2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合背景下的新定義壓軸解答題（四大題型）（解析版）

拔高點突破01集合背景下的新定義壓軸解答題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定義新概念............................................................................2

題型二：定義新運算.............................................................................7

題型三：定義新性質(zhì)............................................................................10

題型四：定義新背景............................................................................14

03過關(guān)測試....................................................................19

亡法牯自與.柒年

//\\

1、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

(1)正確理解新定義；

(2)根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

(3)結(jié)合所學(xué)的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

(4)運用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進(jìn)行推理、運算，求得結(jié)果.

2、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合

的知識加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

3、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合

數(shù)學(xué)中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進(jìn)行計算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的.

4、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相

應(yīng)的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

題型一：定義新概念

【典例1-1】(2024?北京順義?二模)已知點集〃“={(和另)，(々，%)，，(x””)}(〃N3)滿足0V%,%,

乙+y<2。=1,2,?，耳.對于任意點集若其非空子集A,8滿足Ac3=0,AB=Mn,則稱集合對

(4功為風(fēng),的一個優(yōu)劃分.對任意點集M“及其優(yōu)劃分(A3),記A中所有點的橫坐標(biāo)之和為X(A),B中

所有點的縱坐標(biāo)之和為丫⑻.

⑴寫出M3={(1,1),(2,0),(0,2)}的一個優(yōu)劃分(A3),使其滿足X(A)+F(3)=3；

(2)對于任意點集M，求證：存在M的一個優(yōu)劃分(A,3),滿足X(A)+F(B)43；

(3)對于任意點集此，求證：存在此的一個優(yōu)劃分(A3),滿足X(A)V等且y(B)w等.

【解析】(1)由題因為M3={(1,1),(2,0),(0,2)},

所以若使X(A)+F⑻=3,則可以A={(1,1)},3={(2,0),(0,2)),

此時x（A）=i,y（B）=2,x（A）+y（B）=3,滿足題意.

（2）根據(jù)題意對于任意點集機(jī)=｛（西,％）,（々，％），（演，%）｝，不妨設(shè)玉Vx2Vx3,

且OVx”%,人+》<2（i=l,2,3）,

若毛=1,則04%41,

則X（A）=%+%=2,y（3）=為（l，此時恒有X（A）+F（3）<3；

若百43VI，尤3>1，則>3<1，可令4=｛（%，％），（馬，%）｝，區(qū)=｛（工3，%）｝，

此時乂（4）=%+々42,丫（3）=為<1,則X（A）+y（3）<3,滿足題意；

若占41,1<尤24迅，則令人=｛（&%）｝，3=｛（$，%），（/，%）｝，

此時x（a）=%vi,y（3）=%+%<2,則x（A）+y（8）<3,滿足題意;

若1<%4%2?%3，貝!1%，內(nèi)，必<1，貝!J必42—％W2—再，%?2—％242—％1，

令4=｛（%，乂）｝，8=｛（七，％卜（々，%）｝，

止匕時X（A）=X|,y（3）=%+%V4—2X],則X（A）+y（3）W4—玉<3,滿足題意；

所以對于任意點集M，都存在“3的一個優(yōu)劃分（A3）,滿足X（A）+y（B）43.

（3）不妨設(shè)°<占V尤2…V2,

w+1

若%+%++x?<^-,則3取其中一點即可滿足；

n+1

右石+%++Xn>，

72+1

+X

則必存在正整數(shù)上使得玉+%2+k———<X1+X2++/+/+1，

九+]z"+]

則有<玉+/++/+/+1工（%+1）及+1，于是2（1+1）</+1'

又因為%+1+%+2++%（（2—%+1）+（2-/+2）++（2-天）

（〃+]'

<（2_%+1）+（2_4+2）++（2_天）《（〃_左）（2_/+1）<（〃_k）2—2（,+]）

=[〃+1-（左+1）][-段,g（〃+l）[2優(yōu)+1）+制，

<|（?+1）-2（?+1）=^,當(dāng)且僅當(dāng)人=—■時取等號；

于是取4=｛（冷M）,…,（々,％）｝,3=｛（々+1，%+1）,…,（4,%）｝,

即可滿足X（A）V*—且y（B）v*-,命題得證.

