考點01 實數(shù)的概念（原卷版）

考點一實數(shù)知識點整合1．數(shù)軸：規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一對應(yīng).2．相反數(shù)：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.3．倒數(shù)：1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.4．絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，記作|a|.5．（1）按照定義分類（2）按照正負分類注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).另外，在理解無理數(shù)時，要注意“無限不循環(huán)”，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如，等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等.6．科學記數(shù)法：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當原數(shù)絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)絕對值小于1時，寫成a×10?n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.7．近似數(shù)：近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.8．平方根：（1）算術(shù)平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，則正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，則x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示為，a的算術(shù)平方根表示為.（4）9．立方根：（1）定義：若x3＝a，則x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示為.（3）.10．數(shù)的乘方：求QUOTEn個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪.在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù).11．實數(shù)的運算：（1）有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.（2）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.12．指數(shù)，負整數(shù)指數(shù)冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數(shù)，則.13．數(shù)的大小比較常用以下幾種方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、絕對值比較法、乘方比較法、中間值比較法等等.重點考向考向一實數(shù)的有關(guān)概念此類問題一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，熟練掌握實數(shù)的有關(guān)概念，如相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、算術(shù)平方根等是解決這類問題的關(guān)鍵.典例引領(lǐng)1．的相反數(shù)為（

）A． B．5 C． D．－52．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．與 B．與 C．與 D．與33．的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（

）A．一定沒有平方根 B．立方根等于它本身的數(shù)是，C．的平方根是 D．的算數(shù)平方根是5．已知、互為相反數(shù)，p、互為倒數(shù)，且a為最大的負整數(shù)，則代數(shù)式的值為．6．的相反數(shù)是，的倒數(shù)是，的絕對值是．7．若a為的算數(shù)平方根，且，則．8．的立方是，2的算數(shù)平方根是，的平方根是．9．如果a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值是3，y是數(shù)軸負半軸上到原點的距離為1的數(shù)，(1)填空：______；______；______．(2)求代數(shù)式的值．10．數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值，例：如圖，點A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離表示為，根據(jù)以上知識解題：(1)若數(shù)軸上兩點A、B表示的數(shù)為x、．①A、B之間的距離可用含x的式子表示為_______；②若該兩點之間的距離為3，那么x值為______；(2)的最小值為______，此時x的取值是______；(3)已知，求的最大值和最小值．11．對于含絕對值的算式，在有些情況下，可以不需要計算出結(jié)果也能將絕對值符號去掉，例如：；；；．觀察上述式子的特征，解答下列問題：(1)把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不用寫出計算結(jié)果）：①______；②______；(2)當時，______；(3)計算：．12．已知的算數(shù)平方根為的立方根是3，求的平方根與立方根．變式拓展1．表示（

）A．的倒數(shù) B．的相反數(shù) C．的絕對值 D．的算術(shù)平方根2．設(shè)A是的相反數(shù)與的絕對值的差，B是比大5的數(shù)，則的值為．3．已知，，，，都是不等于的有理數(shù)，若，則所有可能等于的值的絕對值之和等于．4．若有理數(shù)a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，m的絕對值是2，則．5．實數(shù)，，，，，中，與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，是的絕對值，的算術(shù)平方根是8，求：的值．6．如果是實數(shù)，且互為倒數(shù)，互為相反數(shù)，的絕對值是，的算術(shù)平方根是8，求．7．已知實數(shù)，，，，，其中，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對值是，求的平方根．8．已知的立方根是2，是的整數(shù)部分，是9的平方根，求的算術(shù)平方根．9．（1）已知的平方根為，的立方根為2，求的算術(shù)平方根．（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．10．若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求．考向二實數(shù)的分類實數(shù)的分類典例引領(lǐng)1．表示（

