吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學試題一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求，1.已知命題，則命題的否定為（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗命題為全稱量詞命題，其否定為：.故選：A.2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內所對應的點的軌跡為（）A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線〖答案〗C〖解析〗設，因為，所以，其幾何意義為任意一點到點2,0于的距離和為，又點2,0和之間的距離小于，符合橢圓定義，所以復數(shù)在復平面內所對應的點的軌跡為橢圓.故選：C.3.如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來是吉林市的重要地標之一.該時鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個時鐘正常運行的過程中，兩時針所在直線所成的角的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知兩異面直線的夾角范圍為，結合正方體的特征不難發(fā)現(xiàn)：當一側時針指向3時，另一側時針指向9時時，兩時針所在直線所成角為直角，故在相鄰兩個時鐘正常運行的過程中，兩時針所在直線所成的角的最大值為.故選：D.4.盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2024年3月25日，斐濟附近海域發(fā)生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震的（）A.10倍 B.100倍 C.1000倍 D.10000倍〖答案〗C〖解析〗設里氏5.1級和3.1級地震釋放出的能量分別為和，由，于是，則，因此，所以它釋放的能量是里氏3.1級地震的1000倍.故選：C.5.已知雙曲線：的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.2或〖答案〗A〖解析〗由雙曲線方程，令，解得，所以雙曲線的漸近線為，又漸近線為，，又，，.故選：A.6.越來越多的人喜歡參加戶外極限運動，據調查數(shù)據顯示，兩個地區(qū)分別有的人參加戶外極限運動，兩個地區(qū)的總人口數(shù)的比為．若從這兩個地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運動的概率為；若此人參加戶外極限運動，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設“此人參加戶外極限運動”，“此人來自地區(qū)”，“此人來自地區(qū)”.依題意，,依題意，；.故選：D.7.已知的三個內角，，的對邊分別為，，，，，，，則線段的長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，整理得，即，所以，所以故選：B.8.如圖所示，曲線是由半橢圓，半圓和半圓組成，過的左焦點作直線與曲線僅交于兩點，過的右焦點作直線與曲線僅交于兩點，且，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由題意知：；，由對稱性可知：為橢圓截直線的弦長，由題意知斜率不為0，設，其與橢圓交于點和，由得：，則，，，，當時，取得最小值，的最小值為.故選：C.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.從含有2件次品的100件產品中，任意抽出3件，則（）A.抽出產品中恰好有1件是次品的抽法有種B.抽出的產品中至多有1件是次品的概率為C.抽出的產品中至少有件是次品的概率為D.抽出的產品中次品數(shù)的數(shù)學期望為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，若抽出的3件產品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，所以共有種不同的抽法，所以A正確，對于B，由題意可知抽出的產品中至多有1件是次品的概率為，所以B錯誤，對于C，由題意得抽出的產品中至少有件是次品的概率為，所以C正確，對于D，設抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，則，，，所以，所以D正確.故選：ACD.10.已知在公差不為0的等差數(shù)列中，是與的等比中項，數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，則，，，因為是與的等比中項，所以，即，解得或，又因為，所以，所以，故A正確；，令，則，又因為，所以，此時，即只有時，且，除此之外，所以成立，故B正確；，故C錯誤；因為只有時，，除此之外，所以的最小值為，又時，，所以的最大值為，所以成立，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)一個周期是B.函數(shù)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有無數(shù)多個對稱中心D.過點作曲線的切線有且只有一條〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)中，，即，解得，，對于A，顯然，，即，A錯誤；對于B，由，求導得，因此函數(shù)遞減區(qū)間為，B正確；對于C，由，得函數(shù)圖象關于點成中心對稱，有無數(shù)多個對稱中心，C正確；對于D，設過點的直線與曲線相切于點，則切線方程為，則，整理得，即，令函數(shù)，當且時，，而，則，即函數(shù)在且時無零點，當且時，，則，即函數(shù)在且時無零點，當時，，又，則，所以，，函數(shù)在上單調遞減，顯然，因此函數(shù)在上無零點；當時，，又，則，所以，，函數(shù)在上單調遞減，顯然，因此函數(shù)在上有唯一零點；從而方程有唯一實根，過點作曲線的切線有且只有一條，D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.12.已知隨機變量，滿足，則__________.