2024年中考數(shù)學試題分類匯編：等腰三角形與直角三角形（28題）解析版

專題19等腰三角形與直角三角形（28題）

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在ABC中，ZA=9O°,AB=AC=6,。為邊3C的中點，點E,F

分別在邊A3,AC上，AE=CF,則四邊形AED尸的面積為（）

A.18B.9點C.9D.642

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關的線段與角度的轉(zhuǎn)化是

解題關鍵.連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AE=CF得出VAC史ACDb,將四邊形AEZ邛的

面積轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接AO,如圖:

VABAC=90°,AB=AC=6,點。是BC中點，AE=CF

：.NBAD=N3=NC=45°,AD=BD=DC

：.7ADEKCDF,

,,S四邊形/JEDF=+S^ADF=S4CFD+^^ADF=*^AADC='^AABC

又

/、SAoRC=6x6x—2=18

,,S西邊形AEDF=2SABC=9

故選：c

2.(2024?青海?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，。是AC的中點，/BDC=60°,AC=6,則8C的長是

()

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4

A.3B.6C.73D.373

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：,??在Rt^ABC中，NAfiC=90。，。是AC的中點，

BD=-AC=CD,

2

???ZBZ）C=60°,

.BDC等邊三角形，

BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故選：A.

3.（2024.四川廣元?中考真題）如圖，將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到VADE,點8,C的對應點分別

為點。，E,連接CE,點。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則AD的長為（）

A.75B.V10C.2D.2A/2

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得AC=M,

ZC4E=90°,OE=8C=1,推出AACE是等腰直角三角形，CE=4,過點A作于點”，得到HD=1,

利用勾股定理求出AO的長.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得△MC/NC4E=90。，

AAC=AE,ZCAE=9Q°,DE=BC=1,

"CE是等腰直角三角形，CE=CD+OE=3+1=4,

過點A作AH_LCE于點乂

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E

a

BA

：.AH=-CE=CH=HE=2,

2

HD=HE-DE=2-1=1,

???AD=1AH2+HD2=,22+'=5

故選：A.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在扇形A03中，ZAOB=80°,半徑Q4=3,C是相上一點，連

接OC,。是OC上一點，且OD=OC,連接30.若3DL0C,則AC的長為（）

,兀c兀C?！?/p>

A.-B.-C.-D.兀

632

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接BC,根據(jù)DC,

BD1OC,易證△03C是等腰三角形，再根據(jù)OB=OC,推出△C?C是等邊三角形，得到N3OC=60。，

即可求出ZAOC=20。，再根據(jù)弧長公式計算即可.

OB=BC,

「?△O3C是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△O5C是等邊三角形,

ZBOC=6Q°,

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ZAOB=8Q0,

，ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

OA=3,

.20x3兀7i

?,AC=----------=——,

1803

故選：B.

5.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)小明同學手中有一張矩形紙片ABC。，AD=12cm,CZ)=10cm,他進

行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使4。與BC重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△5V沿AN折疊得到△AON,A"交折痕于點E,則線段EN

24248

【答案】B

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出="'AN,進而得出E4=4V,^EA=AN=xcm,貝U

EM=(12-x)cm,根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【詳解】解：???四邊形A3CD是矩形，

/.AB=CD=10cm,

由折疊可得：AM=-AB=5cmAD=AD'=12cm,MN1AB,NDAN=ND'AN,

2f

J四邊形4VWD是矩形，

MNAD,MN=AD=12cmf

：.NDAN=ZANM,

:.ZANM=/D'AN,

：.EA=EN,

設E4=E/V=xcm,則EM=(12-x)cm,

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在RtZVIAZE中，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2>

即52+(12-X)2=X2,

169

解得:x=-----

24

169

即EN二----cm,

24

故選：B.

