廣東省梅州市2023-2024學(xué)年高一年級下冊7月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東省梅州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、考生號、姓名和座號

填寫在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.作答必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合要求的.

1.復(fù)數(shù)z=Q—i）2（其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限

A.一B.二C.三D.四

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的平方運(yùn)算計(jì)算z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】因?yàn)閦=（2—ip=3—4i,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（3,T）,位于第四象限.

故選：D.

2.某校舉行演講比賽，9位評委對參賽選手李明的評分分別為87,85,91,95,90,92,96,88,83則

這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）

A.92B.91.5C.91D.90

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，先排列數(shù)據(jù)，再計(jì)算.

【詳解】首先將這9個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，83,85,87,88,90,91,92,95,96,

9x0.7=63,所以第70百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)據(jù)92.

故選：A

3.如圖，水平放置的JRC的直觀圖一ABC'恰為腰長為2的等腰直角三角形，則JRC中最長邊的長

為（）

A.2A/2B.4C.4-72D.6

【答案】D

【解析】

【分析】利用斜二測畫法中原圖和直觀圖之間的聯(lián)系，確定原三角形為直角三角形，即可根據(jù)勾股

定理即可求得結(jié)論.

【詳解】由圖可知，BK=2,CP=2,ZC,AB'=45°

...原三角形JLBC中，AB=2,AC=4j2,ZCAB=90°,

?*-BC=dAC?+AB?=6，故最長的邊為6,

故選：D.

C

AB

4.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，名尸是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是（）

A.若m//a,〃//a,則加〃〃B.若a11[3,mua,nu（3,則加〃"

C.若〃，則6/_1_尸D.若"2_L〃,“UiZ,則mJ_a

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

可列舉出A3情況：(1,1),(1,3),(2,2),共3種.

31

則P(A3)=—=—.

155

故選：D.

7.在中，角A,B,C的對邊分別為a,0,c,a=3,A=60°,0=a,要使此三角形的解有兩個(gè)，貝I

m的取值范圍為()

A.(3,273)B.(6,26)C.(3,6)D.(273,6)

【答案】A

【解析】

【分析】要使得三角形有兩解，需要滿足sinB<l且b>a.

【詳解】由正弦定理可得：，—=—竺nsin5=^K=Y3〃z，要使得三角形有兩解，需要滿足

sinAsinBa6

sin5<l且加>3,解得3<相<26.

故選：A

,2TI

8.如圖，在扇形中，扇形的半徑為L/A05=?■，點(diǎn)尸在弧AB上移動，OP=aOA+bOB.當(dāng)

71

NAOP=—時(shí)，a+b=()

2

A.-B.J3C.2D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出A5P三點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量，然后根據(jù)條件求解即可

【分析】由圖可知各年級占總?cè)藬?shù)的比例即可判斷A；由分層抽樣的比例可判斷B,C；根據(jù)高三學(xué)生人

數(shù)和入選人數(shù)即可判斷D.

【詳解】對A,由圖可知，高三年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)25%,高二年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的35%,

所以高一年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%,

所以高一學(xué)生共2000x40%=800人，故A正確；

32

對B,因?yàn)椤獂2000=80,所以志愿服務(wù)小組共有學(xué)生80人；故B錯(cuò)誤；

800

高三學(xué)生共2000x25%=500人，

32

對C,志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有——x500=20人，故C正確；

800

高三學(xué)生共500人，選入志愿服務(wù)小組的有20人，

201

對D,所以某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為——=一，故D正確.

50025

故選：ACD

10.已知函數(shù)/（x）=2sin12x+3,則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/⑴的一條對稱軸為x=4

jrjr

B./（同在區(qū)間一工、上單調(diào)遞增

66

5兀

C.7（尤）的圖象可由g（x）=2sin2%的圖象向右平移—個(gè)單位得到

D.方程/（x）-1=0在區(qū)間（0,2兀］上恰有三個(gè)不等的實(shí)根

【答案】AC

【解析】

【分析】A,B選項(xiàng)可結(jié)合y=sinx的性質(zhì)判斷；根據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)律可判斷C；通過解方程

sin2x+|=|,結(jié)合x的取值范圍即可判斷.