）A．的倒數(shù) B．的相反數(shù) C．的絕對值 D．的算術(shù)平方根2．設(shè)A是的相反數(shù)與的絕對值的差，B是比大5的數(shù)，則的值為．3．已知，，，，都是不等于的有理數(shù)，若，則所有可能等于的值的絕對值之和等于．4．若有理數(shù)a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，m的絕對值是2，則．5．實數(shù)，，，，，中，與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，是的絕對值，的算術(shù)平方根是8，求：的值．6．如果是實數(shù)，且互為倒數(shù)，互為相反數(shù)，的絕對值是，的算術(shù)平方根是8，求．7．已知實數(shù)，，，，，其中，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對值是，求的平方根．8．已知的立方根是2，是的整數(shù)部分，是9的平方根，求的算術(shù)平方根．9．（1）已知的平方根為，的立方根為2，求的算術(shù)平方根．（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．10．若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求．變式拓展1．下列各數(shù)是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．下列各數(shù)中：，，，，，，負數(shù)一共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個3．在實數(shù)，，，，（相鄰兩個之間的個數(shù)逐次增加）中，無理數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．下列說法正確的是（

）A．所有無限小數(shù)都是無理數(shù) B．實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)、0C．是分數(shù) D．無理數(shù)與無理數(shù)的和仍是無理數(shù)5．在實數(shù)、0、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．下列說法正確的是（

）A．實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù) B．是分數(shù)C．數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是有理數(shù) D．是5的平方根7．下列說法正確的是（

）A．實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的 B．實數(shù)可以分為有理數(shù)、零和無理數(shù)C．帶根號的數(shù)都是無理數(shù) D．不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)8．在單元復(fù)習課上，老師要求寫出幾個與實數(shù)有關(guān)的結(jié)論，小明同學寫了以下5個：①任何無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)；②立方根等于它本身的數(shù)是和；③在和之間的無理數(shù)有且只有、、、這個；④是分數(shù)，是有理數(shù)；⑤由四舍五入得到的近似數(shù)表示大于或等于，而小于的數(shù)．其中正確的有（填序號）．9．下列各數(shù)，，……（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1），，，，中，有理數(shù)有個．10．在，，，，（相鄰兩個之間依次增加個）中，有理數(shù)有個．11．在，，，中，無理數(shù)是．12．將下列各數(shù)進行分類（填序號即可）①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每個“2”之間依次多一個“0“．正整數(shù)：；分數(shù)：；無理數(shù)：．13．將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)．，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…①有理數(shù)集合{…}②無理數(shù)集合{…}③負實數(shù)集合{…}．14．把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號里：，，，0，，，，，，，．負有理數(shù)集合：{}；分數(shù)集合：{}；無理數(shù)集合：{}；非負整數(shù)集合：{}．考向三近似數(shù)和科學記數(shù)法在用科學記數(shù)法表示數(shù)時，一定要正確確定的值.典例引領(lǐng)1．華為手機搭載了海思麒麟八核處理器，預(yù)裝華為自主研發(fā)的操作系統(tǒng)，為全球首款支持衛(wèi)星通話的智能手機．預(yù)計至2024年底，這款手機的出貨量將達到70000000臺．將70000000用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（）A． B． C． D．2．2023年9月23日晚，以“潮起亞細亞”為主題的杭州亞運會盛大開幕，本次亞運會觀眾預(yù)計達到570萬人次（）A． B． C． D．3．長城的總長用科學記數(shù)法表示約為米，則它的原數(shù)為（

）A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米4．今年8月3日晚出現(xiàn)了超級天文奇觀“土星合月”，使眾多天文愛好者一飽眼福．土星的直徑約為，關(guān)于下列說法正確的是（

）A．是一個5位數(shù) B．C． D．5．下列用四舍五入法得到的近似數(shù)，說法不正確的是（

）A．3.25萬精確到百分位 B．精確到十分位C．精確到千位 D．精確到萬分位6．下列說法正確的是(

)．A．有4個有效數(shù)字 B．萬精確到C．精確到千分位 D．有個有效數(shù)字7．某市為做好“穩(wěn)就業(yè)、保民生”工作，將新建保障性住房套，緩解中低收入人群和新參加工作大學生的住房需求．把用科學記數(shù)法表示應(yīng)是8．國家航天局正式宣布，探月工程嫦娥六號任務(wù)計劃于2024年前后實施，月球與地球的平均距離約38.4萬千米，將數(shù)字384000用科學記數(shù)法表示．9．一個數(shù)用科學記數(shù)法可寫成，則這個數(shù)是．10．用四舍五入法對取近似數(shù)（精確到百分位）為．11．2023年10月16日是第43個世界糧食日，由于俄烏沖突引發(fā)的全球糧食危機導致超過3.45億人正遭受或面臨嚴重糧食不足的風險；近似數(shù)3.45億精確到位．變式拓展1．地球的海洋面積約為平方米，其中數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．2．國家提倡“低碳減排”，鹽城某公司計劃在海邊建風能發(fā)電站，電站年均發(fā)電量約為213000000度，若將數(shù)據(jù)213000000用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．下列近似數(shù)中，說法正確的是（

