湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案）

湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設(shè)集合4={1,3},B={x}x2-3x+m^0],若AcB={l},則集合B=()

A.[1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.若復(fù)數(shù)z滿足三=一1一i,貝Uz=()

A.2+2iB.-2-21C.-2iD.21

3.等差數(shù)歹K&JOiCN*)中，a2=10,a7-a4=2a1,則a7=()

A.40B.30C.20D.10

Q11

4.已知sin(a+/?)———-----F---—2,則sinasin/?=()

廠5tanatan/?

A，——10B-5JC--5D—10

5.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為12門，則正八面體外接球的體積為()

A.4，^兀B.4^/~覬C.12兀D.367r

6.已知函數(shù)/(K)=COSK+靖，且a=/(2)、b=f>c=/(ln2),貝!|a、b、c的大小關(guān)系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

7.當％G時,曲線y=cos%與y=2cos(3x-交點的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

8.已知/(%)的定義域為民/(%+y)+/(%-y)=3/(%)/(y),且/⑴=g,則E匿6/(々)=()

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.某校高三年級選考地理科的學生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分X的

分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100],若等級分X?N(80,25),則()參考數(shù)據(jù)：P(〃一<XW〃+。)=0.6827；

P(〃—2a<X<12+2<7)=0.9545；P(〃-3a<X<^+3(r)=0.9973

A.這次考試等級分的標準差為5

B.這次考試等級分超過80分的約有45人

C.這次考試等級分在[70,80]內(nèi)的人數(shù)約為48人

D.P(65<X<75)=0.1573

10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾

的習俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一

個側(cè)面，也是數(shù)學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八

字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學曲線中的雙紐線.曲線C：(7+y2)2=9(/一丫2)是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C的圖象關(guān)于y=久對稱

B.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

C.曲線C經(jīng)過7個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

D.若直線y=依與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為(-8,-1]u[1,+8)

11.已知函數(shù)/'(%)-x2-21nx,則下列選項中正確的是()

A.函數(shù)/(久)的極小值點為％=1

B1(表)>/(當

C.若函數(shù)g(%)=Cl%l)-t有4個零點,則力eC+8)

D.若f(%)=/(x2)(x1W冷)，則%1+%2V2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量巨1滿足同=2,3=(3,0),則向量B在向量B方向上的投影向量的坐標為弓,0),則

|a—b|=.

13.已知雙曲線A=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為兒尸2，離心率為2,過點F1的直線咬E的左

支于4B兩點.|OB|=|0川(。為坐標原點)，記點。到直線/的距離為d,貝哈=.

14.十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名

工作人員分配到3個會議廳負責進場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人，每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩

人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.(用數(shù)字作答)

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

記團ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知—a)sinA=(b+c)(sinB-sinC).

(1)求角C；

⑵若回ABC外接圓的半徑為2,求回力8c面積的最大值.

16.(本小題12分)

如圖，四邊形力BCD與四邊形力DEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=/2,BC=EF=

2,AF=y/lA,尸81平面ABC。，M為4。上一點，且FM14D,連接BD、BE、BM.

(1)證明：BC_L平面8FM；

(2)求平面4BF與平面DBE的夾角的余弦值.

17.(本小題12分)

222

如圖在平面直角坐標系比Oy中，已知橢圓G：2+y2=1,橢圓C2：9+9=1,直線1與橢圓Q只有一個公

共點，且與橢圓。2交于4B兩點.

(1)當直線Z傾斜角為135。時，求直線/的方程；

(2)求證：回208的面積為定值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)=(x—l)ex—x2.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/(%)的零點個數(shù).

(3)。(K)=f(x)-6在區(qū)間［一1,；］上有兩個零點，求機的范圍?

19.(本小題12分)

對于WieN*,若數(shù)列｛功｝滿足/+i-%九＞1,則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列1,2m,?712+1是“氏數(shù)列”，求實數(shù)TH的取值范圍.

(2)是否存在首項為-2的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前幾項和土使得一九恒成立?若存在，求

出數(shù)列｛廝｝的通項公式；若不存在，請說明理由.

(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列｛即｝是“K數(shù)列”，數(shù)列《a"不是"K數(shù)列"，若"圖,試判斷數(shù)

列｛g｝是否為“K數(shù)列”，并說明理由.

參考答案

l.B

2.C

3.B

4.4

5.B

6.D

1.D

8.B

9.ACD

1Q.BD

11.AC

12.710

1°，2

14.114

15.1?：(1)

由已知及正弦定理可得(Wb-a)a=(b+c)(b-c),

整理得a?+b2—c2=y/~3ab,

vCe(0,兀),C=也

(2)

???回ABC外接圓的半徑為2,

=4,得22

sinec—2,a+b=4+y[3ab,

又a2+b2>2ab,???ab<4(2+V-3),

當且僅當a=b=時，等號成立，

11

X

2-2-4(2+A<3)Xi=2+<3,

即因ABC面積的最大值為2+G

16.解：(1)

因為FBI平面2BCD,又ADu平面4BCD,

所以FB12D.又FM1AD,且=

所以AD1平面BFM.因為BC〃/W,所以BC1平面BFM.

