDXBC,

：.ZBCD=90°,

：.ZBCA+ZACD=90°,

NABE=ZACD,

：.ZBAE=ZBCAf

VAB=AC,

：.ZBCA=ZABC,

：.ZBAE=ZABC,

^ZBAF=ZABF；

(2)解：如圖，過點(diǎn)A作AGL3C于G,

A

：.AF^BF,

設(shè)EF=x,

VAE=1,

：.AF=AE+EF=x^\,

：.BF=x+\,

'：AELBD,

由勾股定理得BF2=BE2+EF2,

(x+1)2=22+X2,

??x=5,

即EF=I，

：.AF=BF=I，

9

：AB=ACfAGLBC,

1

:.BG=CG=^BC,

設(shè)5G=加，

FG=2-m,

在RtAABE中，由勾股定理得AB=y/AE2+BE2=Vl2+22=V5,

在RtZXABG中，由勾股定理得AG2=AB2-BG2,

在Rtz\A/G中，由勾股定理得AG2=A盧-bG2,

.'.AB2-BG2=AF1-FG1,

(V5)2—m2=(1)2—(1—zn)2,

解得機(jī)=1,

：.BG=CG=1.

：.BC=2,

:.BE=BC,

,：ZCBD=ZEBF,ZBCD=ZBEF=9Q°,

.?.△BCD咨ABEF(ASA),

：.BD=BF=I，

VZBCD=90",

...2。為O。的直徑，

：.AABC的外接圓的半徑長為:臺(tái)0=

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性

質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，AB.CD是。。的兩條弦，AC與8。相交于點(diǎn)E,AB=CD.

(1)求證：AC=BD；

(2)連接BC,作直線E。，求證：EOLBC.

【考點(diǎn)】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出不8+cB=cB+元)，則AC=BD；

(2)因?yàn)锳B=CZ),所以，即/AC8=/OBC.結(jié)合OB=OC,得出E、。都在BC的垂直平分線上,

即可作答.

【解答】證明：(1)-：AB=CD,

：.AB=CD,

J.AB+CD=CD+AD,

即BD=AC.

：.AC=BD.

(2)連接03、0C、BC.

：.AB=CD,

：.ZACB=ZDBC.

：.EB=EC,

?/OB=OC,

:.E、。都在BC的垂直平分線上.

：.EO±BC.

【點(diǎn)評】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，點(diǎn)C是以為直徑的。。上一點(diǎn)，過AC中點(diǎn)Z）作。于點(diǎn)E,延長DE交。。于點(diǎn)R

連結(jié)CP交點(diǎn)G,連結(jié)ARBF.

［認(rèn)識(shí)圖形］

求證：

［探索關(guān)系］

①求CF與DF的數(shù)量關(guān)系.

②設(shè)段=%,要=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系.

FGEF

［解決問題］

若CG=2VLFG=3V2,求AE的長.

C

D

B

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)見解答；

(2)①CF=V2DF；

1

②尸尹；

5V7

(3)---.

4

【分析】(1)由圓的性質(zhì)得出NAa>=NB=/C即可得證；

(2)①由相似三角形的性質(zhì)即可解答；

②由△GE/s△G//C,△AOEsAAHC得出對應(yīng)邊成比例即可解答；

(3)由題意知CF=5V^,DF=5,再求出x,?設(shè)AD=a,貝!IAF=0a,由勾股定理求出a,即可

求出和AF,再求出EF即可解答.

【解答】(1)證明：是直徑，

AZAFB=90°,

'：DE±AB,

：.ZAFE+ZEFB^ZB+ZEFB=90°,

ZAFD=ZB=ZC.

又

AAFD^AACF；

(2)解：@VAAFD^>/\ACF,

ADAFDF

'、'''AF~AC~FC

'：AC=2AD,

：.AF2=2ADi,即AF=y/2AD,

：.CF=V2DF；

②過C作CH±AB于H,則EF//CH,

：.AGEFs^GHC,AADEsAAHC,

,DEAD1CGCH

"CH~AC~2FG~EF'

.DE1CH1CG1

?沙=麗=2,而=2,齊=2”；

(3)解：VCG=2VLFG=3V2,

:.CF=S近,DF=5.

isis

，y=W，即DE=~^EF=

設(shè)AD=a,貝ljAF=V2a,

由由一(32=2a2_(學(xué))2,得a=|V2,

.?.AD=|V2,AF=5,

.,.AF2-EF2^AD1-(5-￡F)2,

解得￡尸=苧，

；.AE2=A尸-￡尸=25_等=要，

1616

.,5/7

-AEF=—-

【點(diǎn)評】本題考查與圓又關(guān)的概念和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

19.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，。為公的中點(diǎn)，CELAB于E,8。與AC交于點(diǎn)G,與CE

交于點(diǎn)F.

