2024-2025學年浙江省寧波市海曙區(qū)某中學八年級（上）開學數(shù)學試卷+答案解析

2024-2025學年浙江省寧波市海曙區(qū)儲能學校麗園校區(qū)八年級（上）開

學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.漢字是迄今為止持續(xù)使用時間最長的文字，是傳承中華文化的重要載體.漢字在發(fā)展過程中演變出多種

字體，給人以美的享受.下面是“北京之美”四個字的篆書，不能看作軸對稱圖形的是（）

加啼噴

2.下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.3,4,7B.6,7,12C.6,1,14D.3,3,8

3.下列命題中是真命題的是（）

A.相等的角是對頂角B.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

C.全等三角形的對應(yīng)邊相等D.如果同為“，那么a=6

4.如圖，已知△ABCg△ADO,ABAC=30°-/AC。=60°，則NO=(

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

5.如圖，MC是乙4M8的角平分線，尸為兒（上任意一點，PDVMA,垂足

為點、D,且P￡>=3，則點尸到射線兒必的距離是（）

A.1

B.2

C.3

D.不能確定

6.空調(diào)安裝在墻上時，一般都會采用如圖的方法固定，這種方法應(yīng)用的幾何原理是（）

A.兩點確定一條直線

三角形支架

第1頁，共18頁

B.兩點之間線段最短

C.三角形的穩(wěn)定性

D.垂線段最短

7.不等式，〉1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

8.如圖，小敏做了一個角平分儀Z8CO,其中4B=AD，BC=DC，將儀器上必

的點/與NPEQ的頂點R重合，調(diào)整43和4D,使它們分別落在角的兩邊上，過R/

點A、C畫一條射線NE,/￡就是/PAQ的平分線.此角平分儀的畫圖原理是（）仆/\/

eVP

A.SSS

B.SASE

C.ASA

D.AAS

9.如圖，△A8C中，AACB-=80°，將△48。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到△E。。A

/C、交于點F.若/BCD=a，貝!1/\一E

使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上,

NEFC的度數(shù)是（）（用含a的代數(shù)式表示）

3

A.80°+-a

3

B.170°+-QBC

3

C.170°--a

3

D.-a

2

10.已知一個三角形的三邊長均為整數(shù)，若其中僅有一條邊長為6,且它不是最短邊，也不是最長邊，則滿

足條件的三角形共有（）

A.12個B.10個C.8個D.6個

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.用不等式表示“線上學習期間，每天體育運動時間超過1小時'",設(shè)每天的體育運動時間為X小時，所

列不等式為______.

12.寫出命題“直角三角形只有兩個銳角”的逆命題_____.

13.在△ARC中，NA=30°，=4/C,則/C的度數(shù)為____

第2頁，共18頁

14.如圖，若△48。g/\。后F,8、K。、歹在同一直線上，BC=7cm，0E=4cm，則CF的長是cm.

15.如圖所示，已知/C平分CE1AB于點E,AB=AD+2BE,

則下列結(jié)論:①48+AD=2AE；?AADC+AABC=180°；③。。=CB;

@S^ADC+S^BCE=S^ACE,其中正確的結(jié)論有.（把正確結(jié)論的序號填

寫在橫線上）.

16.如圖，乙4+/8+/。+/。+/石的度數(shù)為

三、解答題：本題共8小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題6分）

解不等式9c-2W7x+3,并把解集表示在數(shù)軸上.

-5-4-3-2-I012345

18.（本小題6分）

如圖，在方格紙中，每一個小正方形的邊長為1,按要求畫一個三角形，使它的頂點都在小方格的頂點上.

（1）在圖甲中畫一個以N2為邊且面積為3的直角三角形.

（2）在圖乙中畫一個以/C為腰的等腰三角形.

第3頁，共18頁

19.(本小題6分)

如圖，△ABC中，AB=4。，48的垂直平分線交NC于尸點.

(1)若NA=35°，求/BPC的度數(shù)

⑵若48=5cm，BC=3cm，求△PBC的周長.

20.(本小題6分)

如圖，在△48。中，BD=DC,Zl=Z2,試說明ATXLBC的理由.

解：?.,8D=_DC(已知)，

------().

?.?N1=N2(已知),

AABC=NACB(等式性質(zhì))，

AB=AC().

在ABD與ACD中，

[AB=AC

<Zl=Z2,

[BD=DC

：,△4RD之△470(),

:"BAD=/CAD,().

又?:48=47，

AD1BC().

第4頁，共18頁

21.(本小題6分)

為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造.如

圖，A8表示該小區(qū)一段長為20%的斜坡，坡角乙840=30°，RDLAD于點。.為方便通行，在不改變斜

坡高度的情況下，把坡角降為15°.

