湖南省江西省普通高中名校聯(lián)考2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期信息卷壓軸卷一理含解析

PAGE26-湖南省江西省一般中學(xué)名校聯(lián)考2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期信息卷（壓軸卷一）理（含解析）考生留意：1.本試卷共150分，考試時間120分鐘.2.請將答案填在答題卡上.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，由其實(shí)部即可求得參數(shù).【詳解】，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，實(shí)部和虛部的辨識，屬基礎(chǔ)題.2.已知集合，集合，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，求出，再依據(jù)交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了補(bǔ)集和交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的圖象求出、的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性及圖象特征，從而得出結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的圖象可得，，故函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，且過定點(diǎn).結(jié)合所給的圖像可知只有C選項(xiàng)符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)是夾角為的單位向量，則（）A.6 B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合的夾角為，及，可求出答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面對量的模、向量的數(shù)量積、單位向量等學(xué)問，考查學(xué)生的計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【詳解】設(shè)直線與軸交點(diǎn)為,由題可知,,,∵,故,即且.故,.又,故,整理得,即.∴或.又,故∴漸近線方程為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中漸近線以及構(gòu)造齊次方程求解離心率的問題.須要依據(jù)題意找到基本量之間的關(guān)系,再求得離心率的值進(jìn)而求得漸近線方程.屬于中檔題.6.已知的三邊長分別為，，，面積為，且，，則的最大值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】分析】先利用三角形的面積公式和余弦定理化簡整理得到，再利用正弦定理得到，代入已知條件，利用兩角差的正弦公式和協(xié)助角公式化簡整理即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹校?，，且，所以，解得，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，可得，，所以，所以的最大值?.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理以及兩角差的正弦公式和協(xié)助角公式.屬于中檔題.7.依據(jù)下列算法語句,當(dāng)輸入x為60時,輸出y的值為（）A.25 B.30 C.31 D.61【答案】C【解析】試題分析：輸入，推斷，否，，輸出故選C．考點(diǎn)：算法語句．8.算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65．若在個、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于200的概率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意得到總的可能的狀況，再分上珠撥的是千位檔或百位檔和上珠撥的是個位檔或十位檔進(jìn)行分類，得到符合要求的狀況，從而得到符合要求的概率.【詳解】依題意得所撥數(shù)字共有種可能．要使所撥數(shù)字大于200，則若上珠撥的是千位檔或百位檔，則所撥數(shù)字肯定大于200，有種；若上珠撥是個位檔或十位檔，則下珠肯定要撥千位，再從個、十、百里選一個下珠，有種，則所撥數(shù)字大于200的概率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，求古典概型概率，涉及分類探討的思想，屬于中檔題.9.在正方體中，為棱上一點(diǎn)且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，則角(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成角.在三角形中用余弦定理求解.【詳解】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接則角(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成角.設(shè)正方體的棱長為3，則,所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，屬于中檔題.10.已知函數(shù)的一個零點(diǎn)是，則當(dāng)取最小值時，函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系，求出的取值，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】解：的一個零點(diǎn)是，由得，得，即或，，，的最小值為，此時，由，，得，，當(dāng)時，的一個單調(diào)遞減函數(shù)區(qū)間為，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依據(jù)條件求出函數(shù)的解析式以及利用單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題11.已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，若對隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，再由關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，再將對隨意的，恒成立，轉(zhuǎn)化為，在恒成立，令，求的最大值即可.【詳解】由為奇函數(shù)，可得其圖象關(guān)于對稱，可得的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，對隨意的，恒成立，即，在恒成立，所以，在恒成立，令，由，可得，設(shè)，當(dāng)時，取得最大值11，則k的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性和不等式恒成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.設(shè)橢圓的左,右頂點(diǎn)為是橢圓上不同于的一點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,則當(dāng)取得最小值時,橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用斜率公式求得，結(jié)合在橢圓上，化簡可得，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求得使取最小值的，可得時，取得最小值，依據(jù)離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程可得，設(shè)，則,則，，，令，則，，在上遞減，在上遞增，可知當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線的斜率公式的應(yīng)用，以及橢圓的離心率，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種狀況：①干脆求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采納離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知直線與曲線在處的切線平行，則實(shí)數(shù)的值為_______.【答案】4【解析】【分析】對求導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線斜率．【詳解】對求導(dǎo)數(shù)，得.當(dāng)時，.故曲線在處的切線的斜率為2．而已知直線的斜率為，∴，故.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．14.已知實(shí)數(shù)x，y滿意條件，則的最大值為________.【答案】8【解析】【分析】依據(jù)約束條件畫出可行域，然后依據(jù)目標(biāo)函數(shù)確定取得最大值的點(diǎn)從而得出答案.【詳解】畫出可行域如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為，可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時z取得最大值.由，解得，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡潔的線性規(guī)劃問題，比較簡潔，解答時依據(jù)約束條件精確畫出可行域是關(guān)鍵，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為截距型求解最值.15.已知函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化問題為函數(shù)與在上有兩個交點(diǎn),進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個不同的零點(diǎn),所以設(shè),則函數(shù)與在上有兩個交點(diǎn),因?yàn)?