2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)五十八 直線和雙曲線

五十八直線和雙曲線

（時間：45分鐘分值:90分）

【基礎落實練】

1.（5分）（2024?大連模擬）過雙曲線/一儼=2的左焦點作直線/,與雙曲線交于45兩

點，若磔為=4,則這樣的直線I有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【解析】選D.由題意得雙曲線左焦點（-2,0）,當直線垂直于橫軸時,|/引=2避不符

合題意，雙曲線漸近線方程為產(chǎn)出；

故可設/產(chǎn)左（x+2）（左丹1）4%1,為）,5（%2咫）與雙曲線聯(lián)立可得2"+?=（1-

x-y=Z

杉）%2_4左2%-4杉-2=0,

4k2-4/c2-2

%1+%2=---2^1,%2=----,

l-k1-k

I2

由弦長公式知+1,-%2|=7必+rW：40左2+1=的左2_11,

1^-1|

則仁士（出一1）或仁±（"+1）.

故存在四條直線滿足條件.

2.（5分）（2024福州模擬）已知雙曲線C的方程為?儼=1,點P,Q分別在雙曲線的

左支和右支上，則直線尸。的斜率的取值范圍是（）

A.（岳

B.（-2,2）

C.Ug,+8）

D.（-oo,-2）U（2,+oo）

211

【解析】選A.雙曲線在）?=1的漸近線方程為嚴士/斜率為±2，

依題意，點P,Q分別在雙曲線的左支和右支上,所以直線。。的斜率的取值范圍是

（43

2

3.（5分X2024?昆明模擬）已知F為雙曲線C：y-y2=l的左焦點，過F的一條直線I

與雙曲線C交于A,B兩點，與雙曲線C的漸近線交于D,E兩點，若需孚,則直線

\UCJ|乙

/的斜率為（）

A.±9B婷C.ifD.±2

2

【解析】選A.據(jù)題意，設直線"=依什2）,兩條漸近線滿足方程?產(chǎn)=0,

fy=k（x+2）

由，j2得12一3左2（%2+4%+4）-3=0,

,3=1

整理彳導(1-3N)N-12FX-12左2一3=0,

4=144/+4(1-3N)(12N+3)=12F+12,

(y=k(x+2)

由，，2得：/-3左2(%2+4X+4)=0,

3=°

整理彳導（1-3左2）%2_12左2%一12左2=0,

42=1443+48左2(1-3F)=48N,

\AB\Kp+i姆

所以，所以七士￡

西

22

4.（5分）（2024?北海模擬）已知直線尸x+1與雙曲線C:、1l（A0,b>0）的兩條漸近

ab

線父于，,B兩點，且4在第一象限。為坐標原點右|。4|=2|0鼻則雙曲線C的禺

心率為（）

A事B.^/iOC.2D.5

【解析】選B.因為|。4|=2］。以所以必=-2%B,

設5（加,加+1）,則4（-2加,-2加+1）,

因為左〃+公產(chǎn)0,所以*

112

解得加=-萬所以力（萬萬），

所以片3,則e=~1+

口a?a

2

5.（5分）（多選題X2024?石家莊模擬）已知雙曲線C:斤產(chǎn)=15>0）,若圓M:（x-2）2+y2=l

與雙曲線C的漸近線相切，則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為世聲0

B.雙曲線。的實軸長為6

C雙曲線。的離心率

D.過雙曲線C的右焦點的直線與圓M交于A,B兩點,則弦長|4引=2

【解析】選ACD.雙曲線的漸近線方程為升町=0,圓M的圓心為（2,0）,半徑為1,

所以圓心到漸近線的距離d-Jl,得。=平（負值舍去）,所以雙曲線的漸近線

yjl+a

2

方程為X士畫=0,故A正確;雙曲線方程為儼=1,雙曲線C的實軸長為2收,故B

錯誤;c2=q2+〃=3+i=4,所以雙曲線的離心率故C正確；

因為雙曲線的右焦點是圓M的圓心，所以弦長為直徑，所以［4回=2,故D正確.

