吉林省長春市某中學2023-2024學年高一年級下冊7月期末考試數(shù)學試題（含答案解析）

吉林省長春市長春吉大附中實驗學校2023-2024學年高一下學

期7月期末考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樣本數(shù)據(jù)5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位數(shù)為（）

A.7B.9C.9.5D.10

2.已知向量a7,其中|°|=夜，g|=2,且（a-》）_La,則向量。與b的夾角是（）

A.-B.-C.-D.-

6423

3.從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中隨機抽取三件產(chǎn)品，設(shè)事件A="三件產(chǎn)品全不是次

品”，事件8="三件產(chǎn)品全是次品"，事件C="三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)

論中不正確的是（）

A.A與C互斥B.8與C互斥

C.A、B、C兩兩互斥D.A與B對立

4.己知b是兩條不同的直線，d6是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若。〃貝!|6_La

B.若a_Lc,a_L6,則》Pa

C.若aua,bua,a〃/3,b〃。，則a〃,

D.若ac6=A,a〃a,6〃a,a〃/?,6〃/7,則a〃/?

5.已知正四棱臺ABC。-ABC，的上、下底面邊長分別為1和2,且班1。2,則該棱臺

的體積為（）

A.2^1B.逑C.-D.-

2662

6.在VABC中，角A,民C的對邊分別為a,6,c,已知三個向量根=1,cos。

"=1b,cosg：p=',cos?共線，則VABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形

77

C.有一個角是二的直角三角形D.等腰直角三角形

0

7.一個電路如圖所示，A,B,C,D,E,F為6個開關(guān)，其閉合的概率為：，且是相互獨

2

8.龐殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等

高級建筑上，尻殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”

或“五脊殿”.圖2是根據(jù)尻殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面ABCZ）是矩形，且四個側(cè)面與底面

的夾角均相等，則（）,

D.AB=2BC-EF

二、多選題

9.設(shè)Z”Z2，Z3為復數(shù)，下列命題正確的是（）

A.歸七|=|訃目B.|z『=z；

C.若z+ZzcR,則z「Z2為純虛數(shù)D.若云=Z3，且4片0,則幺=幺

Z]Z]

10.某企業(yè)對目前銷售的A,B,C,。四種產(chǎn)品進行改造升級，經(jīng)過改造升級后，企業(yè)營

收實現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計了該企業(yè)升級前后四種產(chǎn)品的營收占比，得到如下餅圖：

試卷第2頁，共6頁

產(chǎn)品升級前營收占比產(chǎn)品升級后營收占比

下列說法正確的是（

A.產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品A的營收是升級前的4倍

B.產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B的營收是升級前的2倍

C.產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品C的營收減少

D.產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品&。營收的總和占總營收的比例不變

11.如圖，在社會實踐活動中，李明同學設(shè)計了一款很"萌''的圓臺形臺燈，臺燈內(nèi)裝有兩個

相切且球心均在圓臺的軸上的球形燈泡，上、下兩燈泡的球面分別與圓臺的上、下底面相切,

且都與圓臺的側(cè)面相切，若上、下兩球形燈泡的半徑分別為1和9,則（）

A.圓臺形臺燈的母線所在直線與下底面所成角的大小為g

B.圓臺形臺燈的母線長為詈

C.圓臺形的上、下底面半徑之積為9

D.圓臺形臺燈的側(cè)面積大于2800

三、填空題

12.若一組數(shù)據(jù)4工1,4々，，4%2的中位數(shù)為16,方差為64,則另一組數(shù)據(jù)％1T，尤2-1，，&2T

的中位數(shù)為,方差為.

13.在矩形ABC。中，AB=1,AD=6,點/在對角線AC上，點N在邊C￡＞上，且

AM=^AC,DN=^DC,則MMAC=.

14.非直角VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sir?A+sii?3=3$/c,則

tanAtanC+tanBtanC

tanAtanB

四、解答題

15.如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點E,F分別為AB,8C的中點.將.AED,BEF?DCF

分別沿DE,EF,DF折起，使A,8,C三點重合于點P.

(2)求三棱錐尸-EED的體積;

⑶求二面角尸-的余弦值.

16.如圖，在平面四邊形A8CQ中，AB=AD=4,BC=6.

BC

(1)若4=與，C=g，求sin/BDC的值；

⑵若CD=2,cosA=3cosC,求四邊形ABCD的面積.