(1)求證：CG=CF；

(2)若cos/A8C=|,AC=16,求所的長.

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】(1)證明見解析；

18

(2)——.

5

【分析】(1)根據(jù)等弧所對的圓周角相等得出根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出NAC5

=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出NC80+NCG尸=90°,ZABD+ZBFE=90°,結(jié)合對頂角相等即

可NCGF=NC/G,從而問題得證；

(2)根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算即可求出CE的長，再證△AG5sZ\CF3,即可得出AG與C尸的數(shù)

量關(guān)系，再根據(jù)AC的長即可求出B的長，從而求出硬的長.

【解答】(1)證明：???。為死的中點(diǎn)，

：.AD=CD,

：.ZABD=ZCBD,

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZCBD+ZCGF=90°,

丁CELAB,

：.ZCEB=90°,

AZABD+ZBFE=90°,

?：/BFE=/CFG,

：.ZABD+ZCFG=90°,

；./CGF=NCFG,

：.CG=CF；

(2)解：TAB是。。的直徑，

ZACB=90°,

3

VcosZABC=5，

.BC3

??=一,

AB5

設(shè)5C=3x,貝jA5=5x,

由勾股定理得AC=4x,

VAC=16,

???4x=16,

解得％=4,

.\BC=12,AB=20,

；?SAABC=?BC=148-CE,

???16X12=20CE,

解得CE=等，

由（1）知NCGF=NCBG,

又CGF+/AG8=180°,ZCFG+ZCFB=ISO°,

ZAGB=ZCFB,

,：/ABD=NCBD,

：.AAGBsACFB,

.AGAB205

"CF~BC~12~3

設(shè)AG=5根，貝IJC尸=3根，

CG=CF=3m,

：.AC=AG+CG=16,

.*.5m+3m=16,

解得"7=2,

：.CF=6,

：.EF=CE-CF=等-6=學(xué).

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理及推論，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的

判定與性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，Rt^ACB中，NC=90°,AC=2C,點(diǎn)。在AB邊上，以點(diǎn)。為圓心，0A的長為半徑的圓與

8c相切于點(diǎn)。，分別交AC和AB邊于點(diǎn)尸和E,連接A。，F(xiàn)D,ED.

(1)求證：AD平分NC48；

(2)求證：ADFCSAADE；

(3)若8=1,求圖中陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)見解答；

(2)見解答；

⑶T

【分析】(1)連接0D.由切線的性質(zhì)得出0O〃AC,結(jié)合圓的性質(zhì)得出即可得證；

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)得出NAOE=/C=90°和NAED=NCPZ)即可得證；

(3)先說明/8=/助。=45°,得出/2。。=45°,設(shè)BD=x,0B=V2x,8C=AC=x+l,根據(jù)勾

股定理求出無，圖中陰影部分的面積為SAB。。-S扇形ODE,代入數(shù)據(jù)即可解答.

【解答】(1)證明：如圖連接OD

‘；O。與8C相切于點(diǎn)

：.ZODB=90°=ZC.

J.OD//AC

J.ZODA^ZCAD.

\'OA^OD,

：.ZBAD=ZODA.

:./BAD=NCAD.

.?.AD平分/BAC；

(2)證明：是O。的直徑，NC=90°,

AZADE=ZC=90°,

:四邊形AEO尸是。。的內(nèi)接四邊形，

NAED=NCFD.

：.△DFCsAADE；

(3)在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,

：.ZB=ZBAC=45°.

由(1)可知OZ)〃AC,

：.ZBOD^ZBAC^45a.

：.OD=BD.設(shè)80=無，OB=V2x,

.\BC=AC=x+l,

在RtAABC中，'：AC2+BC2=AB2,

2(x+I)2=(V2x+x)2,

：.x=V2,即BD=OD=V2,

???圖中陰影部分的面積為SABOD-s扇形ODE=2X&X/—457rH)2=1—全

【點(diǎn)評】本題考查圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，與圓有關(guān)的位置關(guān)系，勾股定理，扇形的面積，相似三角形的

判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

2.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對.

(2)三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

(3)若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

(4)探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角.

3.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

4.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

5.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.

(3)等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定;若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°

的角判定.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+/=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+廬=02的變形有：a=Vc2—b2,b=7c2—a?及c=Va?+爐.

(4)由于/+/；2=c2＞a2,所以。＞小同理。＞乩即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

7.等腰直角三角形

(1)兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的

所有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜

邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑(因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°,高又垂

直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等)；

(3)若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑R=/+1,所以r：R=l：V2+1.

8.菱形的性質(zhì)

(1)菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

(2)菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=2浦.(。、b是兩條對角線的長度)

9.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；

對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

10.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

11.圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)