人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《圓》單元測試卷（綜合能力拔高卷解析版）

2022—2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊必考重難點突破必刷卷（人教版）

【單元測試】第二十四章圓（綜合能力拔高卷）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，在田。中，弦48等于回。的半徑，。面2交回。于點C,則EL4OC等于（）

A.80°B.50°C.40°D.30°

【答案】D

【分析】弦等于回。的半徑，可得的。8是等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：回弦等于回。的半徑，

^OA=OB=AB,

團(tuán)財03是等邊三角形,

0EL4(9B=6O°,

EIOCHAB,

0?AOC-1AOB30?.

2

故選：D

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)，等邊三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如果一個圓的半徑由1厘米增加到2厘米.那么這個圓的周長增加了（）

A.3.14厘米B.2萬厘米C.8萬厘米D.4萬厘米

【答案】B

【分析】圓的周長計算公式是C=2成，如果半徑增加〃厘米，根據(jù)周長的計算公式可知周長增加2W，列式

進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：（2-1）x2xn

=2n（厘米）.

故選：B.

【點睛】本題考查圓的周長的計算，在圓中，如果是圓的半徑增加〃，則其周長增加2〃兀，周長增加的值與原

來圓的半徑大小無關(guān).

3.如圖，將量角器按放置在Rt.ACB上，使點C與圓心重合，已知NACB=90。，ZA=30°.若8點的刻度

為138。，則。點的對應(yīng)刻度為（）

■?LaJ----y■

€

A.52°B.72°C.78°D.82°

【答案】C

【分析】連接CQ,求出回。的度數(shù)，得到等邊△CQ5,進(jìn)而得到叨CB=60。即可求解.

【詳解】解，如圖，連接CD,

團(tuán)點5的讀數(shù)為138°,

^\ECB=138°,

1ML4c5=90°,EL4=30°,

苑區(qū)=60°,

團(tuán)CD=CB,

幽CDB為等邊三角形，

團(tuán)叨CB=60。，

mECD=138°-60°=78°,

團(tuán)點。的讀數(shù)應(yīng)該為78°.

故選：c.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等知識，證明ACDB為等邊三角形是解題的關(guān)

鍵.

4.矩形A3CD中，AB=8,BC=6,如果（A是以點A為圓心，9為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點8、C均在（A外B.點8在CA外，點C在IA內(nèi)

C.點8在A內(nèi)，點C在A外D.點8、C均在A內(nèi)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，將圖形繪制出來，結(jié)合圖形分析可知，矩形ABCD的對角線可以利用勾股定理求出，

即AC=10,而圓的半徑是9,根據(jù)線段的大小關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，繪制圖形如下，

連接/C,

回矩形ABC。，AB=8,BC=6,

IBR/AABC中，AC=y]AB2+BC2=782+62=10>

回點3在（A內(nèi)，點C在CA外，

故選：C.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，圓的知識，理解和掌握矩形、直角三角形、

圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形為團(tuán)。的內(nèi)接四邊形，連接BD,若4B=AD=CD,05OC=75。，貝gC的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】D

【分析】根據(jù)圓中等弦對等弧對等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對角互補，進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：^AB=AD=CD,

^BA=DA=DC，

S3\ADB=^ABD=^DBC,

設(shè)EL4D8==ED5C=x,

回四邊形/BCD為回。的內(nèi)接四邊形，

0EL4SC+EL4DC=18O",

即3x+75°=180°,

解得：x=35",

EEZ32C=35°,

在ELBOC中，05Z）C=75°,^DBC=35°,

EIE3CD=180°-75°-35°=70°.

故選D.

【點睛】本題考查了圓中等弦對等弧對等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對角互補，熟練掌握相關(guān)知識點是解題

的關(guān)鍵.

6.如圖，點A,B,C都在格點上，ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為（）

A.(5,2)B.(2,4)C.(3,3)D.(4,3)

【答案】A

【分析】根據(jù)ABC的外接圓的定義，作A3和3c的垂直平分線相交于點P,則可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)4ABe的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點P,

回點尸(5,2),

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓，三角形的垂直平分線，正確作圖是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，AABC中，A3是：。的直徑，AC交于點E,BC交，。于點。，點。是BC中點，。的切

線D歹交AC于點歹，則下列結(jié)論中①NA=ARE；②BD=DE；@AB=AC-,④尸是EC中點，正確

的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】連接連接。D，AD.OE,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及等腰三角形的性質(zhì)可判斷結(jié)論③;

根據(jù)同圓或等圓中，同弧所對的弦相等可得結(jié)論②；根據(jù)切線的性質(zhì)以及三角形中位線定理可得結(jié)論④;

因為只有△除是等腰直角三角形時，才能滿足結(jié)論①.