17.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運會志愿者的服務(wù)

工作是舉辦一屆成功的亞運會的重要保障.為配合亞運會志愿者選拔，某高校舉行了志愿者

選拔面試，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績，繪制成如下頻率

分布直方圖.

試卷第4頁，共6頁

頻率

組距

(1)求。的值，并估計這80名候選者面試成績平均值總眾數(shù)，中位數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點值作代表，中位數(shù)精確到0.1)

(2)乒乓球項目場地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過該項志愿服務(wù)選

拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將3張寫有“中簽”和2張寫有“未中簽”字樣的

字條隨機分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率.

18.如圖，四棱錐C-ADPR與三棱錐。-ABC構(gòu)成了一個組合體，其中。在線段RC上，且

P、。、8三點共線.四邊形A3C。是邊長為2的正方形，PR”AD旦PR=2,PB=2娓.0

為棱CO中點，且。平面尸3c.

⑴證明：平面加尸R；

(2)證明：Q。，平面ABCD；

(3)求平面ADPR與平面ADQ所成角的大小.

19.為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲

組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲

可以獲得兩張書券.游戲規(guī)則如下表：

游戲一游戲二游戲三

箱子中球的大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個

顏色和數(shù)量(紅球編號為“1,2,3”，白球編號為“4,5”)

取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球

獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為機獲勝

(1)分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；

(2)一名同學先玩了游戲一，試問加為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的

概率更大.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678910

答案DBDDBABAADABD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】由百分位數(shù)的求解方法計算即可.

【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：4,5,6,7,9,10,11,12,

因為8x70%=5.6,所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為從小到大排列的第6個數(shù)，為10.

胡選：D

2.B

【分析】由垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積公式計算即可.

【詳解】因為所以=0,即2-2j^cos(a,6)=0,

cos(a,6)=*,因為向量。與。的夾角范圍為[0,%],所以向量。與。的夾角是

故選：B

3.D

【分析】隨機抽取三件產(chǎn)品，得出總事件，再分別得出事件4事件B,事件C包含的事件，

再由互斥事件及對立事件的定義即可判斷出結(jié)果.

【詳解】隨機抽取三件產(chǎn)品，總事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”,

“2件次品，1件正品”，“3件次品，0件正品”

事件&="三件產(chǎn)品全不是次品，，即“0件次品，3件正品”，

事件8="三件產(chǎn)品全是次品”即“3件次品，0件正品”，

事件C="三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”

由互斥事件的定義知：A、B、C兩兩互斥，故ABC正確；

由互斥事件的定義知：A與B互斥，但是A與8的和事件不是總事件，故A與8對立不是

對立事件，故D錯誤.

故選：D.

4.D

【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】由是兩條不同的直線，d夕是兩個不同的平面，

答案第1頁，共12頁

若?！╝,q_L6,則6與a可能相交、平行或6utz,A錯；

若。_La,a_L6,則。尸。或6ue,B錯；

若aua,bua、a〃B，b〃B,則a〃月或d#相交，C錯；

若ab=A,貝!]a,6確定一個平面，設(shè)為7,

又a"a,bHa、a"B、b"B'>所以/〃//〃￡,

則由面面平行的判定定理得a〃/，D正確.

故選：D

5.B

【分析】根據(jù)正棱臺的幾何特點，結(jié)合已知條件，求得棱臺的高，再求棱臺體積即可.

【詳解】對正四棱臺ABCO-ABIGA，連接。綜。B,取，綜DB中點分別為。H,連接

OH,DXH,如下所示:

因為ABCO-ABCR為正四棱臺，則四邊形ABCRABCiA均為正方形，且垂直于上

下底面，DDi=BB],

易知DE”BH,D}Bx=BH=s[2,故四邊形。由2H為平行四邊形，貝且

BB}=D、H,

因為r>，_LaBi，則。2,25,又DDI=BBI=RH,且DH=；DB=母,

由Q￡>2+SH2=DH2,即2￡）戶2=2,解得2〃=1；

由0"_1_面43。12，￡>[。（=面4耳6￡）],則。"_1_2。；

則0H=⑺同一D。=卜=*

又正方形AAG2的面積為1，正方形ABCD的面積為4,

答案第2頁，共12頁

故正四棱臺ABC?！狝耳G2的體積丫=；（1+4+后卜*=平

故選：B.