【典例1-2】（2024?浙江臺州?二模）設(shè)A,B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素X,按照

某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時8

中的每一個元素y,都有一個A中的元素尤與它對應(yīng)，則稱A-3為從集合A到集合B的一一對應(yīng)，

并稱集合A與3等勢，記作］=］.若集合A與8之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A與8不等勢，記作

A^B-

例如：對于集合4=1\［*,2={2葭,eN*},存在---對應(yīng)關(guān)系y=2MxeAye3),因此］=

(1)已知集合C={(x,y)\x2+/=1),D=，(x,試判斷1行是否成立?請說明理由；

(2)證明：①(0,1)=(-8,+8)；

②N*W{小三N*}.

%—2x

【解析】(1)設(shè)P(%,%)eC,Q=(x,y)e。，令:

U=J3%,

則C與。存在一一對應(yīng)，所以集合3=5.

(2)①取函數(shù)>=12!1兀［尤-3，其中xe(O,l),兩個集合之間存在---對應(yīng)，故

(0,1)=(-00,+00).

備注：函數(shù)舉例不唯一，只要保證定義域為(0,1),值域為R即可，

—2,0<%<一,In2x,0<xW—,

,X2T2AyrAyrr

如：y=<等等均可,

x-122

②設(shè)A=N*,2={小=川'},

假設(shè)］=］，即存在對應(yīng)關(guān)系九Af8為一一對應(yīng)，

對于集合8中的元素{1},{2},{1,2},至少存在一個xeA且彳22)與這三個集合中的某一個對

應(yīng)，所以集合A中必存在無任，(尤).

記￡>={xe4上任/(》)},則￡)聶4,故

從而存在aeA,使得

若ae￡>,則ae/(a)=。，矛盾；

若a拓Z),貝!|ae/(a)=Z),矛盾.

因此，不存在A到2的---對應(yīng)，所以

【變式1-1］(2024.江西九江.二模)定義兩個“維向量6=(稅,％,2,…,X,"),叼=(%,號2,…，馬.)的數(shù)量積

a」％=%+%濟(jì)2+?■?+\?xjn(z,jeN+),%.%=a：，記%*為ai的第上個分量(左4”且％€、).如三

維向量4=(2,1,5),其中4的第2分量&2=1.若由,維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含

有〃個〃維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取?；?；③集合中任意兩個元素q,aj,滿足

a：=a：=T"為常數(shù))且qq=l.則稱A為T的完美"維向量集.

⑴求2的完美3維向量集；

(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

(3)若存在A為T的完美"維向量集，求證：A的所有元素的第左分量和1=7.

【解析】(1)由題意知，集合A中含有3個元素%(，=1,2,3),且每個元素中含有三個分量，

因為62=%=%=2,所以每個元素中的三個分量中有兩個取1，一個取0.

所以q=(LL。)，％=(1,1,0),q=(0,LD，

y.al-a2=a1-a3=a2-a3=l,

所以2的完美3維向量集為A={。,1,0),(1,0,1),(0,1』)}.

(2)依題意，完美4維向量集B含有4個元素〃(，=1,2,3,4),且每個元素中含有四個分量，

Te{0,1,2,3,4},

(i)當(dāng)7=0時，b,e{(0,0,0,0)),與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

(ii)當(dāng)T=1時，bte{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不滿足條件③，舍去；

(iii)當(dāng)7=2時，.e{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)},

因為(1,1,0,0).(0,0,1,1)=0,故(1,1,0,0)與(0,0,1,1)至多有一個在2中，

同理：(1,0,1,0)與(0/,0,1)至多有一個在2中，(L0,0』)與(0,LL0)至多有一個在2中，

故集合8中的元素個數(shù)小于4,不滿足條件①，舍去；

(iv)當(dāng)T=3時，bte{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)},不滿足條件③，舍去；

(v)當(dāng)7=4時，6{(1,1,1,1)},與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

綜上所述，不存在完美4維向量集.