22

6.（5分X多選題）已知曲線。：磊+f*1（加。-1,且加W-4）,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若曲線。為橢圓或雙曲線，則其焦點坐標為（土4,0）

B.若曲線。是橢圓廁加>-1

C.若m<-\且加齊4,則曲線。是雙曲線

D.直線就方仁0（憶eR）與曲線。恒有兩個交點

【解析】選AB.若曲線表示橢圓，

因為4+m>l+m,

所以。2=4+加＞0尸=1+加＞0,則m＞-\,

即橢圓焦點在%軸，則c2=q2/2=3得c中,

此時焦點坐標為（±&,。），

若曲線表示雙曲線，由（4+m）（l+m）＜0,^-4＜m＜-l,

此時雙曲線的標準方程為二

*I"I—X—771.

則a2=4+m,b2=-l-m,

即焦點在X軸，則C2=q2+b2=3得c=E

此時焦點坐標為（土木,0）,故A,B正確,C錯誤；

由kx-y-k^0得k（x-l）-y=0,

即直線過定點Mi,o）,

當曲線為雙曲線時,-4＜加＜-1,

此時。2=4+加仁（0,3）,

當m=-2時d=2,此時，雙曲線右頂點為（々,0）,在點M（l,0）的右側(cè)，

此時直線與曲線C不一定有兩個交點，故D錯誤.

7.（5分X2024?南京模擬）已知雙曲線C過點（3,并）,且漸近線為尸土今,則雙曲線

C的方程為;若動直線y=6x-2）與雙曲線C的同一支有兩個不同的交

點，則實數(shù)上的取值范圍為.

【解析】①根據(jù)題意可得，雙曲線的漸近線方程為歹=士2，設雙曲線的方程為:

y2=A,(A#0),

僅=k（x-2）

②設直線產(chǎn)左（%-2）與雙曲線。交于4（修,y）,5（%2,歹2）,由，，2=（1-

（3=1

3左2）爐+12左2/3-12左2=0,

,21

2k牛飛

1-3/c。0242221

貝5A>0今124+4x（3+12k）（l-3k）>°=k>§,

%1%2>0-3-12k2

l-3-f-c---o

所以k￡（-oo,號U（孚,+8）.

答案:：-儼=1（-8,-mU（￡+8）

22

8.（5分X2022?浙江高考）已知雙曲線（。>0力>0）的左焦點為E過b且斜

ab

率為/的直線交雙曲線于點/（%1必）,交雙曲線的漸近線于點以%2屈）且

對<0<%2若I即=3|a|廁雙曲線的離心率是.

【解析】過/且斜率為《的直線

b、__、b

/AyK（x+c）漸近線上尸*

，b

聯(lián)立幅）,

y=0

由尸引=3尸4得/（-，第,

而點/在雙曲線上,于是交，上三=1,

81a81ab

解得鴻，所以離心率e岑.

林案?至

口4

9.(10分)(2024?景德鎮(zhèn)模擬)已知焦點在x軸上的雙曲線實軸長為2,其一條漸近

線斜率為嫄.

(1)求雙曲線的標準方程；

22

【解析】⑴因為雙曲線的焦點在X軸上，設該雙曲線的標準方程為三斗

ab

=l(a>0,Z?>0),

(2a—2(—A

因為該雙曲線的實軸長為2,一條漸近線斜率為裾，則匕="，解得匚n上，

2

因此，該雙曲線的標準方程為x2-y=l.

⑵過點/(口)能否作直線/,使直線I與所給雙曲線交于P,Q兩點，且點A是弦

PQ的中點?如果直線I存在，求出它的方程;如果不存在，說明理由.

【解析】(2)假定直線I存在，設以4(1,1)為中點的弦的兩端點為。(孫為),。(%2"),

則有xi+x2=2,yl+y2=2.

根據(jù)雙曲線的對稱性知X1#2.由點P,Q在雙曲線上得2%jyj=2,24y；=2,

、y-\-y?

兩式相減得2(%1+%2)(%產(chǎn)2)-什巾2)什1-32)=0,所以2*2(占-%2)-201-歹2)=0,所以^-=2,

人1]一4*2

即以4(1,1)為中點的弦所在直線的斜率仁2,故直線。。的方程為產(chǎn)1=2(%-1),即

(22

2抄1=0.聯(lián)立產(chǎn)十：,消去＞得2%2-4X+3=0/=(-4)2-4X2X3=-8＜0,

因此直線I與雙曲線無交點，故滿足條件的直線I不存在.