6.（2024?福建?中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中OAB

與；ODC都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點、E,尸分別是底邊AB,的中點，OELOF.下

列推斷錯誤的是（）

A.OBVODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；

A.由對稱的性質(zhì)得NAOB=NDOC,由等腰三角形的性質(zhì)得NBOE=g/AOB,ZDOF=^ZDOC,即可

判斷；

B./30C不一定等于NAQB,即可判斷；

C.由對稱的性質(zhì)得OAB^ODC,由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過。作可得NGOD=NBOH,由對稱性質(zhì)得=同理可證NAOM=/3。"，

即可判斷；

掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：A.OELOF,

:.ZBOE+ABOF=9CP,

由對稱得ZAOB=NDOC,

點E,尸分別是底邊48,C。的中點，與。ODC都是等腰三角形,

NBOE=-ZAOB,NDOF=-NDOC,

22

.-.ZBOF+ZDOF^90°,

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s.OBLOD,結(jié)論正確，故不符合題意；

B.-30C不一定等于/AC?,結(jié)論錯誤，故符合題意;

C.由對稱得OAB^,ODC,

:點E,尸分別是底邊AB,CD的中點，

:.OE=OF,結(jié)論正確，故不符合題意；

過。作

NGOD+NDOH=90。,

ZBOH+NDOH=90°,

Z.GOD=NBOH,由對稱得/BOH=ZCOH,

:./GOD=NCOH,

同理可證ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,結(jié)論正確，故不符合題意；

故選：B.

7.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程V-10x+21=0的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得為=3,

%=7,根據(jù)三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程爐—10X+21=0得，%=3,x2=7,

V3+3<7,

???等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

???這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

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8.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，在ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點A為圓心，適當長為

半徑畫弧分別交AB，AC于點M和點N,再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于

點、P,連接AP并延長交于點。.若ACD的面積為8,則△ABD的面積是（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由作圖知平

分NBAD,則可求NC4D=/ZMB=30°,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)得出Cr>=：Ar>,利用等角對

等邊得出A￡>=8￡>,進而得出CD=g5D,然后利用面積公式即可求解.

【詳解】解：；"=90°,NB=30°,

ZCAB=60°,

由作圖知：平分NEW,

?.ZCAD=ZDAB=30°,

：.CD=^AD,ZB=ZBAD,

/.AD=BD,

：.CD=-BD,

2

Q—CD?ACi

...SACJ2=CDJ

bd2

SABD-BDAC

2

又，ACD的面積為8,

△ABD的面積是2x8=16,

故選B.

9.（2024?安徽?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，AC=3C=2,點。在A3的延長線上，S.CD=AB,則

的長是（）

AHD

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A.V10-V2B.A/6-V2C.2V2-2D.2V2-V6

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點。作。ELCB的延長

線于點E,則/阻）=90。，由/ACB=90。，AC=BC=2,可得A3=2近，ZA=ZABC=45°,進而得

到CD=20,ZDBE=45°,即得△"）￡1為等腰直角三角形，得到D￡=BE,設DE=BE=x,由勾股定理

得（2+無y+/=（2應了，求出x即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：過點。作DE，CB的延長線于點E,則/8即=90。，

VZACB=90°,AC=BC=2,

*"?AB=V22+22=272,ZA=ZABC=45°,

:.CD=2~Ji,ZDBE=45°,

為等腰直角三角形，

/.DE=BE,

設￡>E=BE=x,貝?。軨E=2+x,

在Rt^CDE1中，CE2+DE2=CD2,

（2+尤）。彳2=（2匈1

解得占=G-1,x2=-73-1（舍去），

10.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊ABC鋼架的立柱CDLAB于點。，AB長12m.現(xiàn)將鋼架立

柱縮短成DE,NBED=60。.則新鋼架減少用鋼（）

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A.（24-12石）mB.（24-8否）mC.（24-6石）mD.（24-4石）m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應用.利用三角函數(shù)的定義分別求得。E=2g,

BE=4y/3=AE,CD=6^,利用新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD-AE—3E—OE,代入數(shù)據(jù)計算即可求

解.