且,則設(shè),,所以,則當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍,考查利用三角恒等變換化簡,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力.16.集合，，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則下列說法正確的為________①的值可以為2；②的值可以為；③的值可以為；【答案】②③【解析】【分析】依據(jù)對稱性，只需探討第一象限的狀況，計(jì)算：，得到，，得到答案.【詳解】如圖所示：依據(jù)對稱性，只需探討第一象限的狀況，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，故所在的直線的傾斜角為，，故：，解得，此時，，此時.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力，利用對稱性是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~-21題為必考題，毎個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將化為，得出，再利用求出；（2）先寫出的通項(xiàng)公式，然后利用錯位相減法求出的前n項(xiàng)和.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，①則，②由①-②可得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及利用錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，難度一般.當(dāng)已知與、與或的關(guān)系式時，采納公式法求解通項(xiàng)公式；已知數(shù)列，其中和分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列時，采納錯位相減法求和.18.某地區(qū)在一次考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲得他們本次考試的數(shù)學(xué)成果(x)和物理成果(y)，繪制成如圖散點(diǎn)圖：依據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異樣點(diǎn)A，B．經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參與物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)精確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)的值：其中xi，yi分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果、物理成果，i＝1，2，…，42，y與x的相關(guān)系數(shù)r＝0.82．（1）若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回來分析，設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為r0．試推斷r0與r的大小關(guān)系，并說明理由；（2）求y關(guān)于x的線性回來方程（系數(shù)精確到0.01），并估計(jì)假如B考生加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學(xué)成果為125分），物理成果是多少？（精確到個位）；（3）從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，本次考試該地區(qū)的物理成果ξ聽從正態(tài)分布，以剔除后的物理成果作為樣本，用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本方差s2作為σ2的估計(jì)值．試求該地區(qū)5000名考生中，物理成果位于區(qū)間（62.8，85.2）的人數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望．附：①回來方程中：②若，則③11.2【答案】（1）r0＜r，理由詳見解析；（2），81分；（3）3413．【解析】【分析】（1）結(jié)合散點(diǎn)圖，可得出結(jié)論；（2）利用題中給的相關(guān)系數(shù)，最小二乘法寫出回來直線方程，再令x＝125，即可算出答案；（3）算出，s2，得到ξ～N（74，125），11.2，所以P（63.8＜ξ＜85.2）＝因?yàn)椋纯伤愠銎谕驹斀狻浚?）r0＜r．理由如下：由圖可知，y與x成正相關(guān)關(guān)系，①異樣點(diǎn)A，B會降低變量之間的線性相關(guān)程度．②44個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回來直線的總偏差更大，回來效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更?。?2個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回來直線的總偏差更小，回來效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大．④42個數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其回來直線l．⑤44個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回來直線更離散．（2）由題中數(shù)據(jù)可得：，所以，又因?yàn)椋?，，所以，將代入，得，所以估?jì)B同學(xué)的物理成果約為81分.（3），所以ξ～N（74，125），又因?yàn)?1.2所以，因?yàn)?，所以，即該地區(qū)本次考試物理成果位于區(qū)間（62.8，85.2）的數(shù)學(xué)期望為3413．【點(diǎn)睛】本題考查回來直線方程與正態(tài)分布的綜合應(yīng)用，涉及到正態(tài)分布的學(xué)問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的實(shí)力，是一道中檔題.19.已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線分別交拋物線和圓于點(diǎn)(自上而下)．（1）求證：為定值；（2）若、、成等差數(shù)列，求直線的方程．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）探討當(dāng)直線過焦點(diǎn)且垂直于軸時，四點(diǎn)坐標(biāo)可干脆求出，可求得，當(dāng)直線過焦點(diǎn)且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，即可得到定值；（1）由、、成等差數(shù)列，可得，從而可得，而，，列方程可求出斜率，從而可求出直線方程.【詳解】（1）由題知，焦點(diǎn)，圓半徑；①當(dāng)斜率不存在時，，交點(diǎn)，此時；②當(dāng)斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立，消去得由韋達(dá)定理得，明顯恒成立由拋物線定義得，同理，所以．（2）由成等差數(shù)列，得所以弦長由（1）知明顯斜率存在，由拋物線定義得故，解得，所以直線的方程為．【點(diǎn)睛】此題考查的是拋物線的定義和方程、性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.20.如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.（1）證明：平面；（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明,從而證明平面,進(jìn)而得出,即可證平面.最終證得平面.（2）若,二面角的平面角的正切值為,由（1）知平面,因?yàn)槠矫?所以,又,所以即為二面角的平面角,得,從而求出,,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的法向量為,最終依據(jù)公式,即得直線與平面所成角大小.【詳解】（1）證明：在平行四邊形中,,則.在三棱錐中,因?yàn)?.所以平面,所以.又,,所以平面.又平面,所以.因?yàn)?,所以平面.（2）解：由（1）知平面,因?yàn)槠矫?所以,又,所以即為二面角的平面角,即.因?yàn)槠矫?平面.所以,故,又.所以.在平行四邊形,,,所以與為相像三角形,則,故（）,解得,故,解得,所以,.過點(diǎn)作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則令得.設(shè)直線與平面所成角為,即直線與平面所成角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面垂直判定性質(zhì)及二面角的解法,屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若時，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性即可（2）由得，令，然后分、、、四種狀況求出的單調(diào)性即可.【詳解】（1），令，得；，得和所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因?yàn)?，，，所以時，.（2），即..設(shè)，，∴，，，∴，又，.①即時，，在上遞減，則，不滿意.②即時，當(dāng)，即時，，使得且，，在內(nèi)遞減，，不滿意當(dāng)，即時，，使得，且，，，，∴在上遞增，在上遞減，又，，所以成立.當(dāng)，即時，，在上遞增，則.滿意題意.綜上，【點(diǎn)睛】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，最值和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，屬于較難題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、