【課件】北師大版九年級(jí)下冊(cè)33垂徑定理課件（29張）

*3垂徑定理ABCDOhrd是它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.2.它的對(duì)稱軸是什么?圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線3.你能找到多少條對(duì)稱軸？1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？●O1.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧２.連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.３.經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.弧、弦、直徑圓的相關(guān)概念如：優(yōu)弧ADB記作ABODC如：弦AB直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.注意：如：弧AB記作1.通過(guò)手腦結(jié)合，充分掌握?qǐng)A的軸對(duì)稱性.2.運(yùn)用探索、推理，充分把握?qǐng)A中的垂徑定理及其逆定理.3.拓展思維，與實(shí)踐相結(jié)合，運(yùn)用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明.如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？·COEADB（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：AE=BE?。篈C=BC=AD=BD⌒⌒⌒⌒把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，、分別與、重合。ACADBCBD⌒⌒⌒⌒·COEADB連接OA,OB,則OA=OB.在Rt△OAE和Rt△OBE中,∵OA=OB，OE=OE，∴Rt△OAE≌Rt△OBE.∴AE=BE.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,理由：·COEADB垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．由①CD是直徑②CD⊥AB可推得③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：文字語(yǔ)言：辨析定理的應(yīng)用條件：下列哪些圖形能直接滿足垂徑定理的題設(shè)條件?O(2)O(3)O(4)O(5)O(6)O(1)垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：注意：垂徑可以是直徑、半徑或過(guò)圓心的直線或線段例1.如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB.【例題】解：連接OA，在⊙O中，直徑CD⊥AB，∴AB=2AM，△OMA是直角三角形.∵CD=20，∴AO=CO=10.∴OM=OC–CM=10–4=6.在Rt

△OMA中，AO=10，OM=6，根據(jù)勾股定理，得：∴AB=2AM=2×8=16.例2.如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上.你認(rèn)為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？解:作OG⊥AB，∵AG=BG,CG=DG，∴AC=BD.例3.如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是

一段圓弧(即圖中,點(diǎn)O是所在圓的圓心),其中CD=600m,E是上一點(diǎn),且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.解:連接OC.

趙州橋（如圖）是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA.根據(jù)垂徑定理，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23m，∴AD=BD=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.即趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.

弦a，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：★弓形中重要數(shù)量關(guān)系

d+h=r

ABCDOhrd如圖a、b,一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿_(dá)___＿.

DCBOADOAB圖a圖b變式2cm或12cm半徑為５的圓中，有兩條平行弦AB和CD，并且AB=６,CD=８，求AB和CD間的距離.DABCO(2)ABDC(1)O思考問(wèn)題一定要全面，注意數(shù)學(xué)中分類討論的思想變式EF.EF·COEADB如圖，AB(非直徑)是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）AC與BC相等嗎？

AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒⌒AD=BD.⌒⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO,又∵AE=BE∴CD⊥AB.垂徑定理的推論∵CD是直徑AE=BE∴CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說(shuō)明：圓的任意兩條直徑都是互相平分的.拓展總結(jié)：①CD是直徑其實(shí)垂徑定理可以進(jìn)一步地推廣，以上五個(gè)條件中，只要其中任意兩個(gè)成立，就可以得到另外三個(gè)結(jié)論．這就是所謂的“知二推三”④AC=BC⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒③AE=BE(AB不是直徑）②CD⊥ABCBADE⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧判斷下列說(shuō)法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦

⑤弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形1.（上海·中考）如圖，AB，AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.【解析】由垂徑定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.62.（蕪湖·中考）如圖所示，在⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長(zhǎng)為（）A．19B．16C．18D．20D3．（煙臺(tái)·中考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)OD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，BE，則下列五個(gè)結(jié)論①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè) B4.（湖州·中考）如圖，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，下列結(jié)論中一定正確的是（）A．AE＝OEB．CE＝DEC．OE＝CED．∠AOC＝60°B5.（襄陽(yáng)·中考）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于D點(diǎn)，且AB＝6cm，OD＝4cm，則DC的長(zhǎng)為（）A．5cmB．2．5cmC．2cmD．1cmD

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