〖答案〗8〖解析〗易知.13.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，點是函數(shù)與圖象的連續(xù)相鄰的三個交點，若是鈍角三角形，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗易知，令，即，根據周期性不妨k取，此時，則，易知是以B為頂點的等腰三角形，若要滿足為鈍角三角形，則，解之得.14.清初著名數(shù)學家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個正交的全等正四面體組合而成（每一個四面體的各個面都過另一個四面體的三條共點的棱的中點）.如圖，若正四面體棱長為2，則該組合體的表面積為__________；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內切球體積的比值為__________.〖答案〗27〖解析〗該組合體一共有24個面，每一個面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為;該組合體的外接球也是任意一個正四面體的外接球，可用一個正四面體來看，是的中心，是球心，則，則，，設外接球半徑為，則，又，解得,兩正交四面體公共部分一共有8個面，且每一個面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為，大正四面體的體積為則每個小正四面體的體積為，則中間部分的體積為，設其內切球半徑為，則中間部分的體積也可表示為，解得，故外接球和內切球體積之比為.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求實數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，，，當時，，整理得，數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設，且，解得，，即，其中，，.16.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）求證：當時，.（1）解：當時，，，令得或，當變化時，與變化如下表：-2+-0+單調遞增單調遞減0單調遞增故當時，取得極大值；當時，取得極小值0.（2），，令，則，當變化時，與變化如下表：-0+單調遞減單調遞增故.要證當時，.法一：只需證當時，即，令，則在上單調遞減故，即式成立，原不等式成立.法二：只需證當時，即，令，則，令，則，在上單調遞減.，在上單調遞減，，即式成立，原不等式成立.17.某商場為慶祝開業(yè)十周年，開展了為期一個月的有獎促銷活動，消費者一次性消費滿200元，即可參加抽獎活動．抽獎盒子中裝有大小相同的2個黃球和2個白球，規(guī)則如下：每次從盒子中任取兩個球，若取到的兩個球均為黃球，則中獎并獲得獎品一份，活動結束；否則將取出的兩個球放回盒中，并再放入一個大小相同的紅球，按上述規(guī)則，重復抽獎，參加抽獎的消費者最多進行三次，即使第三次沒有中獎，抽獎也會結束．（1）現(xiàn)某消費者一次性消費200元，記其參加抽獎的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（2）隨著抽獎活動的有效開展，參加抽獎活動的人數(shù)越來越多，表示第天參加抽獎活動的人數(shù)，該商場對活動前5天參加抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計，得到數(shù)據如下：第天12345人數(shù)經過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關關系．（i）計算相關系數(shù)，并說明與的線性相關程度的強弱；（結果精確到0.01）（ii）請用最小二乘法求出關于的經驗回歸方程，并據此估計第10天參加抽獎的消費者人數(shù)．附：①相關系數(shù)：最小二乘估計分別為：②參考數(shù)據：．解：（1）根據題意，可得隨機變量的所有可能取值為，可得，，（或）所以隨機變量的分布列：123所以，期望為.（2）（i）由表格中的數(shù)據，可得，，所以，所以變量與線性相關程度很強.（ii）由，因為，可得，所以，所以回歸方程為，當時，可得，故估計第10天有132名消費者參與抽獎．18.如圖所示，半圓柱與四棱錐A-BCDE拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動點，為圓柱的一條母線，點在半圓柱下底面所在平面內，.（1）求證：；（2）若平面，求平面與平面夾角余弦值；（3）求點到直線距離的最大值.（1）證明：取弧中點，則，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，連接，在中，，，則，于是，設，則，其中，，因此，即，所以.（2）解：由平面平面，得，又，則，而平面，則平面，即為平面的一個法向量，，由平面，得，又，解得，此時，設是平面的法向量，則，取，得，設是平面法向量，則，取，得，則平面FOD與平面夾角的余弦值為.（3）解：，則點到直線的距離，當時，即的坐標為時，點到直線的距離取最大值為19.直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點2,1且斜率存在的直線族，表示斜率為1的直線族.直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若直線族的包絡曲線是圓，求滿足的關系式；（2）若點不在直線族的任意一條直線上，對于給定的實數(shù)，求的取值范圍和直線族的包絡曲線；（3）在（2）的條件下，過直線上一個動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求原點到直線距離的最大值.解：（1）由題可知，直線族與圓，相切即圓心O0,0到直線族的距離為4，，滿足的關系式為.（2）點不在直線族的任意一條直線上，則對，方程無解，，即的取值范圍為.猜想：直線族的包絡曲線為.證明如下：①設曲線上任意一點，曲線在點處的切線斜率為，曲線在點處的切線方程為，即，令，則切線方程為，即曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.②，直線族中的每條直線都是曲線在點處的切線.綜上①②，直線族的包絡曲線為.（3）法一：設，由（2）知，直線的方程為①直線的方程為②由①②得：，設直線的方程為，由得，，，