浙江省寧波市東恩中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

浙江省寧波市東恩中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)2．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.3．若雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.2 B.3C.4 D.64．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點坐標為B.拋物線的準線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱5．函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種7．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.8．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.419．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.610．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺11．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點 D.2為函數(shù)的極大值點12．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓相交于A，B兩點，則______14．已知點P為橢圓上的任意一點，點，分別為該橢圓的左、右焦點，則的最大值為______________.15．2021年7月24日，在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，中國選手楊倩以251.8環(huán)的總成績奪得金牌，為中國代表團摘得本屆奧運會首金．已知楊倩其中5次射擊命中的環(huán)數(shù)如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，則這組數(shù)據(jù)的方差為______16．若等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知p：方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；q：當時，函數(shù)恒成立.（1）若p為真，求實數(shù)t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數(shù)t的取值范圍18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線1與坐標軸的交點都在圓C上（1）求圓C的方程；（2）設(shè)過點P(0，－2)的直線l與圓C交于A，B兩點，且AB＝2，求l的方程19．（12分）在平面直角坐標系內(nèi)，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點的坐標20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點A，B是橢圓C的上，下頂點，點P是直線上的動點，直線PA與橢圓C的另一交點為E，直線PB與橢圓C的另一交點為F．證明：直線EF過定點21．（12分）已知拋物線的焦點為F，以F和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于22．（10分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，且.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】如圖設(shè)橢圓的左焦點為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點為E，則，因為點A、B關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B2、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進行求解.【詳解】連接與，因為，則為所求，又是正三角形，.故選：C.3、A【解析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程為求解.【詳解】因為雙曲線所以焦點在x軸上，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點坐標為，故A錯誤；拋物線的準線方程為，故B錯誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯誤；故選：C.5、A【解析】利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進行求解.【詳解】對函數(shù)進行求導：，因為，，所以，因為，所以f(x)是奇函數(shù),所以在R上單調(diào)遞增，又因為，所以的解集為.故選：A6、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B7、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C8、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.9、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a，b為正實數(shù)，且，所以.當且僅當，即時取等號.故選：D10、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項.【詳解】設(shè)冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D11、D【解析】根據(jù)導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D12、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】利用弦心距、半徑與弦長的幾何關(guān)系，結(jié)合點線距離公式即可求弦長.【詳解】由題設(shè)，圓心為，則圓心到直線距離為，又圓的半徑為，故.故答案為：14、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時，由橢圓的性質(zhì)知當P為橢圓上頂點時最大，此時，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點睛】本題考查橢圓焦點三角形的問題，考查正弦定理的應(yīng)用.15、128【解析】先求均值，再由方差公式計算【詳解】由已知，所以，故答案為：16、5【解析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【詳解】因為，若時，可得，故，所以，化簡得，整理得，解得或，因為，解得，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由給定條件結(jié)合橢圓標準方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時的t值范圍，再借助“或”聯(lián)結(jié)的命題為真命題求解作答.【小問1詳解】因方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實數(shù)t的取值范圍是.【小問2詳解】，則有，當且僅當，即時取“=”，即，因當時，函數(shù)恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因為假命題，且為真命題，則與一真一假，當p真q假時，，當p假q真時，，所以實數(shù)t的取值范圍是.18、（1）（2）或【解析】（1）求出曲線與坐標軸的交點坐標，設(shè)出圓的一般方程，代入求解；（2）分類討論，斜率不存在時，直接驗證，斜率存在時，設(shè)直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求解【小問1詳解】時，，又得，，所以三交點為，設(shè)圓方程為，則，解得，圓方程為；【小問2詳解】由（1）知圓標準方程為，圓心為，半徑為，直線斜率不存在時，直線為，它與圓的兩交點為，滿足題意；斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到的距離為，又，所以，，直線方程為即所以直線方程是：或19、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，求出的斜率，再用點斜式求直線的方程（2）根據(jù)的面積為5，求得點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式，求得的值【詳解】解：（1），，的中點的坐標為，又設(shè)邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即邊的垂直平分線所在的直線的方程（2）邊所在的直線方程為設(shè)邊上的高為即點到直線的距離為且解得解得或，點的坐標為或20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當時，根據(jù)點的坐標寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點的坐標；同理可求出點的坐標，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點.法二：首先根據(jù)時直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點，的坐標，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】法一：設(shè)，，，當時，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點當時，點E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點綜上，直線EF過定點法二：當點P在y軸上時，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點M，則M必在y軸上，可設(shè)當點P不在y軸上時，設(shè)，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因為E，F(xiàn)，M三點共線，所以，所以，整理得，因為，所以，解得，即所以直線EF過定點21、（1）；（2）存在，1；（3）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長)可求內(nèi)切圓半徑r.【小問1詳解】由題意焦點到準線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問2詳解】設(shè)直線的斜率為，