【詳解】解：連接。。，AD,DE.

A

QAB是。的直徑，

:.ZADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

:.AD±BC,

「點。是BC中點，

:.NBAD=/CAD,AB^AC,故③正確；

BD=DE，

:.BD=DE,故②正確；

DF是:。的切線，

:.OD±DF,

AO=BO,BD=DC,

:.OD//AC,

:.DF1AF,

:.DF//BE,

回點。是BC的中點，

，點廠是EC的中點，故④正確；

只有當(dāng)ZWE是等腰直角三角形時，ZBAC=ZABE=45°,

故①錯誤，

正確的有②③④共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理的應(yīng)用，題目難

度適中，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

8.把一張正方形紙片按如圖所示的方法對折兩次后剪去兩個角，打開后得到一個正多邊形，則這個正多邊

形不可能是（）

(=>

A.正十二邊形D.正六邊形

【答案】B

【分析】由正多邊形和外接圓，找中心角，實際動手操作來進(jìn)行解題.

【詳解】解：經(jīng)過動手操作，如果過斜邊的中點，構(gòu)造頂角為45。的等腰三角形，剪去4個重合角，可以得

出正八邊形；

如果過直角三等分線與邊的兩個交點，構(gòu)造頂角為30。的等腰三角形，剪去4個重合角，可以得出正十二邊

形;

如果過三等分線與邊一個交點構(gòu)造頂角60。和30。的等腰三角形，剪去兩對重合角，可以得到正六邊形,

而得不出十邊形,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了與剪紙相關(guān)的知識，正多邊形和圓的綜合，熟練地動手操作能力是解決問題的關(guān)

鍵.

9.如圖，在半徑為君，圓心角等于45。的扇形408內(nèi)部作一個正方形CZ）￡R使點。在04上，點。、E

在上，點尸在A8上，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留疳（)

A.%535153

B.—TC----C.-71----D.-71—

8828242

【答案】B

【分析】首先要明確S陰影=s扇形.-鼠。8-5正方形皿山然后依面積公式計算即可.

【詳解】解：連接OR

A

回明。。=45。，四邊形COE尸是正方形,

0OD=CD=DE=EF,

在RtAOFE中，0E=2EF,

0OF=75,EF2+OE2=OF2,

0￡F2+(2EF)2=5,

解得：EF=1,

團(tuán)EF=OD=CD=1,

0S陰影=S扇形0AB-S&OCD-S正方形CDEF

45兀x(乖￥

——xlxl-lxl=———.

360282

故選：B.

【點睛】本題考查了扇形面積的計算，勾股定理的應(yīng)用，得到正方形和三角形的邊長是解題的關(guān)鍵.

10.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理，如圖1.筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2.已知圓心。在水面上方，且回O

被水面截得的弦N2長為6米，回。半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦42所在直線

的距離是（）

圖1圖2

人.（4-S）米B.2米C.3米D.（4+近）米

【答案】A

【分析】連接OC交于。，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知。向8,/。=8。=3,根據(jù)勾股定理求得。。

的長，由CD=OC-OD即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為的中點，

連接OC交于。，貝1」。而8,AD=BD*4B=3,

在Rt回O4D中，OA=4,40=3,

國OD=JOA?-5="2-32=近，

0C￡)=(9C-OD=4-幣,

即點C到弦AB所在直線的距離是（4-療）米,

故選：A.

水面

【點睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共有8小題，每題3分，共24分）

11.如圖，點C在以為直徑的，。上，AB=10,ZA=30°,則8C的長為.

【答案】5

【分析】根據(jù)直徑所對圓周角是直角，可知回C=90。，再利用30。直角三角形的特殊性質(zhì)解出即可.

【詳解】解:西8是直徑，

HBC=90°,

0EL4=3O",

S\BC=-AB=5.

2

故答案為：5.

【點睛】本題考查圓周角定理的推論及特殊直角三角形，關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角等于90。.