(3)依題意，T的完美〃維向量集C含有〃個元素q(i=L2,,〃)，且每個元素中含有〃個分量，

因為cj=T,所以每個元素中有T個分量為1,其余分量為0,

所以5]+邑+?+Sn==nT(*),

由(2)知，7片0」,〃，故2VT<”，

假設(shè)存在左，使得T+1WSE，不妨設(shè)T+l<44〃.

(i)當(dāng)S|=〃時，如下圖，

此時S1+S2++S?<ZZ+(M-1)=2/J-I<2n<nT,與(*)矛盾，不合題意.

XX

不妨設(shè)%=%T+\,l=1,X“J=0,Xn2=X.,3=?,T+!—1,

下面研究c：,c；,&,L,的前T+l個分量中所有含1的個數(shù).

一方面，考慮G，c；,C；,L,4M中任意兩個向量的數(shù)量積為1,

故X],八x2j,L,xT+1j(j=2,3,??■,T+1)中至多有1個1,

故q,c；,C3，L,%二的前T+1個分量中，

所有含1的個數(shù)至多有(T+1)+T=(2T+D個1(**).

另一方面，考慮c「c,=l(Z=l,2,-,T+1),

故q,Q,C3,L,的前T+l個分量中，含有(T+l)+(T+l)=(2T+2)個1,與(**)矛盾，不合題意.

故對任意上〈〃且keN+，Sk<T,由(*)可得&=T.

題型二：定義新運算

【典例2-1】（2024?海南?？?一模）在計算機(jī)科學(xué)中，〃維數(shù)組X=（%，w，…,當(dāng)）,%e{O,l},ieN+，〃22是

一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用.對于“維數(shù)組

A=（a1,?2,L,?n）,B=（&I,Z?2,L,bn）,定義A與B的差為A-8=（|q-聞他一汕，|凡一切）,人與B之間的距

離為d（A,B）=f㈤-用.

1=1

⑴若〃維數(shù)組C=（O,O,,0）,證明：d?（AC）+J（B,C）＞J（AB）；

（2）證明：對任意的數(shù)組A,B,C,^d（A-C,B-C）=d（A,B）.

⑶設(shè)集合S“={x|x=（x”w，,%）,無”{0,l}"eN+，〃22},尸aS“，若集合P中有機(jī)（心2）個〃維數(shù)組，記

P中所有兩元素間的距離的平均值為d（P）,證明：“（尸”2（〃一）,

【解析】（1）設(shè)A與B中對應(yīng)項中同時為0的有x（04x4〃）個，同時為1的有y（04y4〃-％）個，

則對應(yīng)項不同的為,―x—y個，所以d（A3）=〃-x-y.

所以d（A0）+d（5,C）=2y+_y=d（A,5）；

（2）設(shè)AH4%…，4）,3=（乙也，..，2）,C=（C1，C2//）￡?；,

因為A-c=（|%-q|M-c2|,，|%-qj），

B-C=（|Z?I-CI|,|Z?2-C2|,

所以d（A_C,B_C）=￡k-GH々一qII，

Z=1

因為Ge{0,l},7=1,2,,n.

所以當(dāng)G=0時，料一4-也-c』=|4一同，

當(dāng)c,=1時，忖-4-向-4=|（1-4）-（1-4）|=L-可，

所以d（A-C,B-C）=￡|何-c卜性-cj=f-4=d（A,B）；

z=li=l

（3）記集合P中所有兩個元素間距離的總和為fd仍,q）,

i,六1

一1_嗎

則7（p）=k?￡d（E，弓）.

i,j=T

設(shè)集合P中所有元素的第Kk=1,2,,n）個位置的數(shù)字共有tk個1,〃一4個o,

m〃

則￡“片，弓）=ZX（，”G，

i,J=lk=\

因為小”7-友>0,

所以小

所以f"仍，號)=tX("zTj〈丁，

i,j=lk=l4

ll-T/f1Sjc八\,2nm2mn

所以d(尸)二-?Zd(月，q)<-———?—=———?

c；,■>>!'7m(m-l)420-1)

【典例2-2】(2024?浙江紹興?二模)已知此N*,集合{小=2%+2%+…+2"0*<%<.<二,其中

席,…4eN}.