【詳解】解：：等邊,ABC,CDLAB于點，48長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

'：ABED=6Q°,

：.tan60°=—=V3,

DE

/.DE=2A/3,

BE=^DE2+BD2=4A/3=AE，

/a。=60。，

/.CD=BDtanZCBD=y[3BD=6底i,3C=AC=AB=12m,

???新鋼架減少用鋼=人。+3。+8-71￡-3￡'-。￡

=24+673-8A/3-273=（24-4^）m,

故選：D.

11.（2024?天津?中考真題）如圖，ASC中，48=30,將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,點、A,B

的對應點分別為RE,延長54交DE于點尸，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

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C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得N3CE=NACD=60。，結(jié)合N8=30,即可得證B產(chǎn)，CE,再根

據(jù)同旁內(nèi)角互補證明兩直線平行，來分析AC〃小不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運算或線段的運算

得出A和C選項是錯誤的.

【詳解】解：記母■與CE相交于一點X,如圖所示：

,/ABC中，將.ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,

ZBCE=ZACD=6O°

"：ZB=30°

...在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BF±CE

故D選項是正確的，符合題意；

設/ACW=x。

?*.ZACB=60°-x°,

,/ZB=30°

/.NEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x。

ZEDC+ZACD=90°+尤。+60°=150°+x°

x。不一定等于30。

NEDC+NACD不一定等于180。

AC〃上不一定成立，

故B選項不正確，不符合題意；

VZACS=60°ZACD=60°,x。不一定等于0。

NACB=NAC￡>不一定成立，

故A選項不正確，不符合題意；

,/將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得至U.DEC,

/.AB=ED=EF+FD

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/.BA>EF

故C選項不正確，不符合題意;

故選：D

二、填空題

12.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是一ABC邊AB,AC的中點，連接BE,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,則BE的長為

【答案】4

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得

DE〃BC,BC=2DE=4,得出NC=ZAED=NBEC,得出BE=3C=4

【詳解】解：：。，E分別是二A5C邊AB,AC的中點，

/.DE1是wABC的中位線，

/.DE//BC,BC=IDE=4,

NAED=NC,

?：ZAED=ZBEC,

：.NC=NBEC,

：.BE=BC=4,

故答案為：4

13.（2024.四川成都.中考真題）如圖,在平面直角坐標系xOy中，已知4（3,0）,B（0,2）,過點B作4軸的

垂線/,P為直線/上一動點，連接尸。，PA,則PO+B4的最小值為.

【答案】5

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【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點A關于直線/的對稱點A,

連4。交直線/于點C,連AC,得到AC=4C,A'Arl,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短,

得到當O,P,A三點共線時，PO+B4的最小值為40,再利用勾股定理求A。即可.

【詳解】解：取點A關于直線/的對稱點A,連A0交直線,于點C,連AC,

則可知AC=A'C,A'A_L/,

Z.PO+PA^PO+PA>AO,

即當O,P,A'三點共線時，PO+PA的最小值為AO,

,直線/垂直于y軸，

AA_Lx軸，

???4(3,0),3(0,2),

AO=3,A4'=4,

...在RtAAO中,

A'O=7tM2+A4,2=V32+42=5，

故答案為：5

14.(2024.天津.中考真題)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,F,G均在格點上.

(2)點E在水平網(wǎng)格線上，過點A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點作切線，分別與AE,■的

延長線相交于點3，C,ABC中，點M在邊8C上，點N在邊A5上，點尸在邊AC上.請用不刻序的直

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尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M,N,P,使反!"/?的周長最短，并簡要說明點M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】V2圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確作圖是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