12.如圖，PA,PB是。的切線，切點分別為4B,若ZAPB=40。，則NACB=

A

O

B

【答案】70

【分析】首先連接CM,OB,由必、尸5是回。的切線，即可得的0=回尸80=90。，又由西產(chǎn)8=40。，即可求得豳08

的度數(shù)，然后由圓周角定理，即可求得答案.

【詳解】解：如圖，連接ON,OB,

何、P2是國。的切線,

團(tuán)即%。=回/。=90°,

aa4P8=40°,

SEAOB=360°-SAPB-S\PAO-SPBO=UO°,

0EL4C5=1a405=70°.

故答案為：70.

【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)與圓周角定理.此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

13.如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xC。為8m,橋拱半徑OC為5m,則水面寬為.

【答案】8m

【分析】連接。4,根據(jù)題意，得出。4=5m,OD=3m,再根據(jù)勾股定理，得出的長，再根據(jù)垂徑定

理，即可得出A5的長.

【詳解】解：連接。4,

團(tuán)橋拱半徑OC為5m,

0OA=5m,

團(tuán)CD=8m,

[?]OD=8m-5m=3m，

團(tuán)AD=JOA2_OL>2=4m,

團(tuán)AS=2AD=2x4m=8m.

【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的定理.垂徑定理：垂直于弦的

直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.

14.圖1是一種推磨工具模型，圖2是它的示意圖，已知AP=AQ^20cm,N8=120ca,點/在

中軸線/上運動，點8在以。為圓心，08長為半徑的圓上運動，且O8=35c〃z,

(1)如圖3,當(dāng)點3按逆時針方向運動到夕時，AB'YOB',則cm.

(2)在點3的運動過程中，點尸與點。之間的最短距離為cm.

【答案】30204-35##-35+20歷

【分析】(1)根據(jù)AA=Q4—Q4'=AB+OS-ar,即可求解;

(2)當(dāng)3、0、P三點共線時，OP的距離最短，即可求解.

【詳解】解：(1)BAB'±OB,,

EIA?是圓。的切線

0A'4=OA-OA=AB+OB-OA

=120+35-^OB^+AB'2

=155-V352+1202

=155-125,

=30,

故答案為：30；

(2)當(dāng)B、O、尸三點共線時，OP的距離最短，

則OP=BP-OB=《BA2+AP。-OB=V1202+202-35=20后-35

故答案為：20歷-35.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定轉(zhuǎn)動后圖形上各個點的位置關(guān)系.

15.如圖，已知點G是正六邊形ABCDEF對角線FB上的一點，滿足8G=3FG,聯(lián)結(jié)尸C,如果一EFG的

面積為1,那么.FBC的面積等于.

【答案】4

【分析】解：如圖，連接CE,由3G=3戶G得族=4RG,由六邊形ABCDE戶是正六邊形證明跖〃3C,

從而得，F(xiàn)BC的面積為一￡FG的面積的4倍即可求解.

【詳解】解：如圖，連接CE,

BG=3FG,

，BF=4FG,

?六邊形ABCDEF是正六邊形,

（6-2）x180°

AB=AF=EF=BC,ZABC=ZBAF=ZAFE=——L-------=120。，

6

-2=幽產(chǎn)=3°°,

，ZCBF=ZEFB=120°-30°=90°,

ZCBF+ZEFB=90°+90°=180°,

EF//BC,

二?四邊形5c斯是平行四邊形,

??.BF//EC,

一EFG的面積為1,BF=4FG,

二?FBC的面積為1x4=4,

故答案為4.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的判定及性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題

的關(guān)鍵.

16.如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上剪出一個圓心角為90。的扇形使點4B,。在圓周上,

將剪下的扇形作為一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑是.cm.

A

【答案】3應(yīng)

【分析】連接BC,根據(jù)圓周角定理求出8c是回。的直徑，8C=24cm,根據(jù)勾股定理求出再根據(jù)弧長

公式求出8c的長度，最后求出圓錐的底面圓的半徑.

【詳解】解：連接3C,由題意知皿C=90。，

0SC是回。的直徑，5C=24cm,

C,

02AB2=BC2,

BC24廣，

=12-^2(cm),

?90^X12A/2R(—,、

0BC=---------------=6j2兀(cm)

180

團(tuán)圓錐的底面圓的半徑=6后兀+(2%)=35/2(cm).

故答案為：30.

【點睛】此題考查了圓周角定理，弧長公式，勾股定理，連接BC得到8C是圓的直徑是解題的關(guān)鍵.