(1)求該斜坡的高度8。；

(2)求斜坡新起點C與原起點/之間的距離.(假設(shè)圖中C,A,。三點共線)

22.(本小題7分)

如圖，在△46。中，已知點。在線段N8的反向延長線上，過/C的中點尸作線段GE交的平分線

于E,交8c于G,￡.AE//BC.

(1)求證：△ABC是等腰三角形；

⑵若4石=8，AB=1Q,GC=2BG，求△ABC的周長.

23.(本小題7分)

(1)模型的發(fā)現(xiàn)：

如圖1,在△4BC中，NBAC=90°，AB=AC，直線/經(jīng)過點/,且8,C兩點在直線/的同側(cè)，BD1

直線/,直線/,垂足分別為點。、E.問：DE、AD和CE的數(shù)量關(guān)系.

第5頁，共18頁

(2)模型的遷移：位置的改變

如圖2,在(1)的條件下，若B、。兩點在直線/的異側(cè)，請說明3。和CE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

24.(本小題8分)

定義：如果一條線段將一個三角形分成兩個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“二分線”：

如果兩條線段將一個三角形分成三個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“三分線”.

(1)三角形內(nèi)角度數(shù)如圖1所示，在圖中畫出“二分線”，并標出每個等腰三角形的頂角度數(shù).

(2)圖2是一個頂角為45°的等腰三角形，在圖中畫出“三分線”，并標出每個等腰三角形的頂角度數(shù).

(3)在△48。中，其最小的內(nèi)角/。=24°，過頂點3的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形,

請直接寫出的度數(shù).

第6頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

2.是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故此選項合題意；

D是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：C.

根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線

叫做對稱軸進行分析即可.

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.【答案】B

【解析】解：A?-3+4=7,.?.不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

6+7〉12,.?.能構(gòu)成三角形，符合題意；

C<6+7<14,.,.不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

3+3<8,.?.不能構(gòu)成三角形，不符合題意.

故選：B.

直接利用三角形三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，進而判斷得出答案.

本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：/、相等的角不一定是對頂角，故/為假命題，不符合題意；

8、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，故8為假命題，不符合題意；

C、全等三角形的對應(yīng)邊相等，故C為真命題，符合題意；

D、如果同苗M，那么a初且濟一6,故。為假命題，不符合題；

故選：C.

根據(jù)相關(guān)知識點逐個判斷即可.

本題考查了命題與定理，全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題.

4.【答案】D

第7頁，共18頁

【解析】解：?「△ABC之△AD。，ZBAC=30%

ADAC=ABAC=30°?

?.?/4OO=60°，

:.ND=180°-ADAC-AACD=90°，

故選：D.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出ZD=180°-ADAC-AACD,

代入求出即可.

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

5.【答案】C

【解析】解：如圖，過點尸作PNm/B于點N,

又?.?M。是乙4Mg的角平分線，P。工人L4,PD=3,

：,PD=PN=3,

即點P到射線MB的距離是3,

故選：C.

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等求解即可.

此題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】解：這種方法應(yīng)用的數(shù)學知識是：三角形的穩(wěn)定性，

故選：C.

釘在墻上的方法是構(gòu)造三角形支架，因而應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性.

本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確掌握三角形的這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：不等式2>1的解集在數(shù)軸上表示為：

-102^

故選：A.

第8頁，共18頁

根據(jù)在數(shù)軸上表示的不等式的解集的方法得出答案即可.

本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法是正確判斷的前提.

8.【答案】A

【解析】解：在△46。和△4。。中，

fAB=AD

<BC=CD,

(ACAC

所以4ABC2AADC(SSS),

所以/_B4C=/2Z4C,

所以/E就是APRQ的平分線，

故選：A.

由“SSS”可證△ARC0△ADC,可得可證NE就是NPRQ的平分線，即可求解.

本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=CD，LB=2EDC，NA=NE,NACE=NBCD,

■：ABCD=a,

180°-a1

：,ZB=ABDC=—=90°--a,NACE=a,

AACB=80°，

Z4=180°-80°-ZB=10°+|a.

:.NE=10°+—a.

3

NEFC=180°-NECF—NE=170°--a.

故選：C.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=CD,AB=AEDC,/A=NE,ZACE=ZBCD,因為ZB。。=a,所

以乙B=/BDC，乙4CE=a，由三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，進而得到/上的度數(shù).再由三角形內(nèi)角

和定理求出NERC的度數(shù)即可.