【詳解】因?yàn)?(x)=2sin2x+1

?jrKTT

所以〃龍）的對稱軸方程為x=;+5（＞eZ）,

jr

當(dāng)左=0時(shí)，x=一,故A正確；

12

兀7tc兀八2兀

由工￡—1#2x+—e0,--,

L66j3L3J

）,TT"jrnr

又7>5,所以/（“）在—q,k上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；

5兀

將g（x）=2sin2x的圖象向右平移—個(gè)單位可得

6

2sin2（x—葛）]=2sin12x—=2sin（2x+5）,故C正確；

由/（%）-1=0,得sin[2x+1]=g,

717rjr

即2x+—=—+2E或2x+—=——+2kji,keZ,

3636

因?yàn)閤e（0,2兀I，所以x=&,,至

所以有4個(gè)不等實(shí)根，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，正方體ABC。—44Goi的棱長為2,"為棱GA的中點(diǎn)，N為棱CG上（含端點(diǎn)）的動

點(diǎn)，則下列說法中，不正確的是（）

A.當(dāng)N為棱CG上的中點(diǎn)時(shí)，平面4MN經(jīng)過頂點(diǎn)B

B.當(dāng)N為棱CG上的中點(diǎn)時(shí)，則4V//平面4。河

C.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到頂點(diǎn)C時(shí)，三棱錐A-AMN的體積最大

D.棱CC,上存在點(diǎn)N,使得|3N|+1MN\=26

【答案】BCD

【解析】

【分析】由MN//RC,45//℃可得45//阿，即可判斷A；假設(shè)當(dāng)N為棱Cq上的中點(diǎn)時(shí),

AN//平面4。河，由線面平行的性質(zhì)定理可得線線平行，推出矛盾，即可判斷B；

匕可證CC"/平面HA"，點(diǎn)N到平面4AM的距離為定值，即可判斷C；將正方

體側(cè)面展開，連接8M，通過求IBNI+I腦V|的最小值，即可判斷D.

連接45,A"，AN,MN,BN,D〔C,

因?yàn)镸,N分別為A。，G。的中點(diǎn)，所以MN//RC,

又在正方體ABC?！狝_B]C]2中，A^B//D}C,

所以4B//MN,所以A1，B,M,N四點(diǎn)共面，故A正確;

假設(shè)當(dāng)N為棱CG上的中點(diǎn)時(shí)，AN//平面4。加，

連接D]A,分別交A。，DM于1,J,連接//,

因?yàn)楹迂纹矫妗?^^,平面2匈7平面4。加=〃，

所以〃//AN,顯然不成立，所以AN與平面4。河不平行，故B錯(cuò)誤;

因?yàn)镃C"/4A,CG（Z平面[AM,AAu平面

所以CC"/平面[AM,又點(diǎn)N為棱CG上（含端點(diǎn)）的動點(diǎn),

所以點(diǎn)N到平面A.AM的距離為定值，

又匕-A}MN~^N-A}AM，\MN的面積為定值，

所以三棱錐A-AMN的體積為定值；故C錯(cuò)誤;

在5M中，BM=3,B&=2,所以=倔產(chǎn)"踵=加，

此時(shí)即為IBNI+I旌V|的最小值，又26＜加，

所以棱CG上不存在點(diǎn)N,使得|BN|+|MN|=2&,故D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：等體積法求三棱錐的體積換頂點(diǎn)的方法：

（1）三棱錐體內(nèi)換頂點(diǎn)；

（2）三棱錐體外換頂點(diǎn)（原則是同底等高）.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知。為原點(diǎn)，點(diǎn)A（l,2）,8（2/），則Q4與08夾角余弦值

cos<OA,OB>=

4

【答案】y##0.8

【解析】

【分析】利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.

AB

【詳解】cos<OA,OB>=°^(1,2)-(2,1)2+2；；4

\OA\-\OB\5_5-

4

故答案為：—

4

13.若復(fù)數(shù)z=〃+歷（其中i為虛數(shù)單位，eR,bw。）滿足z+一為實(shí)數(shù)，則z?5=

z

【答案】4

【解析】

OA=AB-2缶=2&-2缶，則OE=1-AO=2-2x，

故當(dāng)x=d時(shí)，此時(shí)石尸取最小值短，

55

故答案為：—

5

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)已知復(fù)數(shù)z=3+歷(其中i為虛數(shù)單位)滿足|z—2i|=5,求實(shí)數(shù)6的值；

(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解方程：5x2-2x+l=0.