）A．與精確度相同 B．精確到了十萬位C．精確到了十分位 D．1.2萬精確到了萬位4．3970000用科學記數(shù)法表示為．5．據(jù)相關(guān)機構(gòu)統(tǒng)計，去年我國智能網(wǎng)聯(lián)汽車規(guī)模近億元，比年增長近4倍，預(yù)計到年將突破億元．在龐大的規(guī)模效應(yīng)背景下，業(yè)內(nèi)普遍認為，標準制定是智能網(wǎng)聯(lián)汽車未來發(fā)展的關(guān)鍵，要為更高階自動駕駛大規(guī)模量產(chǎn)持續(xù)鋪路．億用科學記數(shù)法表示為．6．近似數(shù)精確到百分位約等于．7．近似數(shù)萬的精確到位．8．用四舍五入法對2.0156取近似數(shù)為：（精確到百分位）．9．用四舍五入法對取近似數(shù)，精確到百分位的結(jié)果是．10．一個高為，寬為的長方形的面積是多少．（精確到）考向四實數(shù)與數(shù)軸1．數(shù)軸形象地反映了數(shù)與點之間的關(guān)系，數(shù)軸上的點與實數(shù)之間是一一對應(yīng)的，任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).在中考中通常借助于數(shù)軸這一數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化的特點來呈現(xiàn)或解決數(shù)學問題；2.利用數(shù)軸可以形象直觀地理解相反數(shù)、絕對值的意義（代數(shù)意義、幾何意義）.典例引領(lǐng)1．一個點在數(shù)軸上表示，該點在數(shù)軸上移動3個單位長度后所表示的數(shù)是（）A． B． C．或 D．或2．數(shù)軸上，點M和P的距離記為，點A和P的距離記為．給出如下定義：若不小于，且不大于，則稱點A是點P關(guān)于點M的捕獲點．已知：如圖，點O為原點，點N表示的數(shù)是2，點B表示的數(shù)是4，點C表示的數(shù)是5．例如：若點A表示3，則，，不小于，不大于．故點A是點O關(guān)于點N的捕獲點．（1）若點A是點O關(guān)于點N的捕獲點，則點A所表示數(shù)的最大值為：．（2）若點A表示的數(shù)為a，點A既是點O關(guān)于點N的捕獲點，還是點C關(guān)于點B的捕獲點，寫出a的取值范圍：．4．已知：點A，B，C在數(shù)軸上的位置如圖所示，請觀察數(shù)軸并解答下列問題：(1)表示有理數(shù)的點是______，點B表示的有理數(shù)是______；A，C兩點之間的距離為______個單位長度；(2)在數(shù)軸上畫出點，分別表示有理數(shù)和；這兩個數(shù)之間所有的負整數(shù)是______；(3)將，，，這四個數(shù)用“”連接的結(jié)果是：______．5．我們規(guī)定：在數(shù)軸上，若點M到點A的距離是2，則稱點M為點A的“青春點”；若點N到點A、B的距離之和是5，則稱點N為點A、B的“奮斗中心”．(1)若點A表示最大的負整數(shù)，則點A的“青春點”M表示的數(shù)是；(2)如圖1，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是2，若點N為點A、B的“奮斗中心”，求滿足條件的點N所表示的整數(shù)的和；(3)如圖2，點A、B、N在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是、1、4，點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，求經(jīng)過幾秒點N是點P、Q的“奮斗中心”．6．如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且滿足．(1)______，______；(2)如圖，一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點重合，右端與點重合．若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當它的左端移動到點時，它的右端與點重合：若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當它的右端移動到點時，則它的左端與點重合．若數(shù)軸上一個單位長度表示．則①由此可得到木棒長為______；②圖中點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______；(3)由題（1）（2）的啟發(fā)，請你能借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：一天，小紅去問曾當過數(shù)學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要39年才出生，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)117歲，是老壽星了，哈哈！”請求出爺爺現(xiàn)在多少歲．7．【閱讀材料】若數(shù)軸上點、點表示的數(shù)分別為，（），則、兩點間的距離可表示為，記作．【解決問題】一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點，再向右移動10個單位長度到達點．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出、兩點的位置；(2)若動點，分別從點，同時出發(fā)，沿數(shù)軸向左運動．已知點的速度是每秒1個單位長度，點的速度是每秒2個單位長度，設(shè)移動時間為秒（）．①用含的代數(shù)式表示：秒時，點表示的數(shù)為______，點表示的數(shù)為______；②為何值時，點表示的數(shù)與點表示的數(shù)互為相反數(shù)？③為何值時，，兩點之間的距離為4？8．點在數(shù)軸上所表示的數(shù)如圖所示，將點向左平移2個單位長度，得到點的相反數(shù)，點是數(shù)軸上一動點．(1)點表示的數(shù)是_______；(2)若點在數(shù)軸上移動了個單位長度得到點，且，求的值；(3)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請你求出線段的長度；若發(fā)生變化，請你說明理由．變式拓展1．實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點如圖所示，化簡的結(jié)果是（