6.A

【分析】由向量共線的坐標運算可得acosg=6cos3，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍

AR

角公式整理可得sin]=sin,,結(jié)合角的范圍求得A=B,同理可得5=C,則答案可求.

ARB7A

【詳解】向量加=（〃,COS5）,H=S，COS,）共線，:/.acos一=bcos一,

22

BA

由正弦定理得：sinAcos—=sinBcos—,

.?.2sin&"c"=2sinOc-c",則sin^二sin?,

222222

A71B71AB

0<—<—,0<—<—,即A=5.

222222

同理可得8=。.

ABC形狀為等邊三角形.

故選：A.

7.B

【詳解】設(shè)A與8中至少有一個不閉合的事件為7,E與尸至少有一個不閉合的事件為R,則

11a

P（T）=P（7?）=l--x-=^,所以燈亮的概率為尸=1-尸（T）?尸（尺卜

【方法點睛】本題主要考查獨立事件、對立事件的概率公式，屬于難題.解答這類綜合性的

概率問題一定要把事件的獨立性、互斥性與對立性結(jié)合起來，要會對一個復雜的隨機事件進

行分析，也就是說能把一個復雜的事件分成若干個互斥事件的和，再把其中的每個事件拆成

若干個相互獨立的事件的積，這種把復雜事件轉(zhuǎn)化為簡單事件，綜合事件轉(zhuǎn)化為單一事件的

思想方法在概率計算中特別重要.

8.A

【分析】設(shè)點E在底面ABC。上的射影為G,作GNG/VLAB,垂足分別為Af,N,

設(shè)四個側(cè)面與底面的夾角為。，即可得到N￡MG=N￡7VG=。，根據(jù)三角形全等得到方程,

整理即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)點E在底面ABC。上的射影為G,作GMLBC,GN±AB,垂足分

別為M,N.

答案第3頁，共12頁

則NEMG為側(cè)面EBC與底面ABC￡＞的夾角,/EVG為側(cè)面EBAF與底面的夾角,

設(shè)四個側(cè)面與底面的夾角為6,則在RtEMG和RtAEVG中，ZEMG=ZENG=3,

4D_FF

又GE為公共邊，所以GN=GN,即一=—=—,整理得AB=gC+￡F.

22

故選：A

9.AD

【分析】根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)判斷A,取特殊值判斷BC,根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)、共軌復數(shù)模的

性質(zhì)判斷D.

【詳解】由復數(shù)模的性質(zhì)知日/2|=卜卜"|,故A正確；

Wz=i,貝中］「=1片z：=-l,故B錯誤；

取4=1&=0,則Zi+Zz^R,z「Z2=l為實數(shù)，故C錯誤；

-4=-—■=—,故D正確.

因為|z2Hz21Tz31，|z"0,所以

Z」Z|Z|

故選：AD

10.ABD

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖由產(chǎn)品升級前的營收為。，升級后的營收為2a,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即

可結(jié)合選項逐一求解.

【詳解】設(shè)產(chǎn)品升級前的營收為。，升級后的營收為2d

對于產(chǎn)品A,產(chǎn)品升級前的營收為0.1a,升級后的營收為2ax0.2=0.4°,故升級后的產(chǎn)品A

的營收是升級前的4倍，A正確.

對于產(chǎn)品8,產(chǎn)品升級前的營收為0.2a,升級后的營收為2ax0.2=0.4d,故升級后的產(chǎn)品

8的營收是升級前的2倍，B正確，

對于產(chǎn)品C,產(chǎn)品升級前的營收為0.5”，升級后的營收為2ax0.4=0.8a,故升級后的產(chǎn)品

C的營收增加，C錯誤.

產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品8,0營收的總和占總營收的比例不變，D正確.

答案第4頁，共12頁

故選：ABD

11.BCD

【分析】對A,作輔助線，求出。2?,002,結(jié)合邊角關(guān)系得出圓臺形臺燈的母線所在直

線與下底面所成角；對B,由$皿454/=加（萬-402萬）=5：111/002”結(jié)合邊角關(guān)系得出母

線長；對C,求出tan/aA尸，進而由邊角關(guān)系得出；對D,由側(cè)面積計算得出圓

臺形臺燈的側(cè)面積.