(2)

作EN14D,垂足為N,則FM〃EM又EF〃4D,

所以四邊形FMNE是平行四邊形，又EN1AD,

所以四邊形FMNE是矩形，又四邊形力DEF為等腰梯形，且AD=4,EF=2,

所以4M=1.

由(1)知4。1平面BFM,所以BM1力。.又4B=，！，

所以BM=1.在Rt△4FM中，F(xiàn)M=y/AF2-AM2=710.

在Rt回FMB中,???FB=<FM2-BM2=3.

由上可知，能以BM,BC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

則4(-1,一1,0),B(0,0,0),F(0,0,3),￡>(-1,3,0),E(0,2,3),所以，AB=(1,1,0),BF=(0,0,3),BD=

(-1,3,0),詼=(0,2,3),設(shè)平面ABF的法向量為沅=(久1，%/1),

由依蒙上得］黑可取吟1T。).

設(shè)平面BDE的法向量為元=(x2,y2,z2),

曬國=。,得『短+含=，可取元=(932).

I元?BE=Q"2月+3Z2=0,

r一一m-n9-33-/47

因m此lL，cos<m,上>=刖?-81+9+4=▽.

依題意可知，平面4BF與平面DBE的夾角的余弦值為空.

17.解：(1)

2

因為直線/傾斜角為135。，直線I為y=-久+6,因為橢圓Ci：^+y2=1,

y——x+b

直線1與橢圓G只有一個公共點，聯(lián)立方程避得3y2—2"+62—2=0,

3+y=1

zl=4b2-12(b2-2)=0,.-.b=±<3,所以直線Z為x+y+C=0或x+y=0

(2)

y=kx+b

因為直線，與橢圓Cl只有一個公共點，設(shè)直線1為'=/?+6由7得

匕+y=i

(2/c2+l)x2+4kbx+2b2—2=0,4=16k2b2—4(21+1)(2Z?2—2)=0,2k2—b2+1=0,

y=kx+b

2

又因為直線與橢圓。2交于4B兩點%2y2得(2/+1)X2+4kbx+2b-4=0

IT+T=1

_—4kb

\x+x

所以]12]

因為直線/與y軸交于點(0,b),所以品4°B=21b|x\x-x\

Zb—4±2

”2=2必+1

所以酶3=泄，(久】+92-加無2=加(元粵)2—4?嘉

222

=1叫—8b(2/c-/b

18.1?：(1)

由題可得：f'(x)-xex—7.x—x(e%—2),

令/''(%)=0,解得：x=0或x=ln2,

令f’(x)<0,解得：0<x<ln2；

令f'(x)>0,解得：x<0或%>ln2；

所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為:(0,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(—8,0),(ln2,+8)

(2)

因為/'(%)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(—8,0),(ln2,+co),

由于〃0)=-1<0,則/(久)在(—8,0)上無零點；

由于『(ln2)=2(ln2-1)-(ln2)2<0,則/(x)在(0,ln2)上無零點;

由于f(2)=e2-4>0,則/(久)在(ln2,2)上存在唯一零點；

綜上，函數(shù)/(x)在R上存在唯一零點.

(3)

若g(x)=f(x)-m在區(qū)間［-1,芻上有兩個零點，則函數(shù)y=f(x)與y=ni在區(qū)間［-1,手上有兩個交點;

由⑴知，f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，(0,手上單調(diào)遞減；

*；〉/(-1)，

所以函數(shù)y=f(x)與y=m在區(qū)間［-1,目上有兩個交點，則一與<m<-1,

即g(x)=f(x)一根在區(qū)間卜局上有兩個零點，則小的范圍為卜與一一1)

19.解：(1)

由題意得2m-1>1,且(zu?+1)一2m>1,解得m>2,所以實數(shù)m的取值范圍是(2,+8).

(2)

不存在.理由：假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為d,則d〉l,

由的=—2得S九=—2n+幾*1)d.

12

<-n

由題意，得—2n+也#d2—71對VMeN*均成d,§P(n—l)d<n+2.

當n=1時，deR；

當律>1時，d〈華恒成立,

因為時|=匕1辛=1+吃>1,所以dWl,與d>l矛盾，

n—1n—in—1

所以這樣的等差數(shù)列不存在.

(3)

設(shè)數(shù)列｛冊｝的公比為q，貝IJ%=%q九T.

因為｛a九｝的每一項均為正整數(shù)，且%i+i-%=anq-an=an(q-1)>1>0,

所以在｛%；—。九.1｝中，。2-為最小項，

同理，a九一,a九一1｝中，2a2—2的為最小項.

由｛%J為"K數(shù)列"，只需-&>1,即%(q-1)>1.

又因為《即｝不是“K數(shù)列”，且ga2-為最小項，

11

2-2-即Qi(q-1)<2.

由數(shù)列｛。九｝的每一項均為正整數(shù)，可得的(q—1)=