(1)求X2中最小的元素；

⑵設(shè)a=>+23eX1,beXIt且。+beX-求匕的值；

*1h

⑶記4=X&C(2ZI,2"+"],"eN*,若集合匕中的元素個數(shù)為a，求Z聲.

加=12

【解析】(1)X2中的最小元素為2。+?+22=7.

(2)由題得4=21+23=10,設(shè)6=2)+2‘，0<z<j(z,jeN).

①當(dāng)/<3時，6=23+2?=12或6=23+7=10或6=23+2°=9或6=2?+2=6或6=22+2°=5或

6=2+2°=3.

42

經(jīng)檢驗，當(dāng)〃=10時，a+Z?=20=2+2,符合題意，

所以分=10.

②當(dāng)/=4時，6=24+23=24或6=24+2?=20或6=24+21=18或6=24+2°=17.

經(jīng)檢驗，當(dāng)6=24時，0+6=34=25+2、符合題意，

所以6=24.

③當(dāng),25時，不符合題意.

因此，3=24或10.

(3)設(shè)xe%,則x=2'。+2,+…+2%,其中，[=左+"-1,

0<i0<i1<---<ik_l<k+n-l,所以=C：+,_],

攵+1〃111

設(shè)&=二聲，則&=c+^C3+^cL2+-+^ct.

因為c^=c3+c窗,

所以1+i=C：：+gc：：；+:c/+…+，c黑]+C

=4+1(cLi+c：：；)+*?+2+c￡；)+…+9(c]+c工)+/(c/+i+cXi)

=[c；+；C：+]+Jc：+2+…++擊c%

f~>k+\,f~^k+\?f~>k+\

+?11..11

-^k+l+^k+2+,?,+2Hl

=&+)k+l,10k

2k+2+5rL2k+1

田"1a一（2左+1）!1（2—2）!（2Z+1）!一（2k+l）!

因為2ui22-一■（1］）!2『+1）!化+1）!-X!優(yōu)+1）!一'

所以Sx=1+gSz，所以&包=21,

又因為H=l+gc；=2,所以'=21

mI

【變式2-1］（2024.浙江嘉興.二模）己知集合4=^2°'|0<?[<a2<<a,?,a;GNL定義：當(dāng)=r時，把

集合A中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列{伏)},數(shù)列他⑺“}的前〃項和為S().例如：/=2時,

2123

6(2)1=20+%=3,b(2)2=20+2=5,/?(2)3=2+2=6,/?(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2)[+仇2)z+b(2)3+/2'=23.

⑴寫出b(2b涉(2%,并求S⑵i。；

(2)判斷88是否為數(shù)列抄(3)“}中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；

⑶若2024是數(shù)列抄⑺“}中的某一項6(片)由，求2％及S億)陽的值.

1

【解析】(1)因為〃z=2,止匕時A={2"+2%104tzi<%,4，%eN},

僅2)5=2?+2i=10,僅2%=2?+22=12,

SQL=4(2°+21+23+23+24)=124.

(2)當(dāng)〃z=3時，A={2"1+2%+2"3|0Wq<的(生，。],%,%eN},

88=2,+2"+展,88是數(shù)歹U抄(3)0}中的項，

比它小的項分別有2"，+2%+2%,0?%a2<a3用嗎,％嗎N,或個，

有2"，+2%+26,0?%%N3,%,%N,C；個，

有20+24+26,02,%?N,C；個，

所以比88小的項共有C：+C；+C；=29個，故88是數(shù)列抄⑶,}的第30項.

(3),2024=21°+29+28+27+26+25+23,;.2024是數(shù)歹J|{6(7)“}中的項，故辦=7,

7

則當(dāng)=7時，A={2%+2"。++2"104q<a、<,<%,q,a1,,為eN},

方法一：比它小的項分別有以下7種情況:

fl

①*+2"2++2\o<al<a2<<%V9,%,%,?N,10個數(shù)字任取7個得C：0個，

a6l0

②2%+22+,+20+2,0<a1<a2<<a6<8,?1502,1.,a6eN,得C；個，

③2al+2"+-+205+2。+2",04q<%<,<%47,q,a,,,%eN,得C；個，

fl|2O48910

@2+20+.+2+2+2+2,0<a1<a2<<a4<6,a,,a2,.,a4eN,得C；個，

78910

⑤2'+2%+2%+2+2+2+2,0<a1<a2<a3<5,a1,a2,a3eN,得C：個，

a678910

@2'+2"z+2+2+2+2+2,0<a1<a2<4,^,^eN,得C；個，

5678910

⑦2。，+2+2+2+2+2+2,0<a1<2,0；eN,得C；個，

所以比2024小的項共有C：0+C；+C；+C；+C+C；+C個，

其中C：o+Cg+C；+C；+Cg+Cj+C；=C：。+C；+C；+C；+C：+C；+3

=c：°+c；+c；+C+C：+c；+C+3-C：

=C：「2

=328

故2024是數(shù)列抄⑺,}的第329項，即％=329.

aj

方法二：4={20+2吆++2\0<aA<a2<<%410,陽%,%eN}共有元素C1個，

最大的是7+29+28+2,+26+2‘+2"其次為2K^29+28+27+26+2§+23=2024,

所以2024是數(shù)歹!|抄(7)“}的第C：「1=329項，即%=329.

在總共C]=330項中，含有2。的項共有C：。個，同理2122,.21°都各有C：。個，所以

S(7)33O=C：O?(202'++210)=210?2047429870,貝I]

SUo)^=S(7%29=S(7)33o一匕(7)330=429870—2032=427838.

題型三：定義新性質(zhì)

【典例3-1】(2024?云南昆明?一模)若非空集合A與8,存在對應(yīng)關(guān)系力使A中的每一個元素a,B中總

有唯一的元素6與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作力A-B.

設(shè)集合4={-5,-3,-1,1,3,5},B={bt,b2,h}"eN*,77V6),且804.設(shè)有序四元數(shù)集合

P={X|X=(菁,々,毛,匕)田€4且7=1,2,3,4},Q={y|y=(%,%,%,%)}.對于給定的集合3,定義映射了：

Pr。,記為y=〃X),按映射了,若占eB(i=l,2,3,4),則y,=x,+l；若%wB(z=l,2,3,4),貝(]

4

y1=xi■記品(￥)=2%.

Z=1

⑴若3={-5,1},X=(l?-3,-3,5),寫出y,并求，(y)；

(2)若8=也也也｝,X=(1,-3,-3,5),求所有邑⑶的總和;

4

⑶對于給定的x=(%,%,&,%),記產(chǎn)打，求所有與(丫)的總和(用含力的式子表示).

Z=1

【解析】⑴由題意知,r=/(X)=/((1,-3,-3,5))=(1+1,-3,-3,5)=(2,-3,-3,5),

所以SB(Y)=2-3-3+5=1.

(2)對1,-3,5是否屬于2進(jìn)行討論：

①含1的8的個數(shù)為C；=10,此時在映射/下，乂=1+1=2；

不含1的2的個數(shù)為C；=10,此時在映射/下，y=l；

所以所有丫中2的總個數(shù)和1的總個數(shù)均為10；

②含5的2的個數(shù)為C；=10,此時在映射/?下，”=5+1=6；

不含5的2的個數(shù)為C；=10,此時在映射了下，％=5；

所以所有/中6的總個數(shù)和5的總個數(shù)均為10；

②含一3的8的個數(shù)為C；=10,此時在映射/下，%=-3+1=-2,%=-3+1=-2；

不含-3的8的個數(shù)為C；=10,此時在映射了下，%=-3,y3=-3；

所以所有y中-2的總個數(shù)和-3的總個數(shù)均為20.

綜上，所有SB(V)的總和為10x(1+2+5+6)+20x(—2—3)=140—100=40.

(3)對于給定的X=&，w，w，X4),考慮占在映射了下的變化.

由于在A的所有非空子集中，含有為的子集B共25個，

所以在映射了下玉變?yōu)椋?玉+1；

不含X1的子集2共2$-1個，在映射了下/變?yōu)椋?網(wǎng)；

所以在映射了下得到的所有%的和為25a+1)+(25-1)^=63占+32.