【詳解】對于A：如下圖所示，點尸為球面與圓臺的切點,

過點0］作垂足為H,設(shè)小球半徑為r，大球半徑為R,

易知圓臺形臺燈的母線所在直線與下底面所成角為

NH=O.M=r=I,.-.O2H=R-NH=S,

)

cos/NAF=cos(%-ZN02F=cosZO,O2H=土^=—=-

105

IT

故A錯誤;

對于B：因為sinZ.NAF=sin(乃-NNQ產(chǎn))=sinZO{O2H=

20100.「十點

所以D4=,故B正確;

sinZNAF

sin-ZNAF

1-cosZNAF±5_1

對于C：tanZO2AF=tan；NNAF=2

cos-ZNAF1+cosZNAF

25

A.F---------------=—=27801

tanZO2AF￡,DE=AF-DA?cosZNAF=27——=—,

333

則圓臺形的上、下底面半徑之積為27X：=9,故C正確；

對于D：S=^-(AF+r>￡)AZ)=^x^27+^x^=^^^>2800,故D正確；

故選：BCD

答案第5頁，共12頁

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題關(guān)鍵在于將三維圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，從而利用平面幾何

知識處理問題.

12.34

【分析】根據(jù)中位數(shù)和方差的關(guān)系求值.

【詳解】因為數(shù)據(jù)444々，，4%的中位數(shù)為16,方差為64,

所以數(shù)據(jù)石，尤2，，%的中位數(shù)為4,方差為?=4,

所以數(shù)據(jù)占T,/T，，/T的中位數(shù)為4一1=3,方差為4.

故答案為：3；4.

13.-

3

(\UUULUU1U

【分析】以為基底向量表示MN,AC,再根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運算律運算

求解.

【詳解】以卜氏4。｝為基底向量，

101uun

uumumuumuuiruurion3uum73/uumx91uun3uum

貝！JAC=A3+AO,M7V=MC+CN=—AC——=-AB+AD——AB=-AB+-AD,

434、/3124

Lt、tLL.ElULMUUW

因為A5=l,AO=A/3，且ABJ?加，貝UABAQ=0，

uuiruum(1uim3uumAuuauum1uun3uum7

所以MN.AC=位5+—0.(zA5+AO)x=;A522=；.

【分析】由正弦定理角化邊得/+〃=3/,再由三角恒等變換結(jié)合邊角互化得出答案.

答案第6頁，共12頁

【詳解】因為sin2A+sin2g=3sin2C,所以片+從=3/,

tanAtanC+tanBtanC,(cosBcosA

---------------------------==tanC-------+------

tanAtanB(sin5sinA

_sinCTcosBsinA+sinBcosA\

cosC<sin5sinAJ

sinCsin(A+8)_sinCsinC

cosCsinAsinBcosCsinAsinB

______________=__________==i

市寸曲MY2c2

故答案為：1

15.（1）證明見解析

⑵日

3

(3)-

3

【分析】（1）先證明平面PEF,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論;

（2）根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案；

（3）作出二面角尸-￡F-O的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【詳解】（1）證明：因為在正方形ABCZ）中AD，AE,CD，CF,

折疊后即有尸。，PE,PDLPF,

又PEPF=P,PE,PFu平面PEF,

所以PD_L平面PEF,而￡Fu平面PEF,

故PDJLEF；

（2）由題意知==故SPEF=；XPEXPF=2,

I18

^VP-EFD^^XSPEFXPD=-X2X4=-^

（3）取線段所的中點G,連接PG,OG,

P

因為PE=PF,DE=DF,

答案第7頁，共12頁

所以有PGLERDGLEF,26匚平面座,。6匚平面。跖,

所以NPGO即為二面角P-￡F-D的平面角，

又由(1)得PD_L平面PEF,PGu平面PEF,

故PD_LPG,而EF=20,PG=：EF=&DG=y/PD2+PG2=小#+e)。=30,

故c°"PGD喂一展與1，

即二面角P-EF-D的余弦值為g.

3

16.(1)-

16V2+8V5

(/J

【分析】(1)中求出3。，在△8CD中，由正弦定理求出sinNa)C的值;

(2)△和△5CD中，由余弦定理求出cosA和cosC,得sinA和sin。，進而可求四邊

形ABCD的面積.