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等相關(guān)內(nèi)容，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/石和/ECF的角度是解題關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，?.?三角形的三邊長均為整數(shù)，

,該三角形的最短邊可以是1、2、3、4、5,

第9頁，共18頁

當最短邊為1時,無法滿足條件三角形,

當最短邊為2時，最長邊＜2+6,即最長邊＜8,所以最長邊為7,

當最短邊為3時，最長邊＜3+6,即最長邊＜9,所以最長邊為7,8,

當最短邊為4時，最長邊＜4+6,即最長邊＜10,所以最長邊為7,8,9,

當最短邊為5時，最長邊＜5+6,即最長邊＜11,所以最長邊為7,8,9,10

滿足條件的三角形共有1+2+3+4=10.

故選：B.

根據(jù)邊長為6的情況確定出該三角形的最短邊的長度，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊

之差小于第三邊求出最長邊，從而得解.

本題考查了三角形的三邊關(guān)系，先確定出最短邊的長度是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】x＞1

【解析】解：由題意得/〉1.

故答案為：立〉1.

根據(jù)超過用列不等式即可.

本題考查了列不等式表示數(shù)量關(guān)系，與列代數(shù)式問題相類似，首先要注意其中的運算及運算順序，再就是

要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區(qū)別.

12.【答案】只有兩個銳角的三角形是直角三角形

【解析】解：?.?命題“直角三角形只有兩個銳角”

.?.逆命題：只有兩個銳角的三角形是直角三角形.

故答案為：只有兩個銳角的三角形是直角三角形.

把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換位置，則為逆命題，即可作答.

本題主要考查命題與定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解逆命題的定義.

13.【答案】30°

【解析】解：?.?/4=30°，ZB+ZC=180°-ZA,

ZB+ZC=180°—NA=150°,

:NB=4NC，

.?.5NC=150°，

.?.ZC=30°.

故答案為：30°.

第10頁，共18頁

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NB+NO=180°—NA,再根據(jù)NB=4NC，求出NC即可.

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和等于180°.

14.【答案】3

【解析】解：

：,EF=BC=lcm,

：,CF=EF—CE=3cm；

故答案為：3.

根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，得到EF=BC=7cm,再根據(jù)CF=EF—CE,進行求解即可.

本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】①②③④

【解析】解：如圖，在上取點R使4F=4D，連接CR

?.?4。平分/。48,

：,AFAC=ADAC，

-：AC=AC,AFAC=ADAC,AF=AD,

：,/\FAC^f\DAC{SAS),

：,CD=CF,AADC=AAFC,

■：ABAD+2BEAF+FE+BE,

：,FE=BE,

-：CEA.AB,

:.CF=BC，

：,CD=CB,ACFB=AABC,

故③正確，符合題意；

■：ACFB+AAFC=180°，

：,AADC+AABC=180°，

故②正確，符合題意；

AB+ADAF+EF+BE+AF=2AF+2EF=2AE,

故①正確，符合題意；

第H頁，共18頁

S&BCE=S/^CEF，S&ADC=S/^AFC,

...S^ADC+S&BCE=S/\AFC+S&CEF=S^ACE,

故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①②③④，共4個，

故答案為：①②③④.

如圖，在48上取點F使4F=40，證明△F4C0AD4C(S/S),則CD=CF，ZD=ZAFC，由

AB=AD+2BE=AF+FE+BE,可得FE=BE,進而可得CF=3。，則。。=CB，

4CFB=NB,可判斷③的正誤；由NCTB+N4F0=180°,可得NADC+N4BO=180°,可判斷②

的正誤；AB+AD=2AF+2EF=2AE,可判斷①的正誤；S^BCE=S^CEF,S^ADC=SAAFC,可

得SI\ADC+S^BCE=SAAFC+S^CEF=S^ACE，可判斷④的正誤.

本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握角平分線，全等三

角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】180°

【解析】解：如圖，延長CD交48于點R設(shè)CD,BE交于點、G,

■：ABFG=AA+AC,NBGF=NE+NCDE,

：,AA+AB+Z.C+NCDE+4E

=NBFG+ABGF+ZB

=180°，

故答案為：180°.

延長CD交于點R設(shè)CD,BE交于點G,利用三角形的外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案.

本題考查三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形及三角形的外角是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：92—2<72+3,

移項，得9，-7/<3+2.

合并同類項，得2cW5.

第12頁，共18頁

5

兩邊都除以2,得，

這個不等式的解表示在數(shù)軸上如圖所示.

-5-4-3-2-I0I25345

T

【解析】根據(jù)解不等式的一般步驟：移項、合并同類項、系數(shù)化為1,得出不等式的解集，表示在數(shù)軸上即

可.

本題考查了求一元一次不等式的解集，在數(shù)軸上表示不等式的解集，能正確得出不等式的解集是解本題的

關(guān)鍵.

