華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第21章二次根式

1.二次根式：形如后(。20)叫做二次根式。

2.最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:

⑴被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因

式；

⑵被開(kāi)方數(shù)中丕盒分母；⑶分母中丕盒

根式。

3.同類(lèi)二次根式:

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式叫

做同類(lèi)二次根式。

4.二次根式的性質(zhì)：

1a(a>o)

(1)(4a)2=a(aNO)；(2)A/^-=W|=0(，=0)；

1一a(a<0)

___3>。)

(3)=,___3=0)

___3<0)

5.二次根式的運(yùn)算：

(1)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類(lèi)二次

根式.

口=半(b>0,

(2)二次根式的乘除法&〃=/茄(a>0,b>0)；

ay/a

a>0)?

6.實(shí)數(shù)的大小比較和估計(jì)值

(1)大小比較的方法：平方法、倒數(shù)法、作差法。

(2)實(shí)數(shù)的估計(jì)值，例如：二色的整數(shù)部分是2-

7.絕對(duì)值、二次根式、平方的和為0,那么每個(gè)加數(shù)分別為0

第22章一元二次方程

1.一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，

叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(aWO),其中ax2

是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。

2.一元二次方程的解法

(1)直接開(kāi)平方若X?=a,貝卜=±4';若(mx+〃)2=P，則nw+〃=土而;若/則q=±b

法：

(2)因式分解提公因式法：法：

完全平方公式：

平方差公式：

十字相乘法：

(3)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方)四開(kāi)方.

(4)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)當(dāng)b?—4acN0時(shí)，x=

(5)換元法：(2x+l>-3(2x+l)-4=0,(/-*)2-3(*2一*)-4=0

3.配方法：將二次三項(xiàng)式卜+—人》+三|配方:

4.一元二次方程根的判別式

一元二次方程根的判別式是.

(1.)b?—4ac>00一元二次方程ax?+bx+c：。(aWO)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

⑵b2—4ac=0o一元二次方程ax2+bx+c=0(a7^0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

(3)t)2—4ac<0o一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)實(shí)數(shù)根.

5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若一元二次方程a方+bx+c=O(aWO)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是Xi，x2,則

+x2=，X1X2=.

[

222

注意：(1)+xl=(jq+x2)--x2(2)-x2)=(x1+x2)-4^-x2;

2

(3)卜一x,|=y)(%[+x2)—-x2,(4)—+—=___________,(5)l=_____

■x2xlX]x2

注意：代入降次法也是常考題機(jī),“是%2-x-1=0的兩個(gè)根，求/-2/n-"的值

型，例：

6.一元二次方程的應(yīng)用(審、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答)

(1)圖形(面積、體積)問(wèn)題(2)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題⑶增長(zhǎng)a(l+xY=b率問(wèn)題

第23章相似三角形

1.比例線(xiàn)段

9

在四條線(xiàn)段a,b,c,d中，如果a:b=c:d,那么這四條線(xiàn)段a,b,c,d叫做成比

例線(xiàn)段，

比例中項(xiàng):若a：b=b：c,則b叫a、c的比例中項(xiàng),此時(shí)有〃=碇

2.比例的性質(zhì)

(1)j=Joad=bc，*注意等積式和比例式的轉(zhuǎn)化.

bd

(2)等比性質(zhì)：如果一=—=—=',-=—(b+d+f+—F”WO),那么

bdfn

a+°+e+…+〃2=q,注意：*(1)，，設(shè)左法”是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用

b+d+f------1-nb

方法.②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零.

(3)黃金分割：如果點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段，使得生=些，那么點(diǎn)C

ABAC

叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，他們的比值叫做黃金比，等于

3.三角形相似的判定定理的預(yù)備定理

E?_______

定理的基本圖形：

二、

B上°

B(1)(3)

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：???OE//5C,??.AADEsAABC.

4.三角形相似的判定定理

(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

?