17.正方形A3CD的邊長為4,￡是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點2的運動過程中，小亮以2為

頂點作正方形39G”,其中點尸、G都在直線AE上，如圖.當(dāng)點E到達(dá)點8時，點足G、”與點8重合.則

點”所經(jīng)過的路徑長為.

【答案】n

【分析】連接NC,交BD于點O,取BC的中點N,連接NH,利用&4S證明團(tuán)四匹回VBH,得NH=MF=

BM=BN,可知點〃在以點N為圓心，長為半徑的圓上，確定圓心角度數(shù)即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接/C,交8。于點。，取3c的中點N,連接NH,

^MF=BM=BN=-AB,

2

團(tuán)點廠的運動軌跡為以點加■為圓心，BM長為半徑的圓上，

EEABC=EFS77=90°,

EE48c-^FBC=^FBH-SFBC,

即西8尸=EIC8”，

,3EMBF3S\NBH(SAS),

^NH=MF=BM=BN,

團(tuán)點8在以點N為圓心，BN長為半徑的圓上,

團(tuán)當(dāng)點￡在。處時，點尸與。重合，

當(dāng)點￡在8處時，點廠與點8重合，

回點〃所在的圓弧的圓心角為90°,

回點方所經(jīng)過的路徑長=9°：32=",

lot）

故答案為：TT.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定點〃的運動路徑是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，。為格點，回。經(jīng)過格點/.

（1）回。的周長等于;

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出回。的內(nèi)接等邊ABC,并簡要說明點2,C的位置是

如何找到的（不要求證明）.

z1

0

A\

【答案】2國見解析

【分析】（1）利用勾股定理可得答案；

（2）延長A。交網(wǎng)格線于點。，取格點E,F,連接收交網(wǎng)格線于點G,作直線DG交1。于點2,C,連

接AB,AC,貝hABC即為所求.

【詳解】（1）甌。的半徑為：（M=Vl2+22=75>

EG。的周長2*萬*君=2后,

故答案為：26兀

(2)如圖：

0OE=￡；F=712+22=A/5,OF=712+32=710.

又回(6”(6)2=(府)2,

^OE2+EF2=OF2,

SZOEG=90°.

0tanZOAF=tanZAFE=—,

2

l3Ztt47-'=ZA?E,

團(tuán)。4EF,

^DMNP.OM=-OP

2f

^\OD=-ON=—.

22

BGLFH,EL=-EH,

2

^EG=-EF=—.

22

回EG=OD,

國EGOD,

團(tuán)四邊形OEGO是平行四邊形，

團(tuán)NQ￡G=90。，

團(tuán)O￡G。是矩形.

團(tuán)NAZ)G=90。，

團(tuán)NOOC=90。，

o

^OC=>/5,OD=—,ZODC=90f

2

好

回COSNCOO=2=L'

下2

國NCOD=60。,

^ZCAO=-ZCOD=30°.

2

^ZADG=90°,

⑦AD_LCB,

團(tuán)AD過圓心，AD±CBf

中AC=AB,CN=BN，

^AC=AB,ZCAD=ZBAD=30°,

0ZC4B=3O°+3OO=6O°,

團(tuán)AC=AB,

fflABC是等邊三角形.

【點睛】此題考查作圖中的復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考

題型.

三、解答題(本大題共有6小題，共46分；第19-20小題每小題6分，第21-22小題每小題

7分，第23小題8分，第24小題10分)

19.如圖，AB是O直徑，弦CD_LAB于點E,過點C作/汨的垂線，交AB的延長線于點G,垂足為點尸，

連結(jié)AC,其中NA=ND.

⑴求證：AC=CG；

(2)若CZ)=EG=8,求(。的半徑.

【答案】⑴見解析

(2)5

【分析】(1)先根據(jù)垂直的定義、對頂角相等可得ND=NG,從而可得NA=NG,再根據(jù)等腰三角形的判

定即可得證；

(2)連接OC,設(shè)：：。的半徑為,，則tM=OC=r,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AE=EG=8,根據(jù)

垂徑定理可得EC=EO=JcO=4,從而可得OE=8-r,然后在Rt^OEC中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】(1)證明：QDFLCG,CD1AB,

:.ZDEB=/BFG=90。,

QZDBE=ZGBF,

:.ND=NG,

ZA=ZD,

.\ZA=ZG,

/.AC=CG.