18.【答案】解：（1）如圖甲中，△ABC即為所求.

（2）如圖乙中，△/CE即為所求（答案不唯一）.

（圖甲）（圖乙）

【解析】（1）根據(jù)要求利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的定義作出圖形（答案不唯一）.

本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用

數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型.

19.【答案】解：（1）：45的垂直平分線交/C于尸點，

;.AP=BP,

：,ZA=ZABP=35°>

：,ABPC=NA+NABP=35°+35°=70°；

的周長=BP+PC+BC,

=AP+PC+BC,

=AC+BC,

AB+BC,

第13頁，共18頁

AB=5cmBC=3cm，

△PBC的周長=5+3=8cm.

【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得4P=BP,根據(jù)等邊對等角可得

ZA=NABP,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解；

（2）求出APB。的周長=4B+BC,代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】ZDBC=2DCB"等邊對等角”“等角對等邊"S/S全等三角形的對應(yīng)角相等等腰三角形

的“三線合一”

【解析】解：?.?8。。（己知），

“等邊對等角”），

=已知），

AABC=2475（等式性質(zhì)），

二.48=4。（“等角對等邊”），

在4BD與4CD中，

[AB^AC

<Z1=Z2,

[BD=CD

：./\ABD^^ACD{SAS）,

：.ABAD=ACAD,（全等三角形的對應(yīng)角相等），

又?.?AB=4。，

.?.aors。（等腰三角形的“三線合一”）.

故答案為：2DBC=2DCB，“等邊對等角”，“等角對等邊"，SAS,全等三角形的對應(yīng)角相等，等腰

三角形的“三線合一”.

由3。=。。，根據(jù)”等邊對等角”得/O8C=/OCB,而/1=/2,由等式的性質(zhì)推導(dǎo)出

NABC=NACB,即可由“等角對等邊”證明48=4。，進而根據(jù)“&4s”證明△45。0△470,由

全等三角形的對應(yīng)角相等證明NBA。=即可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明ALLLB。，于

是得到問題的答案.

此題重點考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出=進而

證明△48。g△力CD是解題的關(guān)鍵.

第14頁，共18頁

21.【答案】解：(1)在RtZVlBO中，,?,/AD3=90°，ABAD=30%AB=20m，

BD==10m.

答：該斜坡的高度AD為10?。?/p>

(2)：C,A,。三點共線，ABAD=30°，ZBCA=15°>

ACBA=ABAD-ABCA=30°-15°=15°=ABCA，

：,ACAB20m.

答：斜坡新起點C與原起點/之間的距離為20m.

【解析】本題主要考查坡角的定義及解直角三角形，得到4。=43是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；

⑵根據(jù)NB4D=30°，ABCA=15°，求出NCSA=15°=/BCA，從而可得4。=AB=20wi..

22.【答案】(1)證明：-：AE//BC,

:"B=NDAE，AC=ACAE.

■「AE平分/ZX4C，

:"DAE=ACAE.

.-.ZB=AC.

AB=AC.

.?.△ABC是等腰三角形.

(2)解：是/C的中點，

AF=CF.

■：AE//BC,

,-.ZC=ACAE.

由對頂角相等可知：NAFE=/CFG.

fNFAE=NC

在△4歹石和△CFG中IAF=CF,

[AAFE=Z.CFG

：,/\AFE^/\CFG{ASA).

AE=GC=8.

GC=2BG，

BG=4.

第15頁，共18頁

12.

△48。的周長=AB+4。+=10+10+12=32.

【解析】(1)首先依據(jù)平行線的性質(zhì)證明/B=4c=2CAE,然后結(jié)合角平分線的定義可證明

ZB=ZC，故此可證明為等腰三角形；

(2)首先證明△AFE之△CFG,從而得到CG的長，然后可求得8c的長，即可求得△ABC的周長.

本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：Q)DE=BD+CE,

理由如下：,.?N_DAC=N4EC+NACE,ZBAC=ZAEC=90o-

：,ADAB=AECA，

在△048和△EGA中，

'ADAB=Z.ECA

<AADB=ACEA,

、AB=CA

：,/\DAB^/\ECA{AAS),

：,AE=BD,AD=CE，

：,DEAD+AEBD+CE；

⑵AD=DE+CE,

證明如下：?.?NBA。=90°，

：,ABAD+ACAE=90°,

?「CEL直線I,

NACE+NONE=90°，

:"BAD=NACE，

在△BAD和△ACE中，

(ABAD-ZACE

<AADB=ACEA,

[BA^AC

：,/\BAD^/\ACE{AAS),

：.AE=BD，AD=CE，

：,BD=AE=AD