【答案】(1)6或—2(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解；

(2)先求出根的判別式，再由求根公式即可求解

【詳解】(1)因?yàn)閦=3+歷,所以|z—2i|=|3+.=2)i|=,9+?一2)2=5,

所以6=6或/?=—2；

(2)因?yàn)椤?(—2)2—4x5xl=—16<0,

所以方程的根為x=2土l±2i

105

l+2il-2i

即*=-或》=

"I5

16.為了解學(xué)生體育運(yùn)動時(shí)間，督促學(xué)生加強(qiáng)鍛煉，甲、乙兩個(gè)班的班主任分別對所在班學(xué)生進(jìn)行體育鍛

煉時(shí)長調(diào)查.將甲班50名學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長(單位：小時(shí))數(shù)據(jù)分成4組：[4,6),[6,8),

[8,10),[10,12],根據(jù)分組數(shù)據(jù)制成了如下圖所示的頻率分布直方圖.

A頻率

組距

0.20

0.18

小，：11012時(shí)間(單位:力、時(shí))

(1)求。的值，并估計(jì)甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長的平均數(shù)；

(2)乙班48名學(xué)生中周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的有16人，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從甲乙兩個(gè)班

中各隨機(jī)抽查一位學(xué)生，求其中至少有一位學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率.

【答案】(1)a=0.07；平均數(shù)是7.92；

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率和為1求。，代入平均數(shù)求平均數(shù)；

(2)分別求甲和乙周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率，再利用對立事件概率公式，即可求解.

【小問1詳解】

(a+0.18+0.2+0.05)義2=1,得a=0.07,

平均數(shù)(5x0.07+7x0.18+9x0.2+11x0.05)x2=7.92,

所以甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長的平均數(shù)是7.92；

【小問2詳解】

甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率為0.2x2+0.05x2=0.5,

乙班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率為竺=」，

483

122

則至少一位學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長是8小時(shí)以上的概率尸=1--x-=-.

233

17.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,dc,/ABC的平分線8。交AC于點(diǎn)。.

、4丁ADc

(1)求證：---=—;

CDa

(2)若石csinB+bcosC=a+c-

(i)求B；

(ii)若。=2。,5。=1,求，ABC的面積.

【答案】(1)證明見解析.

(2)

即2xsin[g-mJ=1

717171571

D———,D-,

6666

TT

因?yàn)锽e(0,兀)，所以3=3.

(ii)S+SCBD=S^c，

17rlTT1TT

—AB-BPsin—+—BC-BDsin—=—AB-BC-sin—

262623

又因?yàn)镼=2C,BD=1,

所以可得°=@,。=6.

2

所以S.c=LacsinB=工義理-義拒又心-=玉8.

ABC22228

18.如下圖，四棱錐P—A5CD的底面是等腰梯形，/%，平面438,3。//4。,

AB^BC=CD=1,PA=AD=2.

(1)求證：3￡)/平面孫氏

(2)點(diǎn)。為B4上一點(diǎn)，—=-,求證：。。//平面8￡)。；

PA3

(3)點(diǎn)/為尸。的中點(diǎn)，求AM與平面PBO所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)見解析

(3)叵

5

【解析】

【分析】(1)首先求3。，再證明8D_ZA3,最后根據(jù)線面垂直的判斷定理，即可證明；

(2)根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，根據(jù)比例關(guān)系，構(gòu)造線線平行，即可證明;

(3)根據(jù)(1)的結(jié)果，結(jié)合線面角的定義，即可求解線面角的正弦值.

【小問1詳解】

由題意可知，ZBAD+ZBCD^ISQ，所以cosNSW+cos"8=0,

l2+22-BD-]2+l--BD2

------------------------1-----------------------=0，得BD=6,

2x1x22x1x1

則Afi2+應(yīng)>2=Ap2,所以ABLBD，

又因?yàn)槠矫鍭BC。，5Du平面ABCD,

所以PAAB=A,且PA,A3u平面Q4B,

所以80工平面B45；

【小問2詳解】

連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)。，連結(jié)QO,

4nAC

因?yàn)?C//AO,且一=2,所以一匕=2,

BC0C

又因?yàn)橘?2,所以°Q//尸C，

且。。仁平面3。。，OQu平面BQD,

所以PC//平面3QD；

【小問3詳解】

由（1）可知，3￡）工平面A43,BDu平面

所以平面。AB,平面3￡>P,且平面Q43,平面6DP=?B，

過點(diǎn)A作ANLM,連結(jié)跖V,

則AN1平面PBD,/AMN為直線AM與平面PBD所成的角,

因?yàn)镼4。是等腰直角三角形，且上4=AD=2,所以AM=J5,

A43中，PA=2,AB=1,所以尸B=布,

PA-AB2_2V5

AN=

PB45~~T

所以仙