作點/關于、的對稱點、M,連接、分別與、相交于點、P,

(2)ABACM2MMMYM2,48ACE

△肱VP的周長等于的長，等腰三角形的腰長為AM,當AM的值最小時，加1加2的值最小，

此時M是切點，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，46=爐不=應，

故答案為：72

(2)如圖，根據(jù)題意，切點為M；連接ME并延長，與網(wǎng)格線相交于點M］；取圓與網(wǎng)格線的交點。和格

點H,連接。”并延長，與網(wǎng)格線相交于點對2；連接知1知2,分別與AB,AC相交于點N,P,則點

15.(2024.甘肅臨夏.中考真題)如圖，等腰45C中，AB=AC=2,ZBAC=120°,將ABC沿其底邊中

線AD向下平移，使A的對應點A滿足44'=；A￡>,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三線合一,根據(jù)平移的性質(zhì)，推出AEF^AB'C,

根據(jù)對應邊上的中線比等于相似比，求出所的長，三線合一求出的長，利用面積公式進行求解即可.

【詳解】解：,?,等腰工ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,

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ZABC=30°,

,/AD為中線，

?*.ADIBC,BD=CD,

：.AD=^AB=1,BD=y/3AD=73,

BC=2/，

?..將ABC沿其底邊中線AO向下平移，

/.B'C//BC,B'C=BC=2^/3,A'G=AD=1,

：.AEF^tAB'C,

.EFA'D

"/AA'=-AD,

3

222

DA'=-AD=-A'G=-,

333

.EFA'D_2

EF=-B'C'=^~

33

?c_14,n_l4732_473

,?S陰影二萬七產(chǎn)，4。=5*-y-*耳=~9~

故答案為學

16.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）矩形ABCD的面積是90,對角線AC,3D交于點。，點E是BC邊的

三等分點，連接DE,點尸是￡>E的中點，OP=3,連接CP,則PC+PE的值為

【答案】13或皿

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理.當時，利用三角形中位線定理

求得CE=12,再求得矩形的邊長,利用勾股定理求得OE的長,再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當CE<BE

時，同理求解即可.

【詳解】解：當時，如圖,

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:矩形ABC。，

點。是80的中點，

:點P是OE的中點，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:點E是BC邊的三等分點，

CE=2BE=12,BC=3BE=18,

???矩形ABCD的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=5,

*'-DE=A/52+122=13>

PC+PE=DE=13；

當CE<BE時,如圖，

;矩形ABCD,

點。是8￡>的中點，

;點尸是DE的中點，

ABE=2.OP=6,CP=PE=PD,

:點E是2C邊的三等分點，

CE=—BE=3,BC=3+6=9,

2

???矩形ABCD的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=10,

；?DE=732+102=7109，

?*.PC+PE=DE=J109;

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故答案為：13或VI麗.

17.（2024?山東?中考真題）如圖，已知NM4N,以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與40、AN

相交于點B,C；分別以8,C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在/MAN內(nèi)部相交于點P,

2

作射線AP.分別以A,8為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點O,E,作直線DE分別

與48,互相交于點/，Q.若AB=4,ZW=67.5°,則尸到AN的距離為.

E\Q

【答案】V2

【分析】如圖，過下作9_LAC于證明N54P=NC4P,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,再證明

NE4H=45。，再結(jié)合勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，過下作M_LAC于H,

冰2

由作圖可得：ZBAP=ZCAP,DE.LAB,AF=BF=-AB=2,

'：ZPQE=61.5°,

：.ZAQF=67.5°,

ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

NE4a=45°,

下到⑷V的距離為拒；

故答案為：0

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應用，勾股定理的應用，等腰三

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角形的判定，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作.

18.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）已知矩形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點尸在邊上，連接AP,

將..沿AP所在的直線折疊，點8的對應點為夕，把紙片展平，連接88',CB',當V3CB'為直角三角

形時，線段CP的長為.