【加練備選】

已知雙曲線。:爐-歹2=4,直線//=左(%-1),試確定實數(shù)上的取值范圍，使：

(1)直線I與雙曲線有兩個公共點；

【解析】⑴聯(lián)立”號？，

消y整理得(l-N)N+2左2%42-4=0,(*)

因為直線I與雙曲線C有兩個公共點,

7

-ri1-fc0

所EF以<4,2>2，

[A=47k+4(1-k)(k+4)>0

9

1-fcSfc0

整理得

4=4(4-3k2)>o'

解得:-竽＜左＜-1或-1＜左＜1或1＜左＜竽.

所以上的取值范圍為惘-竽＜左＜-1或-1＜左＜1或1＜左＜竽｝.

(2)直線I與雙曲線有且只有一個公共點;

【解析】（2）當1次2=0即仁±1時，直線/與雙曲線的漸近線平行，

方程（*）化為2/5=0,故方程（*）有唯一實數(shù)解，即直線與雙曲線相交,有且只有一個

公共點，滿足題意.

當1/9時，因為直線1與雙曲線C僅有一個公共點，則/=4（4-3N尸0,解得人士

2^/3

綜上,仁士1或仁土竽

（3）直線I與雙曲線沒有公共點.

【解析】（3）因為直線I與雙曲線C沒有公共點，

所以,,

解得心竽或卜手.

所以k的取值范圍為｛砥（考或不竽｝.

【能力提升練】

22

10.（5分）（2023?漳州模擬）已知雙曲線CJll（a>0,b>0）的左焦點為此直線

ab

2

產(chǎn)砥左>0）與雙曲線C交于P,Q兩點，且NPpoW，巨好了忑=4,則當%+4取得最

小值時，雙曲線C的離心率為（）

A.3B，V3C.2D取

【解析】選D.不妨設P位于第一象限，雙曲線C的右焦點為連接PF2,F2Q,

因為。為。。尸尸2的中點，

所以四邊形PF.QF.為平行四邊形，

所以PF2=F]_Q，N/1尸尸2方；

設|=加,|PF21="（加,”>0），則m-n=2a,

]__,___l___,___,冗]

PF,FQ=4PF

由_〕L_1L得_L:乙〕-PF。^乙mncos解得mn=8;

2IT

在△PT鏟2中,出產(chǎn)2廣"=m2+n2-2mncos^=（m-n）2+mn=4a2+8=4c2,

所以Z?2=c2-a2=2,

所以段32（當且僅當4=2時取等號），

乙a'a<'a

所以當》2+耳取得最小值時，雙曲線C的離心率e=1+

Laqa

11.（5分）侈選題）（2024?江門模擬）已知曲線C:x2sina+y2cosa=l（0ga<7r）廁下列說

法正確的是（）

A.若曲線。表示兩條平行線，則a=0

B.若曲線。表示雙曲線，則卜a（兀

C.若bag廁曲線。表示橢圓

D.若0<aC廁曲線C表示焦點在x軸上的橢圓

【解析】選BD.對于A選項,若曲線。表示兩條平行線，則有sina=0或cosa=0,

且0<a<7i.

若sina=0,則a=0,此時曲線C的方程為儼=1,可得尸1或產(chǎn)1,合乎題意，

若cosa=0,則口三,此時曲線C的方程為N=l,可得％=一1或％=1,合乎題意，故A錯;

對于B選項,若曲線C表示雙曲線，則sinacosa<0,由于0<a<7i且sin中0,則sin

TC

a>0,可得cosa<0廁/對；

對于C選項,若曲線C表示橢圓，

'sina>0

則：，解得°<ag且04c錯；

、sinaWcosa

112

對于D選項，若0<aV，則0<sina<cos%則而六^>0,曲線。的方程可化為

sina

2

￡=1,此時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓,D對.