【詳解】(1)在中，AB=AD=4,A=-^~，則=

36

BD=2ADcosZADB=2x4xcos方=4A/3,

在△38中'由正弦定理得，而BD

sinC

6sin—

BCsinC3

sinZB￡)C=____3

BD4A/34

(2)在△岫)和△BCD中，由余弦定理得

BD1=AB2+AD1-2ABAT>COSA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA,

BD2=CB2+CD2-2CBCZ)COSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

得4cosA_3cosc=-1,又cosA=3cosC,得cosA=—],cosC=—§,

[jlil.人2A/2.4-

貝1sinA=------，sinC=-------，

39

=

四邊形ABCD的面積S=SABD+SBCD萬A3,AD,sinA+—CB,CD,sinC

1//2jlA,475160+8君

=—x4x4x------F—x6x2x------=----------------.

23293

17.⑴a=0.005,1=69.5,眾數(shù)為70,中位數(shù)為69.4.

答案第8頁，共12頁

【分析】(1)由頻率和為1列方程可求出。的值，根據(jù)平均數(shù)的定義可求出最，由眾數(shù)的定

義可求得眾數(shù)，先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解即可；

(2)利用列舉法結(jié)合古典概型的概率計算公式求解即可.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可矢口10(2。+0.025+。.045+0.020)=1,解得。=0.005,

x=50xl0x0.005+60xl0x0.025+70xl0x0.045+80xl0x0.020+90xl0x0.005=69.5>

眾數(shù)為70,

因為前2組的頻率和為10x0.005+10x0.025=0.3<0.5,前3組的頻率和為

10x0.005+10x0.025+10x0.045=0.75>0.5,

所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為加，則

0.3+0.045(機一65)=0.5,解得m?69.4,

所以中位數(shù)為69.4.

(2)記3名男生分別為AB,C,記2名女生分別為。力，則所有抽簽的情況有：

未中簽中簽C"；未中簽AC,中簽&6；未中簽Aa,中簽BC6；

未中簽抽，中簽3Ca；未中簽BC,中簽A"；未中簽&,中簽AC6；

未中簽86,中簽ACa；未中簽Ca,中簽A5。；未中簽C6,中簽A&；

未中簽必，中簽ABC,共有10種情況，

其中中簽者中男生比女生多的有：未中簽Aa,中簽BC6；未中簽A6,中簽BCa；

未中簽中簽AC6；未中簽出,中簽ACh；未中簽Ca,中簽AB6；

未中簽C6,中簽ABa；未中簽必，中簽ABC,共7種，

所以中簽者中男生比女生多的概率為木.

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)45°

【分析】(1)由平行傳遞性證明四邊形尸助C為平行四邊形，得出點。為RC的中點，再由

中位線定理證明。?！?，進而由線面平行判定證明。?！ㄆ矫娴腞；

(2)由平面結(jié)合BCLDC證明2C，平面RCZ),進而得出BC，。。，再證明

答案第9頁，共12頁

△DQC為等腰三角形，從而得出。DC,最后由判定證明即可；

(3)由DRJ_AD,結(jié)合定義確定平面ADPR與平面A。。所成角為NRDQ,再由

邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)連接也，PR//AD,PR=AD=2,

AD//BC,AD=BC=2,

:.PR//BC,PR=BC,

即四邊形列法C為平行四邊形，則點。為RC的中點,

又。為DC中點，：.QO//RD,

00</平面4>尸尺，7?Du平面

???OQ〃平面ACPR.

(2)OQ_L平面尸BC,。。,8(7<=平面尸3<：,

:.DQ±BC,DQLQC

又BCLDC,。。,。。<=平面氏8,DCDQ=D,

」.BC，平面RCD,0Ou平面RCD,

BC1QO.

又RCu平面RC。，:.BC±RC.

在Rt^QBC中，QC=j6-4=0,

...DQ=74-2=72,ADQ=QC,:.QOLDC

DCcBC=C,DC,8Cu平面ABCD,

QO_L平面ABCZ).

(3)由。Q,3c,8C//AD,可得￡>Q，AD,

又BC_L平面RC。，DHu平面RCD,

:.DR±BC,DR±AD,

答案第10頁，共12頁

則平面ADPR與平面ADQ所成角為/RD。,

又點。為RC中點，DQ1RC,

.-.RD=DC=2,

在Rt/XQRZ）中，RQ=QC=^=DQ,

則tanZRDQ=嗡=1,ZRDQ=45°,

則平面ADPR與平面ADQ所成角為45°.

19.（1