同理，在映射了下得到的所有％(，=2,3,4)的和25(%+1)+05-1加=63%+32.

所以所有其(卜)的總和為63(%+々+$+*4)+32x4=637九+128.

【典例3-2】(2024?廣東江門?一模)將2024表示成5個正整數(shù)七，々，￡,匕，尤$之和，得到方程

占+尤2+三+匕+%=2024①，稱五元有序數(shù)組(為程王,斗飛)為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組

(x1,x2,x3,x4,x5),當(dāng)iy<5時，若0^(無|-弓)=?€>1),則稱(石,孫￡,*七)是，一密集的一組解.

⑴方程①是否存在一組解(冷%,玉,%%)，使得巧+「匕1=1,2,3,4)等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù);

若不存在，請說明理由；

(2)方程①的解中共有多少組是1-密集的？

5

（3）記5=±其，問S是否存在最小值?若存在，請求出S的最小值；若不存在，請說明理由.

4=1

【解析】（1）若/「為1=1,2,3,4）等于同一常數(shù)，

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得{%}構(gòu)成等差數(shù)列，所以玉+%+退+%+毛=5退=2024,

解得退=20詈24，與wsN*矛盾，

所以不存在一組解（&%2，七，%%5），使得%+1-匕（，=123,4）等于同一常數(shù)；

_12024

（2）因為％=g（玉+%2+%3+%4+%5）=---=404.8,

依題意，=1時,即當(dāng)時，max（x.-x.）=l,

所以max{%}=405,min|x71=404,

設(shè)有y個405,則有5-y個404,由405y+404（5-?。?2024,解得y=4,

所以X],x3,x4,毛中有4個405,1個404,

所以方程①的解共有5組.

_12024

（3）因為平均數(shù)%=W（演+9+%+乂+/）=-§=4°4.8,

又方差〃,即5b2=￡卜1-,一=￡片-5尤2,

3Z=11=14=1

所以S=502+5孩，因為最為常數(shù)，所以當(dāng)方差/取最小值時s取最小值，

又當(dāng)t=0時%=%=泡=匕=無5，即5占=2024,方程無正整數(shù)解，故舍去；

當(dāng)r=l時，即（%,馬,玉,龍4,龍5）是1-密集時，s取得最小值，

且Sms=4x4052+4042=819316.

【變式3-1]（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知集合A中含有三個元素龍,MZ,同時滿足①x<y<z；②x+y>z；

③x+y+z為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)尸.已知集合S”={1,2,3,.、2科（九wN*,心4）,對于集合S“的非

空子集B,若S“中存在三個互不相同的元素ddc,使得a+瓦6+c,c+a均屬于8,則稱集合B是集合院的

“期待子集”.

⑴試判斷集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

⑵若集合8={3,4,a}具有性質(zhì)p,證明：集合8是集合S,的“期待子集”；

（3）證明：集合/具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合S”的“期待子集”.

【解析】（1）集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性質(zhì)尸，理由如下：

（i）從集合A中任取三個元素x，y，z均為奇數(shù)時，x+y+z為奇數(shù)，不滿足條件③

（ii）從集合A中任取三個元素x，%z有一個為2,另外兩個為奇數(shù)時，不妨設(shè)>=2,x<z,

則有z—xN2,即Z-尤不滿足條件②，

綜上所述，可得集合A={123,5,7,9}不具有性質(zhì)P.

(2)證明：由3+4+。是偶數(shù)，得實數(shù)。是奇數(shù)，

當(dāng)〃<3<4時，由a+3>4,得即〃=2,不合題意，

當(dāng)3<4<〃時，由3+4>〃，得4v〃v7,即a=5,或〃=6(舍)，

因為3+4+5=12是偶數(shù)，所以集合5={3,4,5},

令。+〃=3/+。=4,。+。=5,解得a=2,b=1,c=3,

顯然a,b,ceS,={1,2,3,4,5,6,7,8},

所以集合8是集合S」的“期待子集”得證.

