山東省德州市武城縣第二中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析

高二上學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】整理可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以．故選：C．2.設(shè)，向量，且⊥，則（）A.3 B.5 C.9 D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出，進(jìn)而得到，求出模長(zhǎng).【詳解】由題意得，解得，故，所以.故選：B3.某校在五四青年節(jié)舉行了班班有歌聲比賽.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取20個(gè)班級(jí)的比賽成績(jī)，得到以下數(shù)據(jù)，由此可得這20個(gè)比賽成績(jī)的第80百分位數(shù)是（）比賽成績(jī)678910班級(jí)數(shù)35444A.8.5 B.9 C.9.5 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟直接計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂杀砀駭?shù)據(jù)可知這20個(gè)比賽成績(jī)的第80百分位數(shù)是.故選：C.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用線面垂直平行的定理，結(jié)合長(zhǎng)方體模型舉反例即可判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，面內(nèi)可以找一條直線，使得；而，與內(nèi)任意一條直線都垂直，則，則.故B正確；對(duì)于C，如圖，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：B.5.已知一個(gè)圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算得出結(jié)果【詳解】該圓臺(tái)的體積.故選：C.6.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小、材質(zhì)均相同的四個(gè)球，其中有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，現(xiàn)從盒子中一次性隨機(jī)摸取兩個(gè)球，則這兩球不同色的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助列舉法，找出所有情況及符合要求的情況后計(jì)算即可得.【詳解】將兩個(gè)紅球編號(hào)為1，2，兩個(gè)黃球編號(hào)為3，4，一次性隨機(jī)摸取兩個(gè)球的情況有，，，，，，共6種，其中兩球不同色的情況有，，，，共4種，故兩球不同色的概率為.故選：D.7.在平行四邊形中，，，若，則（）A1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算可得，從而得解.【詳解】，，，，，，，．故選：D．8.在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和輔助角公式得到，結(jié)合余弦定理得到，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】，由正弦定理得，因?yàn)椋?，故，即，故，因?yàn)?，所以，故，解得，由余弦定理得，即，因?yàn)?，，所以，解得?故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知，則下列正確的是（）A. B.在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，，則，即，因此，D錯(cuò)誤.故選：AC10.在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)及余弦定理可判斷A；根據(jù)及正弦定理可判斷B；由的值及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求，，根據(jù)正弦定理求出，代入求出可判斷C；根據(jù)三角形面積公式可判斷D.【詳解】由余弦定理可得，解得，故A正確；由及正弦定理，可得,化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋郧?，代入，可得，解得?因?yàn)椋?，，所以由正弦定理可得，由，可得，化?jiǎn)可得，解得或（舍），故C正確；.故選:AC.11.如圖，在三棱柱中，已知點(diǎn)，分別在，上，且經(jīng)過的重心，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，且平面平面，下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C. D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】由三棱柱性質(zhì)和面面平行性質(zhì)可知A正確；利用線面平行判定定理可得B正確；由重心分邊長(zhǎng)比例可得C正確；易知平面與平面相交，即D正確.【詳解】由三棱柱性質(zhì)可知平面平面，又平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)可知；又點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可知，即可得，所以A正確；由，平面，平面，所以平面，即B正確；又經(jīng)過重心，所以，且，，所以，可知C正確；因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，且易知與相交，所以平面與平面相交，因此D錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知事件A和B互斥，且，，則______.【答案】0.4##【解析】【分析】根據(jù)互斥事件及對(duì)立事件的概率相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】∵事件A和B互斥，∴，又，∴，∴.故答案為：0.4.13.已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為_______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理解得，結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由余弦定理可得，即，整理可得，解得（舍負(fù)），則，所以的面積為．故答案為：.14.在中，為中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為______________．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和減法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用向量數(shù)量積公式建立方程進(jìn)行求解即可．【詳解】，，，，為中點(diǎn)，，，，，即，即，得，得．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知兩組各有5位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，組：12，13，15，14，．假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從兩組隨機(jī)各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（1）如果，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率；（2）如果，事件：“甲康復(fù)時(shí)間為11天”，事件：“甲乙康復(fù)時(shí)間之和為25天”，事件是否相互獨(dú)立？【答案】（1）（2）不相互獨(dú)立【解析】【分析】（1）列舉符合條件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，（2）分別求解,即可根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的關(guān)系求解.【小問1詳解】如果，從兩組隨機(jī)各選1人，樣本空間，，共有25種，甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的情況有，共有8種，所以概率為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，事件的情況有，共4種所以事件：“甲康復(fù)時(shí)間為11天且甲乙康復(fù)時(shí)間和為25天”的情況為．故所以事件不相互獨(dú)立．16.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求四棱錐的高．【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；(2)過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．17.某中學(xué)高一年級(jí)舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照50,60，60,70，，80,90，90,100的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績(jī)?cè)诘膬山M中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績(jī)?cè)?0,100內(nèi)的概率.【答案】（1），中位數(shù)約為，平均數(shù)約為75；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積之和等于求出a的值，再估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù).（2）求出抽取的6人中在的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概率求解即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，得，解得，成績(jī)?cè)诘念l率依次為，顯然本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)，則，解得，本次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，所以，中位數(shù)約為，平均數(shù)約為75.【小問2詳解】由（1）知，成績(jī)?cè)冢念l率之比為，則在中隨機(jī)抽取人，記為1，2，3，4，在中隨機(jī)抽取人，記為a，b，從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為，共15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件“至少有1人的成績(jī)?cè)趦?nèi)”，則，有9個(gè)樣本點(diǎn)，因此，所以至少有1人的成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.18.在①，②外接圓面積為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并作答.在銳角中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，且______.（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）選①或選②都可借助正弦定理得到，即可得；（2）借助余弦定理與三角形面積公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】由得，若選①：由正弦定理得，所以，則，又因?yàn)?，故；若選②：外接圓半徑，由正弦定理，所以，則，又因?yàn)?，故；【小?詳解】由（1）知，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為8.19.如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)E滿足，現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如圖所示.（1）在棱上是否存在點(diǎn)F，使直線平面，若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）存在，（2）2【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為N，證得四邊形DENF是平行四邊形，得到，得出平面，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）連接CE，取BE中點(diǎn)O，作于M，證得，得到為二面角的平面角，在直角中，即可求解．【小問1詳解】