cosa

22

12.（5分）已知雙曲線。-勺15>0力>0）的左、右焦點分別為尸尸2,過R作圓

ab

爐+儼=。2的切線，交雙曲線右支于點M,若NBg=60。,則雙曲線的漸近線方程為

（）

A.產(chǎn)士（3+避）xB.產(chǎn)士2%

C.產(chǎn)士^xD.J=±（1+A/3）X

【解析】選c.如圖作OOPM于點于點民

因為入M與圓12+儼=〃相切,

所以|。4|=見尸2引=2|。4|=24,尸1引=26,

在RtA57WF2中,NP〃F2=60。，

匚121rl吃兇2a2/aAyf^a

LdllOU7?。。

又點M在雙曲線上，由雙曲線的定義可得:

整理得力與遺所以修立，

所以雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)弓4.

22

13.（5分）（2024?宜賓模擬）已知雙曲線。餐？l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為

ab

網(wǎng),B,離心率為竽，過F2作漸近線yg的垂線交C于A,B兩點，點A在第一象限,

若圖^丹川,則&4跳；的周長為.

【解析】因為行若，所以F二1號，所以），則漸近線尸*，不妨設所

aaa3a33

22

平加,b=%c=2加，則雙曲線的方程為1,

3mm

設/(%1,%)乃(%2必),所以AB:x=2m-^,

,22

Wi

聯(lián)立3m2m2彳導8儼+4小加y-3加2=0,

x=2m-i

r-r-pi3m--37n-

所以為=一—,yi

4:

g'產(chǎn)lyil3-V3g、］1g3+V3

所以詁1萬后,所以田Bl1—,

所以/引=3B|+跖號，所以加二A所以4=3,所以

AFi+BR+AB=2(AF2+BF2)+4a=18.

答案：18

的左、右焦點分別為F,,F2,C的離心率為2,直線/過B與。交于MN兩點，當

10M時,△"F1B的面積為3.

⑴求雙曲線。的方程；

【解析】⑴因為0M=0%=|?2|,所以/6許=90。.則|MF，+|MR2/=(2C)2,

(|MR/一附尸2|)2+2此平1|?也電|=4出+2附功?此平2-4。2,

所以加小此牝|=2月，

1

2

/\MFXF2的面積S^MF^MF^b^.

又C的離心率為，Jl+^2,所以4=1.

所以雙曲線。的方程為

(2)已知都在C的右支上，設I的斜率為m.

①求實數(shù)加的取值范圍；

②是否存在實數(shù)加，使得NMON為銳角?若存在，請求出m的取值范圍;若不存在,

請說明理由.

【解析】(2)①根據(jù)題意B(2,0),則直線l:m(x-2)-y=0,

由,X-5―1彳導(3-加2)爐+4加2%_4加2_3=0,由’422

y=mx-2mU=16m+4(3-m)(4m+3)>0

得m2#3,J>0恒成立.

22

、4T?T,4?n+3

設昭西,為),川(%2加2),貝11一—,

m-3m-3

因為直線I與雙曲線C的右支相交于MN不同的兩點，

(x.+>0

所以「久;0，即

1A*]?Az2V/

所以加2>3魂牟得m￡(-00,-^/3)U(巡,+oo).

②假設存在實數(shù)m使NMON為銳角，

>

所以萬,而>0,即xix2+yiy20,

因為丁必=（加工］-2加）（加工2—2加）=加2%］必_2加2（/+%2）+4加2,所以（］+加2）%］必一

2加2（%］+%2）+4加2>0,由①得（1+加2）（4加2+3）-8加4+4加2（加2.3）>0,即7加2+3-12加2>0解得

加2<|,加2<|與加2>3矛盾，故不存在.

22

15.（10分）（2022?新高考/卷）已知點4（2,1）在雙曲線。:24~=1伍>1）上，直線I

CLCL-1

交。于RQ兩點，直線APAQ的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

22

【解析】⑴因為點4（2,1）在雙曲線。：三）=1（4>1）上，

ClCL-1

41

所以事41，解得。2=2,

aa-1

2

即雙曲線C：2產(chǎn)1,易知直線I的斜率存在，

設/：產(chǎn)區(qū)+加