(3)證明：

先證充分性：

當(dāng)集合M是集合S”的“期待子集”時，存在三個互不相同的4瓦。，使得。++c,c+a均屬于/,

不妨設(shè)a<b<c,令尤=a+6,y-a+c,z=b+c,貝!jx<y<z,即滿足條件①，

因為尤+y-z=(a+6)+(a+c)-S+c)=2a>0,所以尤+y>z,即滿足條件②，

因為無+y+z=2(a+Z?+c),所以x+y+z為偶數(shù)，即滿足條件③，

所以當(dāng)集合又是集合S"的“期待子集”時，集合M具有性質(zhì)P.

再證必要性：

當(dāng)集合M具有性質(zhì)P,則存在x,y,z,同時滿足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z為偶數(shù)，

令。=葉產(chǎn)一z,6=u產(chǎn)一y,”葉產(chǎn)t,則由條件①得a<6<c,

由條件②得"葉產(chǎn)1=葉尸>。，

由條件③得a，4c均為整數(shù)，

imx+y+zz+x-yz+(z-y)-y

因為z-c=z+%--------=------->----------=z-y>0,

222

所以0<〃<b<c<z,且。，瓦。均為整數(shù)，

所以〃，"CES”，

因為a+Z?=%,a+c=y,Z?+c=z,

所以a+"〃+c,c+a均屬于A1,

所以當(dāng)集合M具有性質(zhì)尸時，集合M是集合S”的“期待子集”.

綜上所述，集合M是集合Sn的“期待子集”的充要條件是集合M具有性質(zhì)P.

題型四：定義新背景

【典例4-1】（2024?全國.模擬預(yù)測）拓?fù)鋵W(xué)是一個研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以

抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯.已知平面片=｛（電y）|Vx,yeR｝,定義對

4（與％）,4優(yōu)，%）,其度量（距離）d（%4）=ry+（%.并稱（比力為一度量平

面.設(shè)尤（，4沈△）,￡CR+,稱平面區(qū)域8（元0，￡）=｛尤?（比"或知x）＜e｝為以毛為心，￡為半徑的

球形鄰域.

（1）試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；

（2）證明：（￡2,中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；

（3）一個集合稱作“開集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個無邊界的點集.證明：（￡?，力的一個子集是開集當(dāng)且僅當(dāng)其可

被表示為若干個球形鄰域的并集.

【解析】（1）設(shè)這兩個球形鄰域分別為旦馬），坊（孫a）,

。為四和B2的交集.

①若Bi與B2不相交，則用c坊=0；

②若瓦與與相交，則

2

Z）=2]cB?=｛xe（E\d）|d（如x）＜￡,Jn|xe^￡,d^\d^x2,x）＜1

=卜€(wěn)（￡2,%）＜￡],且“孫^）＜￡"2｝

故耳c星=0或｛xe（E\4）.（占，x）＜￡”且X）＜￡2｝-

（2）我們約定集合族是指以集合為元素的集合，其并運算為

加人&表示集合族｛AJ2eA｝的所有集合的并集

回到原題，設(shè)這兩個球形鄰域分別為4（%，弓），B式馬,即，。為與和坊的交集.

①若用與B2不相交，則B^B2=0,即?？梢钥醋髁銈€球形鄰域的并集；

②若與與當(dāng)相交，則取Vye4（不￡^r＞B2（x2,邑），

令？=向日弓-刈占，y）,￡2-d（x2,y）｝,構(gòu)造球形鄰域q（y,￡J.

因為對于VzeB）,（y,，有

"（菁，z）Wd（“y）+d（y,z）4d（石,?。?￡,〈%

必芍z）＜d（%2，y）+d（y,z）＜d（%2，y）+sy-

故ze8]（%,￡1）r\B2（x2,務(wù)），這說明耳卜，￡》）口巴（孫^）nB2（%2,s2）=D.

由于y是。中任取的一點，這說明耳卜，￡＞）仁用（為，幻心鳥仁，￡2）＞

繼而。=yeD{-^}—'yeD4，（y，￡）口片（與^）nB2（x2,S2）=D

即0=4（%,0）口鳥（々，巧）可被表示為若干個球形鄰域4卜，￡＞）的并集.

命題得證.