【答案】|■或2

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進

行討論：當/3CB'=90。時，當/3?C=90。，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：四邊形A3CD為矩形，

；./BCD=NADC=NABC=NBAD=90。,AB=CD=5,AD=BC=A,

當/3CB'=90。時，如圖所示：

NBCD=90。,

.,.點3'在8上，

根據(jù)折疊可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

設CP=x,則3P=8尸=4一x,

,,DB'=VAB'2—AD2=A/52—42=3,

CB'=DC—DB'=5-3=2,

在RtCB'尸中，根據(jù)勾股定理得：B'P2=B'C2+CP2,

即（4—x）2=22+f,

3

解得：x=j

3

即CP=±；

2

當/M'C=90。，如圖所示：

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根據(jù)折疊可知：BP=B'P,

：.ZPBB=/PB'B,

"?ZPBB'+NBCB'=90°,NPB'B+NPB'C=90°,

NBCB'=ZCB'P,

PC=PB',

：.PC=PB,

,?BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

綜上分析可知：CP=3或2.

故答案為：|■或2,

19.（2024.四川內(nèi)江.中考真題）如圖，在二ABC中，ZABC=60°,BC=8,E是8c邊上一點，且3E=2,

點/是ABC的內(nèi)心，應的延長線交AC于點。，P是BD上一動點,連接尸E、PC,則尸E+PC的最小

值為.

【答案】2厲

【分析】在A3取點F，使BF=BE=2,連接PP,CF,過點B作3c于X,利用三角形內(nèi)心的定

義可得出/ABD=NC8D,利用SAS證明BFF2BEP,得出尸F(xiàn)=則尸E+PC=尸產(chǎn)+PCNC尸，當C、

P、/三點共線時，PE+PC最小,最小值為CF,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出3”,利用勾股定

理求出EH,b即可.

【詳解】解：在AB取點R使BF=BE=2,連接PF,CF,過點P作切，3c于H,

第18頁共40頁

是，ABC的內(nèi)心，

/.3/平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

：.BFP^BEP(SAS),

/.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

當C、P、尸三點共線時，PE+PC最小,最小值為C/,

FHIBC,ZABC=60°,

：.ZBFH=30°,

BH=LBF=I,

2

?"-FH=yjBF2-BH2=y/3-CH=BC-BH=7,

'?CF=VCW2+FH2=2?，

/.PE+PC的最小值為2A/13.

故答案為：25.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30。的直角三角形是解題的關鍵.

20.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在，ASC中，AB=5,tan/C=2,則AC+好的最大值為.

【答案】5應

【分析】過點8作BDLAC,垂足為O,如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到AC+@BC=AC+OC,延

5

長QC到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示，從而確定AC+@8C=AC+DC=AC+CE=AE,

5

ZE=45°,再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在，。上運動，AE是，。的弦，求AC+且BC的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點3作BDLAC,垂足為。，如圖所示：

第19頁共40頁

a

tanZC=2,

.,.在RtBCD中，設OC=;(:,則瓦)=2%,由勾股定理可得3C=氐,

?雀■咚即爭

3C=DC,

AC+—BC=AC+DC,

5

延長。。到E,使EC=CD=x,連接班，如圖所示：

E

c/\

AC+—BC^AC+DC=AC+CE=AE,

5

BD1DE,DE=2x=BD,

是等腰直角三角形，則NE=45。，

在AABE中，AB=5,ZE=45°,由輔助圓-定弦定角模型，作A5石的外接圓，如圖所示:

/M

:二;

由圓周角定理可知，點E在一。上運動，AE是。的弦，求AC+好5。的

5

最大值就是求弦A￡的最大值,根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當弦AE1過圓心。，即A石是直徑時，弦最大，如圖所

示：

二'V

//T\

!o/：!..

AE是。的直徑，

「/i/

才、,________

第20頁共40頁

ZABE=90°,

ZE=45°,

，鉆石是等腰直角三角形，

AB=5,

；.BE=AB=5,則由勾股定理可得AE=4AB。+BE?=5后，即AC+半BC的最大值為50，

故答案為：5VL

【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、

圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問

題的關鍵.

三、解答題

21.（2024?陜西?中考真題）如圖，已知直線/和/外一點A,請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角ABC,

使得頂點B和頂點C都在直線/上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作

法）

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖.過點A作垂足為B,再在直線/上截取

點C,使3C=AB,連接AC,則是所求作的等腰直角三角形.