(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,這兩個(gè)直角三角形相似。

5.相似三角形常見(jiàn)的模型

(1)如圖：”為“平行線(xiàn)型”的相似三角形(有“A型”與“X型”圖)

____-.Z)

AD_AE_DE

/\EAD=AE=DEJ\ABAC-BC

ABACBC

BZ^C

B(I)(3)

（2）

(2)如圖：其中N1=N2,則△ADEs^ABC稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形。

AEADDE

ACABBC

若NACD=NB則AC=AD?ABAC2=AD?AB,CD2=AD?BD,

BC=BD?AB

(4)“K”型

6.相似三角形的性質(zhì)

]

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相

似比.

(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方.

7.三角形的中位線(xiàn)：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。中

線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心把中線(xiàn)分成1:2的兩部分。

8.位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)都交于一點(diǎn)，那么

這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。位似比等于相似比。

注意：找位似中心的方法，將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，他們的交

點(diǎn)或延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)就是位似中心。

#

9.畫(huà)位似圖形的一般步驟：

（1）確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)）

（2）分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截?。?

（3）根據(jù)已知的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.

（4）順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.

第24章解直角三角形

1.直角三角形的性質(zhì)

（1）勾股定理（2）直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半

}

2、銳角三角函數(shù)的定義

如圖，在&AA3C中

正弦：sinA=色黑電余弦：cosA=ZA的鄰邊/麗勺對(duì)邊

正切:tanA=

斜邊斜邊/圖勺鄰邊

3、特殊角三角函數(shù)

o

a30°45°60°

sina

cosa)

tana

4、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

sin(90°-a)=cosacos(90°-a)=sina

sina

sin2ctr+cos2a=1-----=tana

cosa

5.解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題

（1）俯角、仰角：視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角,

在水平線(xiàn)下方的叫俯角

（2）坡度（坡比）、坡角：坡面的垂直高度和水平寬度/的比叫做坡度（坡比），即

i=tana=—,坡面與水平線(xiàn)的夾角a叫做坡角

I

6.解直角三角形的應(yīng)用的步驟步驟：

（1）審題，通過(guò)圖形（題目沒(méi)畫(huà)出圖形的，可自己畫(huà)出示意圖），弄清已知和未

知，并在圖中用鉛筆標(biāo)注；

（2）找出有關(guān)的直角三角形，或通過(guò)作輔助線(xiàn)產(chǎn)生有關(guān)的直角三角形，把問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；

（3）根據(jù)直角三角形元素（邊、角）之間關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

第25章隨機(jī)事件的概率

1.事件的分類(lèi)

事件

福宗聿件畸機(jī)事件

必就事件木可■能事件

2.用列舉法求隨機(jī)事件的概率

列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法

1.概率

(1)表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的這個(gè)數(shù)，叫做該事件的概率.P(所關(guān)注

的事件尸所關(guān)注的結(jié)果/所有等可能的結(jié)果.

2.概率的預(yù)測(cè)

(1)要清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個(gè)或哪些結(jié)果.

(2)要清楚所有機(jī)會(huì)的結(jié)果.

(1)、(2)兩個(gè)結(jié)果個(gè)數(shù)之比就是關(guān)注的結(jié)果發(fā)生的概率.方法：畫(huà)樹(shù)狀圖、

列表法.

事件的分類(lèi)

1、確定事件必然發(fā)生的事件：當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=1不可能

發(fā)生的事件：當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=0

2、隨機(jī)事件：當(dāng)A是可能發(fā)生的事件時(shí)，0<P(A)<1

概率的意義

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率巳會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p

m

就叫做事件A的概率。

概率的表示方法

一般地，事件用英文大寫(xiě)字母A,B,C,…，表示事件A的概率p,可記為P(A)=P

概率的求解方法

1.利用頻率估算法：大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率上會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)

m

常數(shù)p就叫做事件A的概率（有些時(shí)候用計(jì)算出A發(fā)生的所有頻率的平均值作為其概率）.

2.狹義定義法：如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，考察事件

A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=?

3.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可

能的結(jié)果，通常采用列表法.其中一個(gè)因素作為行標(biāo)，另一個(gè)因素作為列標(biāo).

特別注意放回去與不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三張卡片，上面分別是數(shù)字1、2、

3,第一抽出一張后再放回去再抽第二次，兩次抽到數(shù)字為數(shù)字1和2或者2和1的概率是多少？若不放

回去，兩次抽到數(shù)字為數(shù)字1和2或者2和1的概率是多少？

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放回去P（1和2）=—不放回去P