（3）①先證充分性：當(dāng)（序，力的一個子集可以寫為若干球形鄰域的并時，其必為開集.

設(shè)G=（爐，力，由⑵可知G可看作若干個球形鄰域的并集，

即G=；gAB：（x『￡■,）

則VxeG,為＞0使得彳64（修￡,）=G,故G是開集.充分性證畢.

②再證必要性：若（嚴(yán)，力的一個子集是開集，則其可被表示為若干個球形鄰域的并集.

設(shè)G是一個開集，由情況①得VxwG,三￡＞0'使得天€耳（匕，J）口G,所以

G=上3{%}屋U*eGBi（%，4）UG

即6=%wGB人X『

故G可被表示為若干個球形鄰域Bt（如￡,）的并集.必要性證畢.

【典例4-2】（2024?安徽蕪湖.二模）對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.若一個平面圖形K在加

（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變

換.例如，正三角形R在叫（繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以

「、

123;

叫是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應(yīng)關(guān)系，記但=1]2又如，氏在《

（關(guān)于對稱軸片所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以4也是R的一個對稱變

門231

換，類似地，記4=132?記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合一個非空集合G對于給定的代

數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足：

I.V（2,Z?GG,abGG、

II.VQ,6,C￡G,（ab）c=a[bc）；

III.3eGGfVa￡G,Qe=eQ=Q；

IV.X/a^G,3a~leG?aa~x=axa=e-

對于一個群G,稱HI中的e為群G的單位元，稱W中的/為。在群G中的逆元.一個群G的一個非空子

集〃叫做G的一個子群，假如“對于G的代數(shù)運算來說作成一個群.

圖1圖2

（1）直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）;

（2）同一個對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一,如

1231322132331232

my=.對于集合S中的元素，定義

3123211322311

瓦4

一種新運算*,規(guī)則如下:*

C

瓦b24203

{4，%,%}={4也也}={。，。2，。3}={1，2,3}.

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群;

②已知X是群G的一個子群，e,e'分別是G,X的單位元，aeH,ax"分別是〃在群G,群H中的

逆元.猜想e,e'之間的關(guān)系以及a-L屋之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

123

【解析】（1）依題意，正三角形R的對稱變換如下：繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)變換班=

312

23

繞中心。作240°的旋轉(zhuǎn)變換代=

3

123

繞中心。作360°的旋轉(zhuǎn)變換嗎=

2

123

關(guān)于對稱軸片所在直線的反射變換4=

3

23

關(guān)于對稱軸4所在直線的反射變換1=

22

23

關(guān)于對稱軸4所在直線的反射變換4=

1

12312312312312323

綜上，s=.（形式不唯一）

312231231332113

ci?b1包4%blb24^^2^^3

(2)①I.VeS,*ws；

、CCCcC

bb24\234b2b3q203q3

瓦bbC\C2C3

II.V23eS,

4包4qcic3^^2^^3

q4bbCaaCCC

%%23G2x2*\23

b

424qC2C34d24d3

%%b

a2ax出a3*瓦24*q

b

4d2d3424qC2q4

qbbq

a2。3*瓦23%a3

bb

4234d2d34d2d3

bb

axbI23qC2。3axb2b3

所以****

4&4qC2q4^<2^^34b?4qdy(^2^^3

123q%a3

in.3G5,VGS

2Ab2b3

%“2a3axa2。3*仇仇4

bb

%瓦4424bib24d3

qb1b2b3123123

而,所以e=

bb

ax瓦2312123

4

IV.VeS,3eS,

a3

a42

3*b24*

4瓦4ax4b2b3

綜上可知，集合S對于給定的新運算*來說能作成一個群.

②e=d,a一1=",證明如下:

先證明eef：由于H是G的子群，取awH,則QEG,

根據(jù)群的定義，有。e=a,ae'=a,所以ae=ad,

所以I(ae)=ax(ad),即(。一］a)e=a)d

即ee=ee',所以e=d.

再證明Q-I="：由于e=d,e=a~la，er=ara,

所以Q-a=aa,所以。］aQT)=〃，(aa，,

所以e=a'e,所以。一1=a?

③S的所有子群如下:

2323123

22313

12323123123

H3=