【詳解】解：等腰直角ABC如圖所示：

22.（2024?黑龍江牡丹江.中考真題）數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在RtAABC中,

ZACB=90°,ZBAC=30°,點。在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,過點E作

EF//BC,交直線AB于點?

第21頁共40頁

(1)當點。在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用=構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取A〃=EF,

連接ZMf,通過證明兩個三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

(2)當點。在線段8c的延長線上時，如圖②：當點。在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接

寫出線段50,EF,之間的數(shù)量關系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6g,CD=2BD,貝UEF=.

【答案】(1)見解析；⑵圖②：AB=BD-EF,圖③：AB=EF-BD；(3)10或18

【分析】(1)在A3邊上截取=EF,連接DM,根據(jù)題意證明出.D4M均收(SAS)，得至UAF=Z)暇，

然后證明出比如是等邊三角形，得到==進而求解即可；

(2)圖②:在2。上取點X,使9=連接并延長到點G使4G=AF,連接。G,首先證明出一AB"

是等邊三角形，得到/54"=60。，然后求出=然后證明出一E4E3G4D(SAS),得到

EF=DG,ZAFE=ZG,然后證明出△DHG是等邊三角形，得到O"=OG=EF,進而求解即可；

圖③：在E尸上取點H使AH=A尸，同理證明出EAH^ADB(AAS),得到=AB=EH,進而

求解即可；

(3)根據(jù)勾股定理和含30。角直角三角形的性質(zhì)求出3C=6,AB=12,然后結(jié)合CD=2BD,分別(1)

(2)的條件下求出8D的長度，進而求解即可.

【詳解】(1)證明：在A8邊上截取=連接DM.

在RtaABC中，ZB=90°-ABAC=90°-30°=60°.

EFBC,

ZEFB=ZB=60°.

又?.ZEAD=60°,

：.ZEFB=ZEAD.

第22頁共40頁

又.ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

,\ZBAD=ZAEF.

又AD=AE,AM=EF,

DAM^AAEF(SAS).

:.AF=DM.

ZAMD=ZEFA=180?！猌EFB=180。—60°=120°.

/.NBMD=180O-ZAMD=180°-120°=60°.

Zfi=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

瀏仍是等邊三角形.

:.BD=BM=DM,

AB=AM+BM,

AB—EF+BD；

(2)圖②：當點。在線段3C的延長線上時，AB=BD—EF,證明如下：

如圖所示，在3。上取點H,使BH=AB,連接A"并延長到點G使AG=AF,連接。G,

,?ZABC=60°,

二_ABH是等邊三角形，

ABAH=60°,

;線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,

AZDAE=60°,AE=AD,

ZBAH=ZDAE,

：.ZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,即ZBAE=ZHAD,

又：AG=AF,

.?一FAE^GAD(SAS),

:.EF=DG,ZAFE=NG,

,/BD//EF,

第23頁共40頁

???ZABC=ZF=ZG=6Q°,

*：ZDHG=ZAHB=60°,

：./kW/G是等邊三角形，

：.DH=DG=EF,

AB=BH=BD-DH=BD-EF；

圖③：當點。在線段CB的延長線上時，AB=EF-BD,證明如下：

如圖所示，在斯上取點〃使AH=AF,

,:EF〃BC,

：.ZF=ZABC=60°,

9：AH=AF,

???△AHF是等邊三角形,

：.ZAHF=ZHAF=60°,

：.ZAHE=120%

將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,

AAD=AE,ZDAE=60°,

：./DAB+ZEAH=180°-ZEAD-ZHAF=60°,

ZD+ZDAB=ZABC=60°,

：?ZD二NEAH,

丁/DBA=180°-ZABC=120。=ZEHA,

XV=

A..EAH^ADB(AAS),

ABD=AH,AB=EH,

?；AH=FH,

：.BD=HF,

:.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

(3)如圖所示，

第24頁共40頁

A

E

F/

M//

B^DC

圖①

VABAC=30°fZC=90°,

/.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

A（2BC）2=BC2+（6^）2,

???BC=6,

：.AB=2BC=n,

VCD=2BD,BC=BD+CD,

：.CD=-BC=2,

3

由（1）可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如圖所示，當點。在線段3c的延長線上時,

A

?:CD〈BD,與CD=2BD矛盾,

???不符合題意；

如圖所示，當點。在線段C3的延長線上時,

?:CD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF—BD,

AB=2BC=12,

第25頁共40頁

，EF=AB+BD=12+6=18.