）

A． B． C． D．2．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（）A． B． C． D．3．如圖，數(shù)軸上點表示的實數(shù)是．

4．把下列實數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大小（用“”連接）．，0，，，

用“”連接：5．閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，則A，B兩點之間的距離表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_________．(2)數(shù)軸上表示x與的兩點之間的距離表示為__________．(3)若x表示數(shù)軸上的一個實數(shù)，且，則___________．(4)若x表示數(shù)軸上的一個實數(shù)，求最小值．6．閱讀下面材料：若點在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，則兩點之間的距離表示為，且；回答下列問題：

(1)①數(shù)軸上表示和3的兩點和之間的距離是；②在①的情況下，如果，那么為；(2)代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是．(3)若點在數(shù)軸上分別表示數(shù)，是最大的負整數(shù)，且，點同時開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設(shè)秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．7．如圖，實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果．8．若，化簡，某同學的解答過程如圖．解：原式第一步第二步第三步(1)該同學的解答從第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是用錯了性質(zhì)：當時，______；當時，______；(2)寫出原題正確的解答過程；(3)若實數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：．

考向五實數(shù)的大小比較比較實數(shù)的大小時，選擇正確的方法比較大小是解題的關(guān)鍵.常用的有：典例引領(lǐng)1．比較大?。?（填“>”，“<”或“=”）．2．比較大?。?．3．已知下列各數(shù)：，的相反數(shù)，，，．(1)將上述各數(shù)表示在數(shù)軸上．(2)將上述各數(shù)按從小到大的順序用“<”連接．4．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，再用“”號把它們連接起來．，，，，5．把表示下列各數(shù)的點畫在數(shù)軸上，再按從小到大的順序，用“<”號把這些數(shù)連接起來．6．一年一度的招生工作開始了，某學校招生老師計劃給新生郵寄錄取通知書，已知錄取通知書是面積為的正方形紙片，現(xiàn)向后勤部門了解到，只有一種長與寬之比為，面積為的長方形信封，若錄取通知書不能折疊或彎曲，問能否把錄取通知書放入此種長方形信封中？并說明理由．變式拓展1．實數(shù)，，0，四個數(shù)中，最小的是（

）A． B． C． D．02．如圖，數(shù)軸上點M表示的數(shù)可能是（）A． B．3 C．2 D．3．下列比較大小正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A4．如圖，有一個半徑為個單位長度的圓，將圓上的點A放在原點，并把圓沿數(shù)軸逆時針方向滾動一周，點A到達點的位置，則點表示的數(shù)(用含π的式子表示)；若點B表示的數(shù)是，則點B在點的(填“左邊”、

“右邊”)5．比較大?。海?）；（2）