(2)解：如圖，連接℃,

C

設(shè)。。的半徑為r，則。4=OC=r,

CA=CG,CDLAB,CD=EG=8,

AE=EG=8,EC=ED=—CD=4,

2

:.OE=AE-OA=S-r,

222

在RtZXOEC中，DC?=。石2+石。2,gpr=(8-r)+4,

解得r=5,

.?.0。的半徑為5.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題

關(guān)鍵.

20.如圖，在6義7的方格紙中，A,B,C均為格點，按要求畫圖：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺的直

角；②保留必要的畫圖痕跡；③標(biāo)注相關(guān)字母.

（1）找出過/,B,C三點的圓的圓心O,連結(jié)NO,BO.

（2）在回。上找到一點尸，畫出05CP,使得/3CP=NAQB.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用垂徑定理確定圓心，然后連接/。，2。即可；

（2）利用圓周角定理，即可作出圖形.

【詳解】（1）解：如圖：取線段和NC的垂直平分線，交點是點。連接CM、OB-,

(2)

解：如（1）圖，由圓周角定理得NAO3=2NACB,

取格點P，使得/BCP=2NACB,

貝!I有4cp=NAQ3；

【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理，網(wǎng)格問題，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識，正確的作出圖形.

21.如圖，A3是半圓。的直徑，AE是半圓。的切線（即圓。的切線）.連接￡B,交半圓于點。，連接AZ）.過

點D作直線8,且NEDC=NDAB.

⑴求證：直線8是半圓。的切線;

(2)求證：點C是線段AE的中點；

⑶若A5=10,BD=8,求線段CE的長.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

⑶CE三

【分析】⑴連接0D,根據(jù)等邊對等角，得出再根據(jù)等量代換，得出NEDC=NOD4,

再根據(jù)直徑所對的圓周角等于90。，得出?。?，8E,根據(jù)垂線的定義，得出NED4=90。，再根據(jù)等量代換,

得出/ODC=/EZM=90。，即可得出ODLCD,再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論；

⑵根據(jù)切線的性質(zhì)，得出NEAB=ZODC=90°,再根據(jù)角的關(guān)系和等量代換，得出NCDA=ZEAD=NB,

NEDC=NE,再根據(jù)等角對等邊，得出AC=CD,CD=CE,然后根據(jù)等量代換，得出AC=CE,根據(jù)中

線的定義，即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)CE長為元，則AE=2x,根據(jù)勾股定理，得出AD=6,再根據(jù)等面積法，得出用含工的式子表示跖，

再根據(jù)勾股定理，即可得出線段CE的長.

【詳解】(1)證明：連接°。，

團(tuán)。4=。。，

^\ZOAD=ZODA,

田NEDC=NDAB,

田NEDC=NODA,

團(tuán)A3是半圓。的直徑,

團(tuán)“)5=90。，

團(tuán)AD_L8￡,

0Z￡ZM=9O°,

^ZODC=ZEDA=90°f

回。。_LCD,

團(tuán)直線8是半圓。的切線;

A'B

O

（2）證明：回鉆、CD為半圓。的切線,

國NEAB=/ODC=900,

又團(tuán)NOAD=NODA,

@NCDA=NEAD,

又團(tuán)OD=OB,

田NODB=NB,

ZEAB=ZADB=90°f

團(tuán)NQ4D=NQD4,

^ZB=ZODB=ZEAD,

⑦NCDA=NEAD=/B,

回/E+NB=NEDC+NCDA,

由/EDC=NE,

團(tuán)AC—CD,CD-CE,

團(tuán)AC-CE,

回點C是線段AE的中點；

(3)解:設(shè)CE長為x,則AE=2x,

在RtA4BD中，

I3AB=1O,BD=8,

0AD=VAB2-BD2=7102-82=6>

^S^BE=^AB-AE=^BE-AD,

S—xl0x2x=—xBEx6,

22

解得：BE=^x,

在WA4BE中，

根據(jù)勾股定理，可得：（2X『+102

解得：玉=115，％2=—寧15（舍去）,

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、等量代換、勾股定理、等面積法，解本題的

關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理.

22.如圖，在比A/BC中，點O在斜邊上，以點。為圓心，為半徑作圓，分別與8C,相交于點

D、E,連接40,已知回。4。=&43。.