綜上所述，所=10或18.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30。角直角三角

形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握以上知識點.

23.（2024?江西?中考真題）追本溯源：

題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）.

（1）如圖1,在ABC中，平分/ABC,交AC于點，過點。作的平行線，交AB于點E,請判

斷.班見的形狀，并說明理由.

方法應用：

（2）如圖2,在YABCD中，BE平分/ABC,交邊AD于點E,過點A作AFXBE交0c的延長線于點尸，

交3C于點G.

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

②已知AB=3,BC=5,求CF的長.

【答案】（1）.5/組是等腰三角形；理由見解析；（2）①B；②3=2.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和

等腰三角形的判定是解題的關鍵；

（1）利用角平分線的定義得到/ABZ）=NCB。，利用平行線的性質(zhì)得到/&=推出

ZBDE=ZABD,再等角對等邊即可證明是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性質(zhì)可以得到四個等腰三角形；

②由①得/M=DF,利用平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：（1）一BDE是等腰三角形；理由如下：

平分NABC,

ZABD=NCBD,

'：DE//BC,

：.NBDE=/CBD,

第26頁共40頁

；.ZBDE=ZABD,

:.EB=ED,

???瓦汨是等腰三角形;

(2)①?.?YABCD中，

F

同（1）ZABE=ZCBE=ZAEB,

AB=AE,

?:AF±BE,

工ZBAF=NEAF,

VAE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAF,ZBAF=NF,

?；/BGA=NCGF,

：.ZBGA=ZBAG,ZDAF=ZF,NCGF=NF,

：.AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即，48石、ABG,^ADF.ACGb是等腰三角形；共有四個，

故選：B.

②?.?YABC。中，AB=3fBC=5,

AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得94=￡方，

CF=DF—CD=5—3=2.

24.（2024?山東威海?中考真題）感悟

如圖1,在‘ABE中，點C,。在邊BE上，AB=AE,BC=DE.求證：ZBAC^ZEAD.

圖I

應用

第27頁共40頁

(1)如圖2,用直尺和圓規(guī)在直線3C上取點。，點E(點。在點E的左側(cè))，使得=且

DE=BC(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)如圖3,用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點。，在直線BC上取一點E,使得NCDE=NBAC,且

DE=AB(不寫作法，保留作圖痕跡).

【答案】見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：

證明△ABCdAED,即可求得ABAC=ZEAD；

應用(1)：以點A為圓心，以A8長度為半徑作弧，交直線3c于一點，該點即為點E,以點A為圓心，以

AC長度為半徑作弧，交直線3C于一點，該點即為點。，連接AD,AE；

應用(2)：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點。，以點C為圓心，

以BC長為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E,連接OE.

【詳解】感悟：

,/AB=AE,

：.ZB=ZE.

在,ABC和△AED中

AB=AE

<ZB=ZE

BC=DE

AABC^AAED.

NBAC=NEAD.

應用：

(1)：以點A為圓心，以43長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點E,以點A為圓心，以AC

長度為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點。，連接AO,AE,圖形如圖所示.

第28頁共40頁

(2)：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點。，以點C為圓心，以8c

長為半徑作弧，交直線BC于一點，該點即為點E,連接DE,圖形如圖所示.

根據(jù)作圖可得：CD=AC,CE=BC,

又AACB=/DCE,

：.ACBADCE,

:./CDE=ZBAC,DE=AB.

25.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)己知ABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/M