(1)求證：40是回。的切線：

(2)若a48c=30。，AC=36,求陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

⑵陰影部分的面積=4萬-3若

【分析】(1)連接OD,由OD=O2,利用等邊對等角得到一對角相等，再由己知角相等，等量代換得到

SCAD=^ODB,求出EL4。。為90。，即可證4D是回。的切線；

(2)連接。D,作于尸，由直角三角形的性質(zhì)得出。。=且/。=3,BC=9,得出2D=2C-CD=6,由

3

直角三角形的性質(zhì)得出。尸=8/，。尸=6,得出。2=208=2相，由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出

結(jié)果.

【詳解】(1)證明：連接如圖1所示：

SOB^OD,

005=0C4Z),

^CAD^ODB,

在放△/CD中，回G4D+團(tuán)CZX4=90°,

回財。0=180°-（的。。+回005）=90°,

團(tuán)07M4Z）,

團(tuán)O。是半徑，

^AD為團(tuán)。的切線；

（2）解：連接8,作OR杷。于R如圖2所示:

國OB=OD,財=30°,

釀。。8=回5=30°,

團(tuán)前。5=120°,

團(tuán)團(tuán)。=90°,回回3=30°,

?CD=4AC=3,BC=gC=9,

^\BD—BC-CD=6,

回OI唱BD,

BDF=BF=-BD=3fOF=^-BF=^3f

23

⑦OB=2OF=26,

團(tuán)陰影部分的面積=扇形ODB的面積-&ODB的面積

=4n-373.

【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、扇形面積公式、三角形

面積公式等知識，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵.

23.材料：如圖1,和BC是《。的兩條弦（即折線A3c是圓的一條折弦），BC>AB,M是ABC的中

點，則從M向8c所作垂線的垂足。是折弦A3C的中點，即。。=鈣+8￡>.下面是運用"截長法"證明

CD=+即的部分證明過程.

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,連接和MG,四是ABC的中點，SMA=MC,

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

(2汝口圖3,已知，ABC內(nèi)接于O,BC>AB>AC,。是人之臺的中點，依據(jù)(1)中的結(jié)論可得圖中某三條線

段的等量關(guān)系為;

⑶如圖4,已知等腰「ABC內(nèi)接于<O,AB=AC,D為AB上一點，連接。3,NACD=45。,AELCD于點￡,

△BCD的周長為4亞+2,BC=2,請求出AC的長.

【答案】⑴該證明的剩余部分見解析

(2)BE=CE+AC

(3)4

【分析】(1)首先證明血血畫MGC(&4S),進(jìn)而得出〃B=MG,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出2￡>=GD,

即可證明結(jié)論；

(2)直接根據(jù)“截長法"即可證明結(jié)論;

(3)根"截長法"得出CE^BD+DE,進(jìn)而求出CE,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖2,在C3上截取CG=48,連接跖4,MB,A/C和MG.

圖2

M是4BC的中點,

^MA=MC.

在［W氏4和IWGC中

BA=GC

<ZA=ZC,

M^MC

^MBA^MGC（SAS）,

又IWZ）財c,

MD=GD,

^DC=GC+GD=AB+BD.

（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為防=虛+AC

故答案為：BE=CE+AC.

（3）解：^AB=AC,。為AB上一點

西是8QC的中點，

根據(jù)"截長法"可得：CE^BD+DE,

aa5c。的周長為4及+2,

^BD+CD+BC^0+2，

SBD+DE+CE+BC=2CE+BC=4y/2+2,

血?=2,

0CE=2垃,

在必EL4CE中，EL4co=45°,

西C=V5CE=4.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，理解"截長法"

是解答本題的關(guān)鍵.

24.如圖1,邊長為2的正方形N8CD中，點￡在N8邊上（不與點/、8重合），點/在8c邊上（不與點

B、C重合）?

第一次操作：將線段環(huán)繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；第二次操作：將線段PG繞

點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點尸落在正方形上時，記為點X；依此操作下去…

⑴圖2中的贓ED是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為,求此時線段跖的長；

（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.

①請判斷四邊形EFGH的形狀為,此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是.

②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)/￡的長為x,四邊形EFG”的面積為小求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取

值范圍.

⑶若經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請

求出其邊長；如果不是，請說明理由.

【答案】⑴ADEF的形狀為等邊三角形，EF的長為2巫-26

⑵①正方形，AE=BF;②y=2/-4x+4（0<x<2）,2,,y<4

⑶經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8,它可能為正多邊形，邊長為20-2

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得AEKD是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出跖的長；

（2）①四邊形耳‘GH的四邊長都相等，所以是正方形；利用三角形全等證